【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 抢分练3 Word版含答案.docx，共(2)页，59.155 KB，由小赞的店铺上传

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抢分练3(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2023江西上饶二模)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率e=12,点F1,F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(-c,0)的最短弦长为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线

l1,l2,且l1与椭圆交于不同两点A,B,l2与直线x=c交于点P,若𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,且点Q满足𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求|PQ|的最小值.2.(本题满分12分)(2023山东沂水一中模拟预

测)已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a∈R).(1)若a=2,试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;(2)设0<a≤1,求证:eax-1>f(x)+a(3x-1)-(x+1)lnx-ln(x+1).抢分练31.解(1)由题意,{2𝑏2𝑎=3,𝑐𝑎

=12,𝑎2=𝑏2-𝑐2,解得a2=4,b2=3,所以椭圆的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)由(1)得F1(-1,0),若直线l1的斜率为0,则l2:x=-1与直线x=1无交点,不满足条件.设直线l1:x=my-1,若m=0

,则λ=1,则不满足𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以m≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),由{3𝑥2+4𝑦2=12,𝑥=𝑚𝑦-1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,y1+y2=6𝑚3𝑚2+4,y1y2=-93𝑚2+4,因为{𝐴

𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即{(-1-𝑥1,-𝑦1)=𝜆(𝑥2+1,𝑦2),(𝑥1-𝑥0,𝑦1-𝑦0)=𝜆(𝑥2-𝑥0,𝑦2-𝑦0),则-y1=λy2,y1-y0=λ(y2-y0),所以λ

=-𝑦1𝑦2=𝑦1-𝑦0𝑦2-𝑦0,解得y0=2𝑦1𝑦2𝑦1+𝑦2=-3𝑚,则x0=my0-1=-4,即Q(-4,-3𝑚),直线l2:x=-1𝑚y-1,当x=1时,y=-2m,所以P(1

,-2m),所以|PQ|=√52+(-3𝑚+2𝑚)2≥5,当且仅当m=√62或m=-√62时等号成立,所以|PQ|的最小值为5.2.证明(1)若a=2,则f(x)=(x+1)lnx-2x+2(x>0),f'(x)=lnx+𝑥+1𝑥-2=lnx+1�

�-1(x>0),令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=1𝑥−1𝑥2=𝑥-1𝑥2,令φ'(x)>0,解得x>1;令φ'(x)<0,解得0<x<1,则φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,可得φ(x)≥φ(1)=0,即f'(x)≥0对∀x∈(0,+∞

)恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)f(x)+a(3x-1)-(x+1)lnx-ln(x+1)=(x+1)lnx-ax+a+a(3x-1)-(x+1)lnx-ln(x+1)=2ax-ln(x+

1),则eax-1>f(x)+a(3x-1)-(x+1)lnx-ln(x+1),即eax-1>2ax-ln(x+1),可得eax+ln(x+1)-2ax-1>0,故原题意等价于eax+ln(x+1)-2ax-1>0(x>0),设F(x)=eax-2ax+ln(x+1)-1,则F'(x)

=aeax+1𝑥+1-2a,由结论ex≥x+1(证明略),∵x>0,∴ex>x+1.又0<a≤1,∴eax>ax+1≥ax+a,可得F'(x)=aeax+1𝑥+1-2a>a2(x+1)+1𝑥+1-2a≥2√𝑎2(𝑥+1)·1𝑥+1-2a=0,当且仅

当x+1=1𝑎,等号成立;则F(x)在(0,+∞)上单调递增,可得F(x)>F(0)=0.故eax-2ax+ln(x+1)-1>0,即证.