【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 抢分练1 Word版含答案.docx，共(2)页，67.026 KB，由小赞的店铺上传

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抢分练1(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2023江西南昌二模)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的焦距为2√3,左、右顶点分别为A1,A2,上顶点为B,过点A2的直线l1,l2斜率分别为-1

2,k(k<-12),直线A1B与直线l1,l2的交点分别为B,P.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l2与椭圆C的另一个交点为Q,直线BQ与x轴的交点为R,记△PQR的面积为S1,△A2QB的面积为S2,求𝑆1𝑆2的取值范围.2.(本题满分

12分)已知f(x)=a2x+lnx+1,g(x)=x(ex+a)(e为自然对数的底数,e≈2.72,a∈R).(1)对任意a∈R,证明:y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点;(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.抢分练11.解(1)因为直线A2B的

斜率为-12,所以𝑏𝑎=12,焦距2c=2√3,因此a2-b2=3,解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是𝑥24+y2=1.(2)因为A2(2,0),所以直线l2的方程为y=k(x-2)(k<-12),联立{𝑦=𝑘(𝑥-2),𝑥24+𝑦2=1,整理得(4k2+1)x2-16k2x

+16k2-4=0.则xQ+2=16𝑘24𝑘2+1,故xQ=8𝑘2-24𝑘2+1,则yQ=k(xQ-2)=-4𝑘4𝑘2+1,所以Q(8𝑘2-24𝑘2+1,-4𝑘4𝑘2+1).又直线A1B的方程为y=12x+1,联立{𝑦=12𝑥+

1,𝑦=𝑘(𝑥-2),解得P4𝑘+22𝑘-1,4𝑘2𝑘-1.𝑆1𝑆2=|𝑄𝑅||𝑄𝐵|·|𝑄𝑃||𝑄𝐴2|=𝑦𝑄1-𝑦𝑄·𝑦𝑃-𝑦𝑄𝑦𝑄=𝑦𝑃-𝑦𝑄1-𝑦𝑄=-8𝑘(2𝑘-1)(2𝑘+1)(8𝑘2-2)·-

2𝑘(2𝑘+1)2𝑘-1=16𝑘28𝑘2-2=84-1𝑘2,因为k<-12,所以k2>14,0<1𝑘2<4,所以𝑆1𝑆2∈(2,+∞).2.(1)证明因为f(x)=a2x+lnx+1,所以

f(1)=a2+1,f'(x)=a2+1𝑥,所以f'(1)=a2+1.所以y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为y=(a2+1)x经过定点(0,0),即y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点.(2)解因为f(x)≤g(x)恒成立,即为a

2-a≤𝑥e𝑥-ln𝑥-1𝑥对x>0恒成立.记h(x)=𝑥e𝑥-ln𝑥-1𝑥(x>0),只需a2-a≤h(x)min.h(x)=𝑥e𝑥-ln𝑥-1𝑥=𝑥e𝑥-ln𝑥-𝑥-1�

�+1=eln𝑥+𝑥-(ln𝑥+𝑥)-1𝑥+1.不妨设t=lnx+x(x>0).因为t'=1𝑥+1>0,所以t=lnx+x在(0,+∞)上单调递增,当x=1时,t=1>0;当x=1e时,t=1e-1<0

,故t=lnx+x在(0,+∞)存在唯一零点x0,记y=elnx+x-(lnx+x)-1=et-t-1.因为y'=et-1.令y'>0,解得t>0;令y'<0,解得t<0.所以y=et-t-1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以ym

in=e0-0-1=0.所以y=elnx+x-(lnx+x)-1≥0.而x>0,所以eln𝑥+𝑥-(ln𝑥+𝑥)-1𝑥≥0,所以eln𝑥+𝑥-(ln𝑥+𝑥)-1𝑥+1≥1.当且仅当lnx+x=0即x=x0时等号成

立,即h(x)min=1,所以a2-a≤1.解得1-√52≤a≤1+√52,即实数a的取值范围为[1-√52,1+√52].