【文档说明】江苏省南京市六校联合体2021届高三上学期12月联考试题 数学 含答案.doc，共(10)页，488.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|lnx≥0}，则

（CUA）∩B＝（）A．[4，＋∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）2．设i为虚数单位，a∈R，“a＝1”是“复数z＝a22－11－i是纯虚数”的（）条件A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知圆C的圆心在直线y＝x上，且

与y轴相切于点(0，5)，则圆C的标准方程是（）A．(x＋5)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y－5)2＝25C．(x－5)2＋(y－5)2＝5D．(x＋5)2＋(y－5)2＝54．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表

各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.8的视标边长为（）A．a8.010B．a7.010C．a8.010−D．a7.010−5．已知双曲线C：x2a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，直线y＝32（x＋a）与C的一条渐近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．36．已知函数y＝f(x)的图象如右图所示，则此函数可能是（）A．f(x)＝sin6x2－x－2xB．f(x)＝sin6x

2x－2－xC．f(x)＝cos6x2－x－2xD．f(x)＝cos6x2x－2－x7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某

商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）（第4题图）Oyx（第6题图）A．59B．49C．716D．9168．在三棱锥P－ABC中，底

面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB＝2，PA＝PC＝5，PB与底面ABC所成的角的余弦值为223，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为（）A．9π2B．8989π6C．9πD．27π2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是()A．若X~B（n，13），且EX＝2，则n＝6B．设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量

结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.510．若函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法中正确的是（）A．g(x)的图象关于x＝5π12对称B．当x[0，π2]时，g(x)的值

域为[－32，32]C．g(x)在区间[5π12，11π12]上单调递减D．当x∈[0，π]时，方程g(x)＝0有3个根11．如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝12，AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把

ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝32．则（）A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P－DC－B的大小为π4D．PC与平面PED所成角的正切值为22网]12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直

径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（）A．→OA·→OB＝－3p24B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为3PAEDCB（第11题图）C．若抛物线上存在一点E（2，t）到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝8

xD．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，D为AB边上的中点，则→CD·→AC等于▲．14．（x－2y）（x＋y）8的展开式中x2y7

的系数为▲．用数字填写答案）15．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，若不等式f(－ax＋lnx＋1)＋f(ax－lnx－1)≥2f(1)对x∈[1，e2]恒成立，则实数a的取值范围为▲．16．已知函数f(x)＝3cos（2x＋

π3），当x∈[0，9π]时，把函数F(x)＝f(x)－1的所有零点依次记为x1，x2，x3，……，xn，且x1＜x2＜x3＜……＜xn，记数列{xn}的前n项和为Sn，则2Sn－（x1＋xn）＝▲．四、解答题：本大题

共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①AC→·AB→＝b2－12ab，②atanC＝2csinA，③S＝34(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个．．，补充在下面的

问题中，并解决该问题．锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，已知______，（1）求角C的大小；（2）求sinA＋sinB的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{an

}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn＝an2＋3an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn＝1Sn，若k＞Tn恒成立，求k的最小值．19．（本小题满分12分）如图，点C是以AB为直径的圆上的动点（异于A，B），己知AB＝2，AC＝2，AE＝7，四边形BE

DC为矩形，平面ABC⊥平面BEDC．设平面EAD与平面ABC的交线为l．（1）证明：l∥BC；（2）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）垃圾是人类日常生活和生产中产

生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（

单位：吨），并计算得20180iix==，2014000iiy==，()202180iixx=−=，()20218000iiyy=−=，()()201700iiixxyy=−−=．（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之

间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：1年2年3年4年合计甲款520151050乙款152010550某环保

机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝

1，2，……，n），其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−款式台数使用年限21．（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝322，

点（32，12）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积（O为原点）的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝tetx(t＞0)，g(x)＝lnx，（1）若f(x)在x＝0处的切线与g(x)在x＝1处的切

线平行，求实数t的值；（2）设函数φ(x)＝f(x)－g(x)，①当t＝1时，求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点x0，且φ(x0)∈(2，52)；②若φ(x)恰有两个零点，求实数t的取值范围．2020-2021学年第一学

期12月六校联合调研试题高三数学答案一、单选题：1~8：CABDCDBA二、多选题：9、ABD10、AC11、ACD12、AD三、填空题：13、－8；14、－48；15、[1e，4e2]；16、442π3四、解答题：17、解答:(

1)选条件①AC→·AB→＝bccosA＝b2－12ab所以cb·b2＋c2－a22bc＝b2－12ab，即b2＋c2－a2＝2b2－ab，所以b2＋a2－c2＝ab，所以cosC＝b2＋a2－c22ab＝12．……

……………………………………………………3分因为C∈(0，π)，…………………………………………………………4分所以C＝π3．…………………………………………………………5分选条件②atanC＝2csinA，有正弦定理得，si

nA·sinCcosC＝2sinCsinA，因为A，B∈(0，π)，所以sinA，sinC＞0，因此cosC＝12，…………………………………………………………3分C∈(0，π)，…………………………………………………………4分所以C＝π3．…………………………………………………………5分所

以选条件③S△ABC＝34(a2＋b2－c2)＝342abcosC，S△ABC＝12absinC，3abcosC＝absinC，C∈(0，π)，sinC＞0，cosC＞0，tanC＝3，…………………………………………………………3分C∈

(0，π)，…………………………………………………………4分C＝π3．…………………………………………………………5分（2）sinA＋sinB＝sinA＋sin(2π3－A)＝32sinA＋32cosA＝3sin(A＋π3)，……………7分A∈(0，π2)，

2π3－A∈(0，π2)，所以A∈(π6，π2)，A＋π6∈(π3，2π3)，……………8分所以sinA＋sinB∈(32，3]．…………………………………………………………5分18、解析（1）当n＝1时，211163aaa=+，解得a1＝3．…………

…1分当n≥2时，由263nnnSaa=+，得211163nnnSaa−−−=+，两式相减并化简得()()1130nnnnaaaa−−+−−=，由于0na，所以130nnaa−−−=，即13(2)n

naan−−=，………………………………4分故na是首项为3，公差为3的等差数列，所以3nan=．………………………………6分（2）Sn＝3n（n＋1）2bn＝1Sn＝23n（n＋1）＝23（1n－1n＋1）．……………………8分故Tn＝b1＋b2＋……＋bn

＝23（11－12）＋23（12－13）……＋23（1n－1n＋1）＝23（1－1n＋1），由于{Tn}是单调递增数列，23（1－1n＋1）<23……………………10分，所以k23．故k的最小值为23．……………………12分19、解∶（1）因为四边形BEDC为矩形

，DE//BC，DE平面DAB，BC平面DAB，所以BC//平面EAD，…………………2分又平面EAD∩平面ABC=l，又BC平面CAB，所以得//lBC．…………………4分（2）四边形BEDC为矩形，所以DC⊥BC,又平面ABC⊥平面BEDC，平

面ABC∩平面BEDC=BC，DC平面BEDC，所以CD⊥平面ABC．所以CD⊥AC，又AB为直径，所以AC⊥BC…………………6分以C为坐标原点，以CA，CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)C，(2,

0,0)A，(0,0,3)D，(0,2,3)E，所以(2,0,3)AD=−，(0,2,0)DE=，平面ABC的法向量1(0,0,3)n=，…………………8分设平面ADE的法向量2(,,)nxyz=，2200nADnDE==所以23020xz

y−+==，即2(3,0,2)n=，…………………10分所以121212610cos,535nnnnnn===…………………12分20、（1）由题意知相关系数()()()()2012020221170070.8758808000iiiiiii

xxyyrxxyy===−−====−−，…………3分因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.（2）由题意可得，()()()2012021700ˆ8.7580iiiiixxyybx

x==−−===−，…………5分400080ˆˆ8.752008.7541652020aybx=−=−=−=，所以ˆ8.75165yx=+.…………7分（3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为X（单位：年）的分布列为

：X1234P0.10.40.30.2()10.120.430.340.22.6EX=+++=.…………9分乙款垃圾处理机器使用年限为Y（单位：年）的分布列为：Y1234P0.30.40.20.1()10.320.430

.240.12.1EY=+++=.…………11分因为()()EXEY，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久.…………12分21.（1）由222222213abbeaa−==−=得33ba=①

，由椭圆C经过点31()22，得2291144ab+=②，…………2分联立①②，解得1b=，3a=，∴椭圆C的方程是2213xy+=；…………4分（2）由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为2ykx=

+，联立22213ykxxy=++=消去y得：22(13)1290kxkx+++=，则2214436(13)0kk=−+，得21k，设11()Axy，、22()Bxy，，则1221213kxxk+=−+，122913xxk=+，…………6分∴12

12122AOBPOBPOASSSxxxx=−=−=−，∵22221212122222123636(1)()()4()1313(13)kkxxxxxxkkk−−=+−=−−=+++，…………8分设21kt−=(0t)，则

21223636363()16(34)4169242924txxttttt−===++++，…………10分当且仅当169tt=，即43t=时等号成立，此时2713k=可取，此时AOB面积取得最大值32.…………12分注：Δ不检验，扣一分22、解答:（1）f'(x

)＝t2etx，g'(x)＝1x，t2＝1，（t＞0）t＝1…………2分（2）①φ(x)＝ex－lnx(x＞0)，φ'(x)＝ex－1x，φ''(x)＝ex＋1x2＞0，所以φ’(x)在定义域上是增函数，φ'(12)＝e12－2＜0，φ'(1)＝e－1＞0，所以φ'(x)在区

间(12，1)上有唯一零点x0．当x∈(0，x0)时，φ'(x)＜0，即φ(x)是减函数；当x∈(x0＋∞)时，φ'(x)＞0，即φ(x)是增函数，所以x0是φ(x)的唯一极小值点．…………4分ex0＝1x0，x0＝－lnx0，x0∈(12，1)．φ(x0)＝x

0＋1x0在(12，1)是减函数，所以φ(x0)∈(2，52)．…………6分②因为tetx＞0，lnx≤0(0＜x≤1)所以φ(x)＝tetx－lnx的零点在(1，＋∞)上．由题意得，xφ(x)＝(tx)etx－

xlnx在(1，＋∞)上两个零点，设h(x)＝xlnx，h'(x)＝1＋lnx＞0，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，h(x)＝h(etx)，当且仅当x＝etx，即lnxx－t＝0有两个解．…………8分设p(x)＝lnxx－t(x＞1)，令p'(x)＝1－lnxx2＞0，x＜e，当x

∈(1，e)，p'(x)＞0，p(x)是增函数，当x∈(e＋∞)，p’(x)＜0，p(x)是减函数，所以当x＝e时，p(x)的最大值为e－1－t，(Ⅰ)当t＞e－1时，p(x)＜0恒成立，方程lnxx－t＝0无解，舍去；…………9分(Ⅱ)当t＝e－1时，p(x

)≤0恒成立，当且仅当p(e)＝0，方程lnxx－t＝0有唯一解e，舍去；…………10分(Ⅲ)当0＜t＜e－1时，设p(e)＝e－1－t＞0，p(1)＝－t＜0，所以p(x)在(1，e)有唯一零点，由(Ⅱ)已证lnx≤xe，lnxx＝2ln(x12)x≤2x12ex＝2ex

，p((2et＋e)2)＜0，所以p(x)在(e＋∞)有唯一零点．综上所述，当0＜t＜e－1时，φ(x)恰有两个零点．…………12分