【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第6讲 函数的单调性与最值 达标检测 Word版含解析.docx，共(12)页，1.171 MB，由小赞的店铺上传

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《函数的单调性与最值》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+上为增函数的是()A．()3fxx=−B．2()3fxxx=−C．1()fxx=−D．()||fx

x=−【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，()3fxx=−为一次函数，在(0,)+上为减函数，不符合题意；对于B，2()3fxxx=−为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C，1()fxx=−为

反比例函数，在(0,)+上为增函数，符合题意；对于D，()||fxx=−，当0x时，()fxx=−，则函数()fx在(0,)+上为减函数，不符合题意；故选：C．2．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1yx=−的单调递减区间为()A

．(0,)+B．(,0)−C．(,1)−−D．(1,)−+【分析】结合绝对值的应用，以及函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：当0x…时，||11yxx=−=−，此时函数为增函数，当0x时，||11yxx=−=−−，此时函数为减函数，即函数的单调递减区间为(,0)−，故选：

B．3．（2020•吴忠一模）已知偶函数()fx满足：对任意的1x，2[0x，12)()xx+，都有1212()()0fxfxxx−−成立，则满足1(21)()3fxf−的x取值范围是()A．12(,)33B．12[,)33C

．12(,)23D．12[,)23【分析】根据偶函数的对称性及单调性即可直接求解．【解答】解：偶函数()fx满足：对任意的1x，2[0x，12)()xx+，都有1212()()0fxfxxx−−

成立，故()fx在[0，)+上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在(,0)−上单调递减，由1(21)()3fxf−可得1|21|3x−，112133x−−，解可得1233x．故选：A．4．（2020•厦门模拟）已知函数32(4)4,0(

),0xxaxaxfxax+−+−=„，是单调递增函数，则实数a的取值范围是()A．(1,2)B．(1，3]C．[2，3]D．[3，)+【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可．【解答】解：由32()(4)4fxxaxa=+−+−，0x，可知22

()3(4)0fxxa=+−…在0x恒成立，故240a−…即2a…或2a−„，根据分段函数的性质可知，204014aaaa−−……，解可得，23a剟．故选：C．5．（2020•汕头二模）设函数2(),2()1,2logxxfxx−−=−„，则

满足(1)(2)fxfx+的x的取值范围是()A．(−，1]−B．(0,)+C．(1,0)−D．(,1)−−【分析】由已知结合分段函数的单调性进行分类讨论可求．【解答】解：因为2x−„时，2()log()fxx=−单调递减，由(

1)(2)fxfx+可得，122212xxxx+−−+„„或1222xx+−−„，解可得，3x−„或31x−−„即1x−„．故选：A．6．（2020春•金凤区校级期中）若函数2()3(4)2,22xaxfxaxx=−+

…，且满足对任意的实数12xx都有1212()()0fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是()A．(1,)+B．8(1,)3C．8(2,)3D．[2，8)3【分析】先根据函数单调性的定义可判断出函数()fx在R上单调递增，再结合一次函数、指数函数的单调性，列出满足条件的关于a的不

等式组，解之即可得解．【解答】解：由题可知，函数()fx在R上单调递增，2134023(4)222aaaa−−+„解得，823a„．故选：D．7．（2020春•海安市校级月考）已知函数2()fxxbx=+，若(())ffx的最小值与()fx

的最小值相等，则实数b的取值范围是()A．[0，2]B．[2−，0]C．(−，2][0−，)+D．(−，0][2，)+【分析】首先这个函数()fx的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就

是大于等于它的最小值．(())yffx=它的图象只能是函数()fx上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要()fx的最小值小于2b−．【解答】解：由

于2()fxxbx=+，xR．则当2bx=−时，2()4minbfx=−，又函数(())yffx=的最小值与函数()yfx=的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即242bb−−„，得到0b„或2b…，所以b的取值范围为

{|2bb…或0}b„．故选：D．8．（多选）（2019秋•临高县校级期末）下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是()A．yx=B．2yx=C．1yx=D．1()2xy=【分析】根据题意，依次分析选项中函

数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx=，是正比例函数，在区间(0,)+上单调递增，符合题意；对于B，2yx=，是二次函数，在区间(0,)+上单调递增，符合题意；对于C，1yx=，是反比例

函数，在区间(0,)+上单调递减，不符合题意；对于D，1()2xy=，是指数函数，在区间(0,)+上单调递减，不符合题意；故选：AB．9．（多选）（2019秋•费县期末）已知函数()xxfxee−=−，(

)xxgxee−=+，则以下结论错误的是()A．任意的1x，2xR且12xx，都有1212()()0fxfxxx−−B．任意的1x，2xR且12xx，都有1212()()0gxgxxx−−C．()fx有最小值，无最大值D．()gx有最小值，无最大值【分析】由函数()fx及函

数()gx的性质直接判断即可．【解答】解：1()xxfxee=−在R上单调递增，无最值，故选项AC错误；1()xxgxee=+为偶函数，易知其在(,0)−为减函数，在(0,)+为增函数，且在1x=处取得最小值，无最大值，故选项B错误；故选

：ABC．10．（多选）（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bxfxax+=+在区间(2,)−上单调递增，则a，b的取值可以是()A．1a=，32bB．01a„，2b=C．1a=−，2b=D．12a=，1b=【分

析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bbafxaxa−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a−−…且230ba−，分析可得a、b的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)3

33()222bbbaxbxbaaafxaxaxaxa++−−+===++++，其定义域为2{|}xxa−，若函数3()2bxfxax+=+在区间(2,)−上单调递增，必有22a−−„且230ba−

，即01a„且23ba，据此分析选项：A、B、D符合；故选：ABD．11．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2fxxx=−+的单调递增区间为．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得()fx的对称轴以及开口方向，结合二次函

数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，22()2(1)1fxxxx=−+=−−+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x=，故()fx的单调递增区间为(−，1]；故答案为：(−，1]．12．（2019秋•香坊区校级

月考）函数224yxx=−−+的值域是，单调递增区间是．【分析】根据题意，24txx=−+，求出函数定义域，设24txx=−+，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数224yxx=−−+，设24txx=−+，必有240txx=−+…，解可得04x剟，必有04t剟，则2042xx

−+剟，则有02y剟，即函数的值域为[0，2]；又由24txx=−+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()fx的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．13．（2019秋•咸阳期末）已知函数()fx在R上是减函数，且f（2）1=−，则满足(24)

1fx−−的实数x的取值范围是．【分析】根据f（2）1=−可以由(24)1fx−−得出(24)fxf−（2），再根据()fx在R上是减函数即可得出242x−，解出x的范围即可．【解答】解：f（2）1=−，由(24)1f

x−−得，(24)fxf−（2），且()fx在R上是减函数，242x−，解得3x，满足(24)1fx−−的实数x的取值范围是(,3)−．故答案为：(,3)−．14．（2020•运城模

拟）已知函数2212,1()4,1xaxxfxxaxx−+=++„，若()fx的最小值为f（1），则实数a的取值范围是．【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．【解答】解：由题意可知要保证()fx的最小值

为f（1），需满足1(2)(1)aff……，即14212122aaa++−+……，解得3a…．故答案为：[3，)+15．（2019秋•贺州期中）已知函数1(),[0,2]1fxxx=+，判断函数的单调性并加以证明．【分析】利用函数单调性的定义，先设1202xx

剟，然后通过作差法比较1()fx与2()fx的大小，即可判断【解答】解：函数()fx在[0，2]上是减函数．证明如下：设1202xx剟，2112121211()()11(1)(1)xxfxfxxxxx−−=−=++++，1202xx剟，210xx−，110x+，210x+，1

2()()0fxfx−即12()()fxfx，函数()fx在[0，2]上是减函数．16．（2019秋•杜集区校级期末）已知一次函数()fx是R上的增函数，且[()]43ffxx=+，()()()gxfxxm=+．（1）求()fx；（2）若()gx在(1,)+上单调递增

，求实数m的取值范围．【分析】（1）设()fxkxb=+，(0)k代入(())43ffxx=+，可求出k，b；（2）()gx图象开口向上，故只需令(1,)+位于对称轴右侧即可．【解答】解：（1）设()fxkxb=+，一次函数()fx是R上的增函数，0k，则2(())(

)43ffxkkxbbkxkbbx=++=++=+，2430kkbbk=+=，解得2k=，1b=．()21fxx=+．（2）2()(21)()2(21)gxxxmxmxm=++=+++，()gx图象开口向上，对称轴为214mx+=−，()gx在(1,)+上单调

递增，2114m+−„，解得52m−…．故m的范围为5[2−，)+．17．（2019秋•浔阳区校级期末）已知函数4()fxxx=+（1）用函数单调性的定义证明()fx在区间[2，)+上为增函数（2

）解不等式：2(24)fxxf−+„（7）【分析】（1）任取1x，2[2x，)+，且12xx，通过作差比较1()fx与2()fx的大小，根据增函数的定义，只需说明12()()fxfx即可；（2）根据函数的单调性得到2247xx−+„，求出不等式的解集即可．【解答】（1）证明：任取

1x，2[2x，)+，且12xx，则2112121212121212124()()(4)44()()()()()xxxxxxfxfxxxxxxxxxxx−−−−=+−+=−+=，因为122xx„，所以120xx−，124xx，所以12()()0fxfx−，即12()()fxfx

，所以4()fxxx=+在[2，)+上为增函数．（2）解：2242xx−+…，结合（1）得()fx在[2，)+递增，所以2247xx−+„，解得：13x−剟，故不等式的解集是[1−，3]．18．（2019秋•顺庆区校级期中）设()fx是定义在(0,)+上的单调递增

函数，满足()()()fxyfxfy=+，f（2）1=．（1）求f（1）；（2）解不等式()(3)2fxfx+−„．【分析】（1）根据()()()fxyfxfy=+可令1x=，1y=，从而可求出f（1）的值；（2）根据条件可求出f（4）2=，从而由()(3)2fxfx+−„

可得出2(3)fxxf−„（4），再根据()fx是定义在(0,)+上的单调递增函数可得出234030xxxx−−„，解出x的范围即可．【解答】解：（1）()()()fxyfxfy=+，f（1）(11)ff==（1）f+（1），f（1）0=

；（2）()()()fxyfxfy=+，f（2）1=，f（4）(22)ff==（2）f+（2）2=，2()(3)[(3)](3)fxfxfxxfxx+−=−=−，由()(3)2fxfx+−„得，2(3)fxxf−„（4），且()fx是定义在(0,)+上

的单调递增函数，234030xxxx−−„，解得34x„，故原不等式的解集是(3，4]．19．（2020春•杭州期中）已知函数2()|2|2fxxxax=−−−，aR．（Ⅰ）当3a

=时，求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）令2()()gxfxx=+，若()gx在[1x−，2]的最大值为5，求a的值．【分析】（Ⅰ）当3a=时，分段求解()fx，作出图象，即可求解单调递增区间；（Ⅱ）令2()()gxfxx=+，利用换元法根据分段函数的

性质即可求解最大值为5时a的值．【解答】解：（Ⅰ）当3a=时，()22243,132323,13xxxxfxxxxxx−−−=−−−=−−或剠当1x−„或3x…，2()43fxxx=−−在[3，)+递增，当13x−时，2()3fxx=−在[1−，0]递增，所以函数()fx的单调递增

区间为[1−，0]，[3，)+；（Ⅱ）222()()|2|2gxfxxxxaxx=+=−−+−可令22txx=−，[1t−，3]，则2,||,tataytatata−=−+=…当3a时，65maxya=−=，则1a=；当3a…，则

5a=综上可知1a=或5a=20．（2019秋•上城区校级月考）定义函数22()(1)()fxxxbxc=−++．（1）如果()fx的图象关于2x=对称，求2bc+的值；（2）若[1x−，1]，记|

()|fx的最大值为(,)Mbc，当b、c变化时，求(,)Mbc的最小值．【分析】（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；（2）利用放缩法求解函数最小值．【解答】解：（1）()fx

的图象关于直线2x=对称，则将()fx的图象向左移动2个单位，得到函数，22432()(2)[1(2)][(2)(2)](8)(194)(28114)(1263)gxfxxxbxcxbxbxbcxbc=+=−+++++=−−+−+−++−++为偶函数，80281140bbc+=

++=解得815bc=−=，21bc+=−；（2）对任意的[1x−，1]，|()|(fxMb„，)c，取x=得2222|(1)()|(,)|(1)()|(,)bcMbcbcMbc−++−−+„„，同理取0x=得，||(,)cMbc„，由上述三式得：222|(

1)()|2(cMb−+„，)c，22|(1)()|(cMb−+„，)c，222222|(1)||(1)()||(1)|||(2)(ccMb−−++−−剟，)c，因此，(Mb，222(1))[]3222maxc−=−−…（当且仅当2

22=−时，取得最大值），此时0b=，223c=−，经验证，22((1)(223)322)xx−+−−„满足题意．故当0b=，223c=−时，(,)Mbc取得最小值，且最小值为322−．[B组]—强基必备1．（2020•河南模拟）已知32201925,0()4

,0xxxxfxx+−−=…，则不等式27()8()2fxfx+的解集为【分析】由已知函数解析式求出函数的单调性，然后结合单调性可求不等式的解集．【解答】解：因为0x时，32()25fxxx=−−，则

2()34(34)0fxxxxx=−=−，即此时函数单调递增，又因为20194xy+=在0x…时单调递增，且在端点0处201954−，因为27()8()2fxfx+，当702x+时，不等式显然成立，此时72x−；当702x+…时，可得27201920192484xx+++

，所以222201973222019xx++++，整理可得，220xx−−，解可得，2x或1x−此时2x或712x−−„，综上可得，不等式的解集为{|1xx−或2}x．故答案为：{|1xx−或2}x

．2．（2019秋•锡山区校级月考）已知实数x，0y，则22(21)(1)257xyxy++++的最大值为．【分析】构造新的不等式，引入参数t，22222(21)(1)22(1)571257257xytxyxtyyttx

yxy+++++++++=++++，然后令分子等于0，△0=，即222(101)2(1)14210tytytt−+−++−=，再令△0=，2(21)(145)0ttt+−=解得0t=或12t=−或514t=，进而求解；【解答】解：222222(21)(1)22(1)

571257257xytxyxtyyttxyxy+++++++++=++++令分子等于0，△0=，即222(101)2(1)14210tytytt−+−++−=，再令△0=，2(21)(145)0ttt+−=解得0t=或12t=−或514t=，①2222222222(21)(1

)124(1)5522(1)3(1)025722(257)2(257)xyxyxyyxyyxyxyxy++−++−−+−−−−−−==++++++„，当且仅当1010xyy−−=−=即21xy==时等号成立；②2222222222(21)(1)51028(1)2

514492(577)3(37)02571414(257)70(257)xyxyxyyxyyxyxyxy++++++++++−+==++++++…，当且仅当5770370xyy++=−=即14373xy=−=时等号成立；综上，22(21)(1

)257xyxy++++最大值为12，故答案为：123．（2020春•温州期末）已知函数2()5fxxbx=++．（Ⅰ）若对于任意的(1,2)x，()0fx恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）记()fx在[1，2]内的最大值为M，最小

值为m，若nMm−…有解，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）()0fx在区间(1,2)上恒成立，化为b大于5xx−−最大值，设5()gxxx=−−，利用函数的单调性求解即可．（Ⅱ）推出()minnMm−…，通过①当22b−…，②当12b−„

，③当122b−，求出不等式的最小值即可．【解答】解（Ⅰ）()0fx在区间(1,2)上恒成立，25bxx−−在(1,2)x上恒成立，5bxx−−，恒成立，即b大于5xx−−的最大值，设5()gxxx=−−，由函数性质易得：()gx在[1x，2]上是单调递增函数，59()(2)

222maxgxg==−−=−92b−…，即9[2b−，)+．（Ⅱ）nMm−…有解，()minnMm−…，①当22b−…，即4b−„时，Mmf−=（1）f−（2）31b=−−…；②当12b−„，即2b−…时，Mmf−=（2）f−（1）31b=+…，③当122b−，即42b−−

时，{(1)(),(2)()}22bbMmmaxffff−=−−−−22{1,24}44bbmaxbb=++++2211{(2),(4)}44maxbb=++．21(2)4yb=+与21(4)4yb=+对应图象如图：当3b=−时，Mm−最小值为1

4，14n…．