【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第6讲 函数的单调性与最值 Word版含解析.docx，共(9)页，660.465 KB，由管理员店铺上传

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第6讲函数的单调性与最值思维导图知识梳理1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D

上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区

间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是

函数y＝f(x)的最大值或最小值．核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养.题型归纳题型1函数的单调性（区间）【例1-1】（2

019•西湖区校级模拟）函数2()1fxxx=−+−的单调递增区间为()A．1[,)2−+B．1[,)2+C．1(,]2−−D．1(,]2−【分析】根据题意，分析可得213()()24fxx=−−−，据此分析

可得答案．【解答】解：根据题意，由已知213()()24fxx=−−−，所以函数在1(,]2−上为增函数，故选：D．【例1-2】（2019秋•闵行区期末）已知函数1()fxxx=−．判断()fx在(,0)−上的单调性，并给予证明．【分析】先设12

0xx，然后利用作差比较1()fx与2()fx的大小即可判断．【解答】()fx在(,0)−上单调递减．证：设120xx，则2112121212121212111()()()()()()(1)xxfxfxxxxxxxxxxxxx−−=−−−=−−=−−

+，因为120xx，则12121()(1)0xxxx−−+，即12()()fxfx，故()fx在(,0)−上单调递减．【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数254yxx=−+的单调递增

区间是()A．5[,)2+B．5[,4)2C．[4，)+D．5[1,),[4,)2+【分析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：令2540xx−+…，解得：4x…或1x„，而函数254yxx=−+的对称轴是：52x=，由复合函数同增异减

的原则，故函数254yxx=−+的单调递增区间是[4，)+，故选：C．【跟踪训练1-2】（2019秋•河西区期中）用函数单调性的定义证明：()xxfxaa−=+在(0,)+上是增函数（这里0a且1)a【分析】根据题意，设120xx，由

函数的解析式可得121212121()()()()xxxxxxafxfxaaa++−−=−，按a的取值范围分情况讨论，可得0a且1a时，都有12()()0fxfx−，结合函数单调性的定义分析可得答案．【解答】证明：根据题意，设120xx，有121122121

21212121()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxafxfxaaaaaaaaaaa+−−−+−−=+−+=−+−=−，当1a时，12xxaa，则有120xxaa−，1210xxa+−，则有12()()

0fxfx−，当01a时，12xxaa，则有120xxaa−，1210xxa+−，则有12()()0fxfx−，综合可得：0a且1a时，都有12()()0fxfx−，故函数()fx在(0,)+上是增函数．【名师指导】判断函数单调性常

用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本

初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.题型2函数单调

性的应用【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知()fx在(,)−+上是减函数，若1(3),(2),(3)2aflnbflncf===，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．cabC．bacD．cba【分析】

根据题意，由对数的运算性质可得11203324lnlnln=，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，11203324lnlnln=，又由()fx在(,)−+上是减函数，则有1(3)(3)(2)2fflnfln，即cab，故选：B．【例2-2】

（2020•济南二模）已知函数221,1()|1|,1xxxfxxx−+−=−„，若2(4)(3)fafa−，则实数a的取值范围是()A．(4,1)−B．(−，4)(1−，)+C．(1,4)−D．(−，1)(4−，)+【分析】由已知可知

()fx单调递增，结合单调性即可求解不等式．【解答】解：由分段函数的性质可知221,1()|1|,1xxxfxxx−+−=−„，()fx在R上单调递增，若2(4)(3)fafa−，则243aa−，解可得，4a或1a−．故选：D

．【例2-3】（2020•郑州三模）若函数2,0()(1)32,0xexaxfxaxax−+=−+−„在(,)−+上是单调函数，则a的取值范围是()A．[1，)+B．(1，3]C．1[2，1)D．(1，2]【分析】先利用导数与函数单调性的关系可知，当0x时

，()fx单调递增，于是()fx在R上单调递增，还需要满足010322aaea−−+„，解之即可得a的取值范围．【解答】解：当0x时，()2xfxexa=−+，()10xfxe=−在(0,)+

上恒成立，即()fx在(0,)+上单调递增，又函数()fx在(,)−+上是单调函数，010322aaea−−+„，解得13a„．故选：B．【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数22,0()1,02xxxfxxx

−−=−+…，113212111(()),(log),(())233afbcf===，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bacD．bca【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得()fx在R上为减函数，由指数、对数的运算性质可得1111636

21211111()()()()1327243log==，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数22,0()1,02xxxfxxx−−=−+…，区间(,0)−上，1()2fxx=−+为减函数，

且1()2fx，区间[0，)+上，22()2(1)1fxxxx=−−=−+−，为减函数，且()(0)1fxf=−„，故()fx在R上为减函数；又由111163621211111()()()()1327243log==，则有bac；故选：C．【跟踪训练2-2】（2019秋•

金华期末）已知函数21,0()1()1,02xxxfxx−=−+…，若2()(23)fafa+，则实数a的取值范围是．【分析】根据指数函数的单调性和增函数的定义即可判断出分段函数()fx在R上是增函数，从

而根据2()(23)fafa+得出223aa+，从而可求出a的取值范围．【解答】解：21xy=−在[0，)+上是增函数，1()12xy=−+在(,0)−上是增函数，且00121()12−=−+，()fx在R上是增函数，由2()

(23)fafa+得，223aa+，解得1a−或3a，a的取值范围是{|1aa−或3}a．故答案为：{|1aa−或3}a．【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数22,1()

(21)24,1xaxxfxaxax−+=−−+„，若()fx在R上是增函数，则实数a的取值范围是．【分析】根据()fx是R上的增函数，根据二次函数、一次函数的单调性，以及增函数的定义即可得出21210(21)124

121aaaaa−−−+−+……，解出a的范围即可．【解答】解：()fx是R上的增函数，1210212412aaaaa−−−+−+……，解得12a剟，实数a的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．【名师指导】解函数不等式的理论依据是函数单

调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函数f(x)的单调性；(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解．题型3函数的值域（最值）【例3-1】（2019秋•历城区校

级期末）若函数(0,1)xyaaa=在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，则a的值为()A．12B．32C．23或2D．12或32【分析】分1a和01a两种情况，求出xya=最大值和最小值，然后由函数的

最大值与最小值的差为2a，建立关于a的方程，再解出a的值．【解答】解：当1a时，xya=在[1，2]上递增，y的最大值为2a，最小值为a，函数xya=在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，22aaa−=，解得32a

=或0a=（舍)．当01a时，xya=在[1，2]上递减，y的最大值为a，最小值为2a，函数xya=在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，22aaa−=，解得12a=或0a=（舍)．综上，32a=或12a=．故选：D．【例3-2】（2

020•辽宁模拟）已知函数228,1()4,1xaxxfxxaxx−+=++„，若()fx的最小值为f（1），则实数a的值不可能是()A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意，直接将1a=代入，计算函数的最小值为f（2），不合题意，由此即可得出正确选项．【解答】解：当1a=时，22

8,1()41,1xxxfxxxx−+=++„，则当1x„时，2()(1)77fxxf=−+=…（1）；当1x时，4()12415fxxx=+++=…，当2x=时取等号；综上，函数的最小值为f（2），不合题意；结合单项选择的特征可知，实数a的值不可能为1．故选：

A．【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数21,2()(04,2axxfxalogxx−=+„且1)a的最大值为3，则实数a的取值范围是．【分析】利用分段函数的单调性以及函数的最值转化求解即可．【解答】解：函数21,2()(04,2axxfxalogxx−=+

„且1)a，当2x„时，()213fxx=−„，恒成立，当2x时，必须()4log3afxx=+„恒成立，即：log1ax−„，所以logayx=在2x时是减函数，可得log21a−„，则1012aa−

…，解得1(2a，1)．故答案为：1(2，1)．【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用{mina，}b表示a，b两个数中的最小值．设(){4fxminx=−−，6}x−，则()fx的最大值为()A．4−B．5−C．6−D．10−【分析】在坐标系内画出函数4yx=−−，6yx=−的图象，

根据图象求出()fx的最大值．【解答】解：画出函数4yx=−−和6yx=−的图象如图所示：结合图象，(){4fxminx=−−，6,16}4,1xxxxx−−=−−…，故()fx的最大值是f（1）5=

−，故选：B．【名师指导】求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用

基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．