【文档说明】押题卷04 《2022年全国普通高等院校统一招生考试（押题）数学试卷》（新教材·新高考）（解析版）.docx，共(25)页，1.747 MB，由管理员店铺上传

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注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡

上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A

={x|－1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{－1，0，1}C．{0，1，2}D．{－1，0，1，2}【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】∵集合A={x|－1≤x≤2}，B={0，1，2，3}

，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则zz=（）A．5B．3C．5－4iD．3－4i【答案】A【解析】【分析】直接写出复数,zz，再按照复数的乘法运算即可求得

结果.【详解】由题意知，i22izz−==+，，()()2i524ii2zz=−=−=+.故选：A.3．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）A．B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】先计算圆锥的底面周长，即为

侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积【详解】设圆锥的母线为l，即侧面展开图的半径为l又圆锥的底面半径为1，则侧面展开图的弧长为2，又侧面展开图是半圆，则2l=，则2l=所以该圆锥的侧面积为2122

l=故选：B4．已知函数()()sinfxAx=+，()0,0,0A的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12和712，图象在y轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．()fx的最小正周期为B．

()fx的最大值为2C．14f=D．3fx+为偶函数【答案】D【解析】【分析】利用图象求出函数()fx的解析式，可判断AB选项；求出4f的值，可判断C选项；判断3fx+的奇偶性，

可判断D选项.【详解】由题意可知，函数()fx的最小正周期为721212T=−=，则22T==，A对；sin126fAA=+=，可得πsinφ16骣琪+=琪桫，0，则7666+，所以，62+=，可得3=，所以

，()0sin33fA==，可得2A=，B对；()2sin23fxx=+，则2sin2cos14233f=+==，C对；()2sin22sin22sin2333fxxxx+=+

+=+=−，故3fx+为奇函数，D错.故选：D.5．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为F，过点F的直线20xy−+=与椭圆C相交于不同的两点,AB，若P为线段AB的中点，O

为坐标原点，直线OP的斜率为12−，则椭圆C的方程为（）A．2213xy+=B．22142xy+=C．22153xy+=D．22163xy+=【答案】B【解析】【分析】先求得焦点，也即求得c，然后利用点差法求得22ba，从而求得,ab，也即求得椭圆C的方程.【详解】直线20xy−+=过点()2

,0F−，所以2c=，设()()1122,,,AxyBxy，由2222112222221,1xyxyabab+=+=两式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx+−−=+−，即22222222111,,222bbabbcaa−=−===+，所以2

,2bca===，所以椭圆C的方程为22142xy+=.故选：B6．已知(,)2，2cos24sinsin=+，则tan=（）A．33−B．24−C．3−D．22−【答案】B【解析】【分析】由余弦的二倍角公

式变形后求得sin，由平方关系求得cos，再由商数关系得tan．【详解】因为2cos24sinsin=+，所以2212sin4sinsin−=+，26sinsin10+−=，(3sin1)(2sin1)0−+=，(,)2，sin0

，所以1sin3=，2122cos133=−−=−，sin2tancos4==−．故选：B7．已知函数()yfx=，若()0fx且()()0fxxfx+，则有（）A．()fx可能是奇函数，也可能是偶函数B．()()11ff−C．42x时，c

os22s(os)(inc)xfefxxD．(0)e(1)ff【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义结合()0fx即可判断A；令()()22exgxfx=，利用导数结合已知判断函数()gx的单调性，再根据函数()gx的单调性逐

一判断BCD即可得解.【详解】解：若()fx是奇函数，则()()fxfx−=−，又因为()0fx，与()()fxfx−=−矛盾，所有函数()yfx=不可能时奇函数，故A错误；令()()22exgxfx=，则()()()()()()222222eeexxxgxxfxfxxfxfx

=+=+，因为22e0x，()()0fxxfx+，所以()0gx，所以函数()gx为增函数，所以()()11gg−，即()()1122e1e1ff−，所以()()11ff−，故B错误；因为42x，所以20cos2x，2sin12x

，所以sincosxx，故()()sincosgxgx，即()()22sincos22esinecosxxfxfx，所以()()()22cossincos222sinecosecosxxxfxfxfx−=，故C错误；有()()01gg，即()()0e1ff，故D正确.故选：D.8．

甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）A．()()EXEY=，()()DXYD=B．()()EXEY=，()()DXDYC．()(

)EXEY，()()DXDYD．()()EXEY，()()DXYD=【答案】D【解析】【分析】Y的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出()EY，进而求出()DY；X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出(

)EX，进而求出()DX，由此能求出结果．【详解】解：由题意得X的可能取值为1，2，3，则1331(1)39CPX===，223332(2)33CAPX===，3332(3)39APY===，所以12219()1239399EX=++=，22219119219226()(1)(2)

(3)99939981DX=−+−+−=，Y的可能取值为0，1，2，则3332(0)39APY===，223332(1)33CAPY===，1331(2)39CPY===，2218()0129399EY=++=，22282828126()(0)(1)(2)99939981DY=−

+−+−=；()()EXEY，()()=DXDY．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．给定一组数5，5

，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A．平均数为3B．众数为2和3C．方差为85D．第85百分位数为4.5【答案】ABC【解析】【分析】求得平均数判断选项A；求得众数判断选项B；求得方差判断选项C；求得第85百分位数判断选项D.【详解】选项A：此组数据平均数为1(10

5+5+4+3+3+3+2+2+2+1)3=.判断正确；选项B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次.则此组数据众数为2和3.判断正确；选项C：此组数据方差为2222218(53)

2(43)(33)3(23)3(13)=105−+−+−+−+−.判断正确；选项D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.1085%=8.5，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5.判断错误.故选：ABC1

0．已知向量()10a=，，()cos,sinb=r，θ∈,22−，则ab+的值可以是（）A．2B．3C．2D．22【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，求出ab+的坐标，由向量模的计算公式可得2

22cosab=++，结合的范围结合选项判断即可【详解】由()10a=，，()cos,sinb=r，可得()cos1,sinab+=+，则()222cos1sin22cosab=++=++，因为22−，，

所以0cos1θ，所以224ab+，所以22ab+，则A、B、C符合题意，故选：ABC．11．已知圆22:420Cxyx+−+=，点(),Pab是圆C上的动点，以下结论正确的是（）A．圆C关于直线320xy+−=对称B．直线3

yx=−与圆C相交所得弦长为6C．4ba−的最小值为1−D．22ab+的最大值为22+【答案】ABC【解析】【分析】将圆心坐标代入直线方程，可判断A选项；利用勾股定理可判断B选项；令4bka=−，分析可知直线40kxyk−−=与圆C有公共点，求出k的取值范围，可判断C选项；利用圆的几何性质求出

22ab+的最大值，可判断D选项.【详解】圆C的标准方程为()2222xy−+=，圆C的圆心为()2,0C，半径为2r=.对于A选项，因为23020+−=，即直线320xy+−=过圆心，故圆C关于直线320xy+−

=对称，A对；对于B选项，圆心C到直线3yx=−的距离为1222d==，所以，直线3yx=−与圆C相交所得弦长为22122262rd−=−=，B对；对于C选项，令4bka=−，可得()4bka=−，所以，点(),Pab在直线40kxyk−−=上，所以，直线40k

xyk−−=与圆C有公共点，则22421kkk−+，解得11k−，故4ba−的最小值为1−，C对；对于D选项，222bOaP+=（O为坐标原点），如下图所示：当O、C、P三点共线且点C在线段OP上时，OP取得最大值22+，故22ab+的最大值为

()222642+=+，D错.故选：ABC.12．如图所示，三棱锥PABC−中，ACBC⊥，1ACBCPC===，D为线段AB上的动点（D不与,AB重合），且ADPD=，则（）A．PACD⊥B．45DPC=C．存在点D，使得PABC⊥D．三棱锥PBCD−的体积有最大值224【答案】ABD【

解析】【分析】取PA中点E，证明PA⊥垂直于平面CDE判断A；证明PCD与ACD△全等判断B；反证法推理判断C；建立三棱锥PBCD−体积的函数关系计算判断D作答.【详解】三棱锥PABC−中，取PA中点E，连接DE，CE，如图，因1ACBCPC===，ADPD=，则,DEPACEPA⊥⊥，

而DECEE=，,DECE平面CDE，则有PA⊥平面CDE，又CD平面CDE，所以PACD⊥，A正确；因ACBC⊥，1ACBCPC===，则45CAB=，又ADPD=，则PCDACD，于是得45DPCCAB==，B正确；假设存在点D，使得PABC⊥，由选项A知PACD⊥，又CDB

CC=，,CDBC平面ABC，则PA⊥平面ABC，而AC平面ABC，于是得线段AC是平面ABC的斜线段PC在平面ABC上的射影，必有PCAC，与1ACPC==矛盾，所以假设是错的，C不正确；令(02)PDADxx==

，则2BDx=−，令PD与平面ABC所成角为(0)2，因此，点P到平面ABC的距离sinsinhPDx==，而12sin(2)244CBDSCBDBx==−，则三棱锥PBCD−的体积212222(2)sin()sin31212224BCDxxVShxx+−==

−，当且仅当22x=，且2=时取“=”，所以当D是AB中点，且PD⊥平面ABC时三棱锥PBCD−的体积取最大值224，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择与给定问题密切相关的面作底面求解为好.第II卷非选择

题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()33xxfxa−=+是偶函数，则a=______．【答案】1【解析】【分析】利用偶函数定义可直接求得结果.【详解】()fx为偶函数，()()fxfx−=，即33

33xxxxaa−−+=+，1a\=.故答案为：1.14．已知F是抛物线2:4Cyx=的焦点，P是C上一点，O为坐标原点，若5PF=，则OP=___________.【答案】42【解析】【分析】由抛物线定义求出点P坐标即可得出答案.【详解】由抛物线方程可得2p=，由抛

物线定义可得152PPpPFxx=+=+=，即4Px=，则4Py=，则2242PPOPxy=+=.故答案为：42.15．已知函数1lneeyxx=的图象上存在点P，函数212cyx−=+的图象上存在点Q，且P、Q关于x轴对称，则实数c的取值范围为________【答案】2

1e,122−【解析】【分析】设()00,Pxy则()00,Qxy−，可得2001ln2cxx=−，构造函数20001()ln2hxxx=−，01,eex，求0()hx值域即可.【详解】设()00,Pxy则()00,Qx

y−所以00lnyx=，20012yxc−=−+，联立可得2001ln2cxx=−，即2001ln2cxx=−对于01,eex有解，令20001()ln2hxxx=−，则20000011()

xhxxxx−=−=，由0()0hx可得：1ex；由0()0hx可得：11ex，所以0()hx在1,1e单调递减，在1,e上单调递增，0min1()(1)2hxh==，又()2222111111eln1,eeln

e1e2ee2e22hh=−=+=−=−，所以20maxe()12hx=−，所以0()hx值域为21e,122−，即可得c的取值范围为21e,122−，故答

案为：21e,122−.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于把问题转化为函数20001()ln2chxxx==−，01,eex，利用导数求函数的值域即得.16．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代

电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪（1906–1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有n个圆环，用na表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数.已知数列{}na满足下列条件：1*122=

122(3,)nnnaaaannN−−==+，，，记{}na的前项和为nS.则（1）5a=_______；（2）100S=_______.【答案】2110221543−【解析】【分析】(1)根据11a=和递推公式122nnnaa−−−=，逐项列

出奇数项相减，利用累加法求出奇数项的通项公式，进而即可求出5a；(2)结合(1)可求出偶数项的通项公式，进而得出数列{}na的通项公式，根据分组求和法和等比数列的求和公式计算即可得出结果.【详解】(1)由题意得，当3n时，122nnnaa−−−=，当n为奇数时，1n−为偶数，

则11a=，2312aa−=，4532aa−=，L，122nnnaa−−−=，各式相加，可得241111222(21)3nnna−+=++++=−，所以5151(21)213a+=−=；(2)当n为偶数时，1n−为奇数，则22a=，3422aa−=，5642aa−=，L，122nnnaa−−

−=，各式相加，可得351112222(22)3nnna−+=++++=−，所以111(21)2131(22)23nnnnkank++−=+=−=，，(kN)，所以100139924100()()Saaaaaa=++++

+++2410035101111111[(21)(21)(21)][(22)(22)(22)]333333=−+−++−+−+−++−241003510111(22250)(222250)33=+++−++++−2

31011(222)503=+++−21021021222154503123−−=−=−.故答案为：21；10221543−.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．

在①1(1)(2)2nnSan=−+，②222(21)(2)0nnSnnSnn−+−−+=，0na这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列{}na的前n项和为nS，满足___________.记数列1{}nS的前n项和为nT.(1)求

{}na的通项公式；(2)求证：1334nT.注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.【答案】(1)21nan=+(2)证明见解析【解析】【分析】（1）选择①则利用退位相减法求na，选择②则先求nS，再求na（2）

利用裂项相消法先求nT，所要证明的不等式右端可以通过放缩证明，左端利用nT的单调性可证.(1)选择①由()()1122nnSan=−+有当1n=时，()()11111122aSa==−+，解得13a=当2

n时，()()111112nnSan−−=−+，所以()()()()1111121122nnnnnaSSanan−−=−=−+−−+，即()111nnnana−=++，两边各项同除以(1)nn+得11111(1)1nnaannnnnn−−==−+++（2

n），当2n时1122321111112322nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnnn−−−−−=−+−+−++−+++−−−1111111131121232nnnnnn=−+−+−++−++−−

−131121222111nnnn+=+−=−=+++21nan=+经检验当1n=时，21nan=+也成立，故21nan=+选择②由()()2222120nnSnnSnn−+−−+=()()2210nnSnnS−++=所以22nSnn=+或1nS=−0na

，所以1nS=−舍去22nSnn=+当1n=时，2111213aS==+=，当2n时，2212(1)2(1)21nnnaSSnnnnn−−=+−−−−=+=，当1n=时，符合上式，21nan=+(2)选择①由（1）知21nan=+，已

知()()1122nnSan=−+()()()()()11122112222nnSannnnn=−+=+−+=+11111()(2)22nSnnnn==−++12111nnTSSS=+++11111111121324112nnnn=−+−++−+−

−++1111121212nn=+−−++()()31142122nn=−−++()()3113421224nTnn=−−++另一方面，nT是关于n的增函数，1311311142(11)2

(12)4463nTT=−−=−−=++≥综上有：1334nT选择②由（1）知22nSnn=+()11111222nSnnnn==−++12111111111111[()()()()]21324112nnTSSS

nnnn=+++=−+−++−+−−++11111311()2121242(1)2(2)nnnn=+−−=−−++++311342(1)2(2)4nTnn=−−++另一方面，nT是关于n的增函数，1

311311142(11)2(12)4463nTT=−−=−−=++≥综上有：1334nT.18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设

对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．(1)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务

，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？(2)已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是110，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；(3)2.7万名志愿者中，1835−

岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：1835−岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为0p，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计

值记为1p，试比较0p与1p的大小．（结论不要求证明）【答案】(1)111(2)分布列见解析，15(3)10pp【解析】【分析】（1）根据古典概型的计算公式直接计算；（2）分别计算概率并列出分布列，并求期望；（3）根据古典概型计算公式分别计算0p与1p，并比较大小.(1)

由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，故乙可被分配的志愿服务共11，所以乙被分配到场馆运行服务的概率为111；(2)由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，故()200211810C11010100P==−=

，()1112111891C1101010050P==−==，()02221112C11010100P==−=，分布列如下：012P81100950110

0期望()81911012100501005E=++=；(3)由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为09019190514100p+==+++，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为190189190519100p==+，

故10pp.19．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2222coscosabcaCacA+−=+.(1)求角C的大小；(2)如图，若2CDDA=，E为BC的中点，CDE△的面积为3，CDE△的周长为6，求AB边的长度.【答案】(1)3C=(2)13AB=【解析】【分析

】（1）根据余弦定理将角化为边，即可求得角C的大小；（2）首先设CDm=，CEn=，结合余弦定理和三角形面积公式，求得m，n，再利用条件求AC，BC，最后根据余弦定理求AB.(1)由余弦定理有222222222222

abcbcaabcaacabbc+−+−+−=+，可得()()22222222222aabcabcaabcbb+−+−+−=+，可得222222ababcb+−=，有222abcab+−=，有2221cos222a

bcabCabab+−===，又由0C，可得3C=；(2)设CDm=，CEn=，由CDE△的面积为3，有1sin323mn=，可得4mn=，由余弦定理有2222()3()12DEmnmnmnmnmn

=+−=+−=+−，由CDE△的周长为6，有2()126mnmn+++−=，解得4mn+=，联立方程44mnmn+==，解得2mn==，又由2CDDA=，E为BC的中点，可得3AC=，4BC=，由余弦定理可得22134234

132AB=+−=20．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=60°，3AEAF==，23BEDF==，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．设点

T为BC上的点．(1)若点T为BC上的中点，证明：BC⊥平面PAT；(2)若二面角BPAT−−的正弦值为2114，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)3714【解析】【分析】（1）由BC⊥PA和BC⊥AT即

可证得BC⊥平面PAT；（2）由定义得到∠BAT为二面角BPAT−−的平面角，借助解三角形求出相关边长，建立空间坐标系，求出面PAT的法向量，按照线面角的向量求法求解即可.(1)由菱形ABCD的边长为3，

3AEAF==，23BEDF==，可得：222DFADAF=+，即有AD⊥AF，在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：PA⊥AD，又ADCB∥，所以BC⊥PA．菱形ABCD中，∠ABC=60°．点T为BC上的中点，所以BC⊥AT．可得BC⊥平面PAT.(2)由第（1）问可得：PA⊥AB，PA

⊥AD，PA⊥底面ABCD，如图，以点A为原点，AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，作TQAB⊥交AB于Q，由PA⊥AB，PA⊥AT知∠BAT为二面角BPAT−−的平面角，由题意可得：21sin14BAT=，57

cos14BAT=，考虑△BAT，∠ABT=60°，可得()211573321sinsin6014214214ATBBAT=+=+=．利用正弦定理sinsinABBTATBBAT=可得：1BT=，13,22BQTQ==，可得点T的坐标为53,,022，

点()0,0,3P，()0,0,0A，333,,022C设面PAT的法向量为(),,mxyz=，则有00mAPmAT==，即：30530zxy=+=．令3x=，则有()3,53,0m=−，

333,,322PC=−则有：37cos,14mPCmPCPCm==−则PC与面PAT所成角的正弦值为3714．21．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=与抛物线()2:20Eypxp=有共同的焦点F，双曲线C

与抛物线E交于A，B两点，且5AFBFOF+=（O为坐标原点）．(1)求双曲线C的离心率．(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：PFMN=．【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得54AFBFp==，进而得36,42

App，再结合双曲线的定义得4pa=，再求离心力即可；（2）结合（1）得22233xya−=，设直线MN的方程为332,00,33xkyak=+−，()1

1,Mxy，()22,Nxy，00(,)Pxy，进而联立方程，结合韦达定理得MN的垂直平分线的方程为22621313akaykxkk−=−−−−，P的坐标为28,013ak−，最后结合弦长公式求解即可.(1)解：根据题意，A

，B关于x轴对称，5AFBFOF+=所以54AFBFp==．设A的横坐标为Ax，则2ApAFx=+，所以34Axp=，所以36,42App．所以，由双曲线的定义知2222333324224

222pppapppp=++−−+=，解得4pa=．因为2pc=，所以双曲线C的离心率2cea==．(2)证明：由（1）知222224cabaa+==，223ba=，()2,0Fa，所以双曲线C的方程为22

233xya−=．设直线MN的方程为()20xkyak=+，()11,Mxy，()22,Nxy，00(,)Pxy，联立方程组222332xyaxkya−==+，得()222311290kyakya−++=，则122

1213akyyk+=−，2122931ayyk=−．因为()121224413axxkyyak+=++=−，()()()2212122342213akxxkyakyak+=++=−，因为过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，所

以1212Δ000xxxx+，解得33,00,33k−所以MN的中点坐标为2226,1313aakkk−−．因为MN的垂直平分线的方程为22621313akaykxkk−=−−−−，所以P的坐标为28,013ak

−，所以()22261821313akaPFakk+=−=−−．因为()()22222226112361131313akakaMNkkkk+=++=−−−，所以PFMN=．22．已知函数()lnfxxax=−(1)讨论函数的单调性(2)若函

数()yfx=存在两个零点12,xx，①求实数a的取值范围②证明：212exx.【答案】(1)答案见解析；(2)①10ea；②证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，再对a分两种情况讨论得解；（2）①求导对a分两种情况讨论，求出函

数的最大值，解不等式max()0fx即得解；②等价于122xxa+，令()()2Fxfxfxa=−−，求出函数()Fx在10,a上单调递减，即得证.(1)解:()fx的定义域

为()0,+,()1fxax=−当0a时，()()0,fxfx在()0,+上单调递增，0a时，令()()10,0,fxxfxa在10,a上单调递，令()()10,,fx

xfxa在1,a+上单调递减.综上所述，0a时，()fx在()0,+上单调递增；0a时，()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.(2)解：①因为()fx的两个零点为12,xx.()11.axfxaxx=−=−当0a时，()

()0,fxfx在()0,+上单调递增，不存在两个零点；当0a时，()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，则max11()ln10fxfaa==−，得10ea.②设12xx，则12110,,,xxaa+

.因为()()120fxfx==，所以1122ln,lnxaxxax==.要证212exx，即要证()1212lnln2xxaxx+=+，即证122xxa+.令()()222lnlnFxfxfxxaxxaxaaa=−−=−−−−+

21lnln22,0,.xxaxxaa=−−+−则()()22(1)02axFxxax−=−，所以()Fx在10,a上单调递减，所以()10FxFa=

.因为()()11120Fxfxfxa=−−，所以()()11220fxfxfxa−==.因为2121,,xxaa−+，且()fx在1,a+上单调递减

，所以212xxa−，即122xxa+，故212exx成立.