【文档说明】押题卷04 《2022年全国普通高等院校统一招生考试（押题）数学试卷》（浙江专用）（解析版）.docx，共(21)页，1.636 MB，由管理员店铺上传

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注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡

上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集0124{}U=，，，，且{}12UA

=，ð，则集合A=（）A．{1，4}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2}【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】解：因为全集0124{}U=，，，，且{}12UA=，ð，所以}4{0A=，.故选：B2．双面线()2222:10,0xyCab

ab−=的一条渐近线的倾斜角为60，则C的离心率为（）A．2B．2C．3D．3【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线可直接计算离心率.【详解】由已知一条渐近线的领斜角为60，可得渐近线斜率tan603ba==，故()2221132cbeaa==+=+=，故选：A．3．若,xy满足约

束条件42104xxyy+，则zxy=+的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，结合数形结合法及zxy=+的几何意义求最小值.【详解】由约束条件可得如下可行域，又z表示直线0xy+=在平移过程中与

可行域有交点时，坐标轴上的截距，由图知：当zxy=+过4,210xxy=+=的交点(4,2)时，min6z=.故选：B4．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图

，则它的外接球的体积为（）A．43B．823C．42πD．83【答案】B【解析】【分析】作出直观图，找到外接球球心得球半径后可得体积．【详解】由三视图知如图直三棱柱111ABCABC−的底面ABC是等腰直角三角

形，90ACB=，设1,DD分别是11,ABAB的中点，则1,DD分别是两个底面的外接圆圆心，1DD的中点O是三棱柱的外接球的球心．由三视图知，1,1ADOD==，因此2OA=，球体积为3482(2)33V==．故选：B．5．下列选项中，ab的一个充分不必要条件的是（）

A．lglgabB．22abC．eeabD．11ab【答案】A【解析】【分析】由0abab，再依次判断4个选项即可.【详解】0abab，A选项：lglgabab，能推出ab，反之不成立，A正确；B选项：取2,1ab=−=，22ab成立

，但a无意义，B错误；C选项：取1,1ab==−，eeab成立，但b无意义，C错误；D选项：取1,1ab=−=，11ab成立，但a无意义，D错误.故选：A.6．函数||()2xfx=，4()gxx=，则函数()()yfxgx=+的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先判断出()()yfxgx=+为偶函数，排除A;又()01h=，排除D;利用单调性判断B、C.【详解】因为函数||()2xfx=，4()gxx=，所以函数4442,0()()22,0xxxxxyfxgxxxx−+

=+=+=+.所以()4442,0()()22,0xxxxxhxfxgxxxx−+=+=+=+定义域为R.因为()()()|4|||422xxhxhxxx−==−+−=+，所以()()()hxfxgx=+为偶函数.排除A;又()|4|00102h=

+=，排除D;因为2xy=在()0,+为增函数，4yx=在()0,+为增函数，所以42xyx=+在()0,+为增函数.因为()()()hxfxgx=+为偶函数，图像关于y轴对称，所以42xyx=+在(),0−为减函数.故B错误，C正确.故选：C7．为排查新型冠状病毒

肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，

这k份核酸的检测次数总共为1k+次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为()01pp，若10k=，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式

优于逐份检测方式.（参考数据：lg0.7940.1−）（）A．0.1B．0.3C．0.4D．0.5【答案】A【解析】【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数Y的期望()EY，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，知()10EX=，利用()()EYEX

求解可得p的范围，即可得出选项.【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值为1，11.()()1011PYp==−，()()101111PYp==−−，故Y的分布列为：Y111P()101p−()1011p−−()()()()101010

11111111101EYppp=−+−−=−−设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，则()10EX=要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()EYEX即()101110110p−−

，即()101110p−，即0.1011p−−又lg0.7940.1−，lg0.7941010.794p=−，0.79.140206p=−，00.206p.故选：A.8．已知()fx是偶函数，且在(),0−上递减，若1,12x时，()()12f

axfx+?恒成立，则实数a的取值范围是（）A．4,2−B．(,2−C．)4,−+D．4,2−−【答案】A【解析】【分析】先利用偶函数性质()()()fxfxfx=−=，再根据单调性得到12axx+?，根据绝对值性质，取掉绝对值，分离参数转化为

函数恒成立问题，求最值即可.【详解】因为()fx是偶函数，所以()()()fxfxfx=−=，所以()()12faxfx+?在1,12x恒成立等价于()()12faxfx+?在1,12x恒成立，又因为()fx在(),0

−上递减，根据偶函数性质，()fx在()0,+上递增，所以12axx+?在1,12x恒成立，因为1,12x，所以20x+恒成立，即12axx+?，所以1212axxaxx+

++−−，即minmax1131axax+−−，设()11gxx=+，1,12x，易知函数()gx在1,12x单调递减，所

以()()12gxg=，即min11=2ax+；设()31hxx=--，1,12x，易知函数()hx在1,12x单调递增，所以()()14hxh=−，即max31=4ax−−−，综上所述：实数a的取值范围

是：42a−.故选：A.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()fx为偶函数，则()()()fxfxfx=−=．9．如图，已

知二面角l−−的棱l上有A、B两点，C，ACl⊥，D，BDl⊥，若2ACABBD===，22CD=，有以下命题：（1）直线AB与CD所成角为45（2）二面角l−−的大小为60（3）直线CD与平面所成角的正弦值为64（4）棱锥ABCD−的体积为23则正确命题的个数有（）A．1B．2

C．3D．4【答案】C【解析】【分析】过A作//AEBD且AEBD=，连接CE、DE，取AE的中点O，连接CO、DO，利用异面直线所成角的定义可判断（1）；利用二面角的定义可判断（2）；证明出CO⊥，利用线面角的定义可判断（3）；利用锥体的体积公式

可判断（4）.【详解】过A作//AEBD且AEBD=，连接CE、DE，则四边形ABDE是平行四边形，即//DEAB且DEAB=，所以，直线AB与CD所成角为CDE或其补角，因为ACl⊥，BDl⊥，则DEAE⊥，DEAC⊥，而

AEACA=，所以，DE⊥平面ACE，CE平面ACE，即有DECE⊥，2cos2DEABCDECDCD===，所以，45CDE=，（1）正确；因为BDl⊥，即AEl⊥，而ACl⊥，则CAE是二面角l−−的平面角，因为45CDE=，D

ECE⊥，则CDE△为等腰直角三角形，则2CEDE==，因此，2CEAEAC===，即ACE为正三角形，60CAE=，（2）正确；取AE的中点O，连接CO、DO，因为ACE为等边三角形，则COAE⊥，DE⊥平面ACE，CO平面ACE，则COD

E⊥，因为AEDEE=，CO⊥，则CDO是直线CD与平面所成角，因为sin603COAC==，则36sin422COCDOCD===，（3）正确；由（3）可知CO⊥平面，且3CO=，而122ABDSABBD==，12333ABCDCABDABDVVCOS−−

===，（4）不正确.故选：C.10．已知数列na，nb满足：11＝a，12b＝，11nnnnaaab+＋＝＋，11nnnnbbba+＋＝＋，则（）A．20202021aaB．20202020abC．20205bD．20205a【答案】D【解析】

【分析】由递推公式先证明00nnab，，再由递推关系证明na单调递增，111111nnab++−++为常数，由此判断各选项.【详解】由题意1100ab，及递推关系可知00nnab，.因为1(1)(1)1nnnnabab++＋＋＝，所以111=

1+11nnnaab+++，即1nnaa＋，故数列na单调递增，所以20202021aa，A错，11(1)(1)1,(1)(1)1,nnnnnnnnabababba+++++=++

+=，即()111,1(1)11,1(1)(1)nnnnnnnnbaababab++=+++=+++所以111na++－111nb++＝(1)(1)nnnnbaab−++＝11na+－11nb+＝111na−

+－111nb−+＝…＝111a+－111b+，而11111=116ab−++是一个常数，所以1111=1166nnab+++，解得5na，故20205a，D对，又因为1111=1161nnnabb++++，所以nnab，故20202020ab，B错，∵11nnnnbbba+＋＝＋

，∴11115nnnnnnbbbaaa+−＋＝，∴2115bb−，3215bb−，，2020201915bb−，∴2020120195bb−，∴2020120295b，C错故选：D.第II卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分

，单空题每题4分，共36分.11．若复数z满足i3i=iz−+，则z=________.【答案】5【解析】【分析】先利用复数运算法则求出12zi=+，进而求出模长.【详解】由已知得：()()()i3ii13iiiz−−+=

=+−，所以12zi=+，故5z=.故答案为：512．已知直线:4lmxy−=被圆22:280Cxyy+−−=截得弦长为4，则圆C的半径R=______，m的值为______．【答案】32【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程即可得出半径，

根据弦长可求得m.【详解】将圆的方程22280xyy+−−=化为()2219xy+−=，则可得出圆心()0,1C，半径3R=，圆心到直线的距离251dm=+，因为弦长为4，则2222522941Rdm−=−=+，解得2m=.故答案为：3；2.13．在54(1)(12)xx++−的展开式中，所有

项的系数和等于_________，含3x的项的系数是________．【答案】3322−【解析】【分析】用赋值法，令1x=求所有项的系数和；分析含3x的项的构成，直接求得.【详解】解：423450123455(1)(12)aaxaxaxaxaxxx=++

+++++−所以令1x=代入得：401235554(11)(12)2133aaaaaa=++++−+++=+=；而333333354(2)22aCxCxxx=+−=−故答案为：33；22−.14．在ABC中，6BC=，3A=，sin2sinBC=，则AB=_____

______；ABC的面积为___________.【答案】2363【解析】【分析】由正弦定理得出2bc=，再由余弦定理和三角形面积公式计算即可.【详解】设,,ABC对应的边为,,abc，sin2sin,2BCbc==，由余弦定理可得22262cos6

0bcbc=+−，即23c=，113sin2232363222ABCSbcA===△故答案为：23；6315．若椭圆22221yxab+=的焦点在y轴上，过点11,2作圆221xy+=的切线，切点分别为A，B，直线AB恰

好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________．【答案】2215yx+=【解析】【分析】设过点11,2的圆221xy+=的切线为l，分类讨论求得直线l分别与圆的切

线,AB，求得直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点11,2的圆221xy+=的切线分别为1(1)2−=−ykx，即102kxyk−−+=，当直线l

与x轴垂直时，k不存在，直线方程为1x=，恰好与圆221xy+=相切于点(1,0)A；当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为21||211kdk−+==+，解得34k=−，此时直线l的方程为3544yx=−+，此时直线l与圆221xy+=相切于点3

4(,)55B，因此，直线AB的斜率为14052315k−==−−，直线AB的方程为2(1)yx=−−，所以直线AB交x轴交于点(1,0)A，交于y轴于点(0,2)C，椭圆22221yxab+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)，

所以2,1cb==，可得2225abc=+=，所以椭圆的标准方程为2215yx+=.故答案为：2215yx+=.16．已知直线yt=分别与函数()21fxx=+和()2lngxxx=+的图象交于点A，B，则||AB的最小值为

__________.【答案】3ln22−【解析】【分析】由题意，||AB为A，B两点横坐标差的绝对值，因此设出坐标作差，再求最值即可.【详解】yt=与()21fxx=+的交点为1(,)2tAt−，函数2()2ln,()10,gxxxgxx=+

=+所以()gx在区间(0,)+上单调递增，令0()gxt=，对于一个t的值，有唯一的0x使0()gxt=，所以0(,)Bxt，有00002ln0ln2xtxxtx−+−==−，所以00000111|||||||

ln|2222222xxxttABxx−=−=+−+=−+，令1()ln22xhxx=−+，则11()2hxx=−，当(0,2)x时，()0hx，()hx在(0,2)上单调递减；当(2,)x+时，()0hx，()hx在(2,)+上单调递减.所以min213()ln2l

n20222hx=−+=−，故min3||ln22AB=−.故答案为：3ln22−17．菱形ABCD中，ππ1,,32ABA=，点E，F分别是线段,ADCD上的动点（包括端点），AECF=，则()AECFAC+=______

_____，EDEB的最小值为___________.【答案】014−##-0.25【解析】【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出0,1AEm=，表达出()22cos1

1cos24EDEAAmB−+=−−，利用二次函数的性质求最小值()2cos14A−−，再结合1cos0,2A求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故()0,0A，()10B,，()cos

,sinDAA，()1cos,sinCAA+，设0,1AEm=，则()cos,sinEmAmA，()1cos,sinFmAA−+，则()cos,sinAEmAmA=，(),0CFm=−，()1cos,sinACAA=+，()()

22()cos,sin1cos,sinsinsin0AECFACmAmmAAAmAmA+=−+=−+=；()()222cos11cos1coscos24EDEAAmAmABm−+=−++=−−因为ππ,32A，所以1cos0,2

A，1cos13,0,1224A+，故当1cos2Am+=时，EDEB取得最小值为()2cos14A−−，因为1cos0,2A，所以当cos0A=，即π2A=时，()2c

os14A−−最小，最小值为14−故答案为：0，14−三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知()13sincossin23234fxxxx=+++−.(1)求()fx的单调递增区间；(2)若

122612xafxf−−+对任意的5,66x恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)5,1212kk−++（kZ）(2)5a【解析】【详解】（1）化简得131133()cossincossin2cos2222224fx

xxxxx=+++−131cos2133sin2sin2cos2422444xxxx+=+++−13sin2cos2sin2223xxx=+=+，令222232kxk−++，kZ，解得

51212kx+−，kZ所以单调递增区间为5,1212kk−++，kZ.（2）由（1）可得1cos222612sinaffxaxxx−−+=−，即2cossin2xxa+，对任意的5,

66x恒成立，只需要maxsin2cos2xax+即可，22cos232sin32sinsinsinsinxxxxxx+−==−，令sintx=，1,12x，32ytt=−为减函数，所以当12t=时，max5y=，所以5a.19．如图，

在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，边长为1，PBAD⊥，PBD△为等边三角形.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)若M为棱PA的中点，求直线CM与平面PBD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)33【解析】【分析】（1）利用已知求出棱长，然后利用勾股定理证明PAAB

⊥，PAAD⊥，然后可证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，用向量法直接计算可得.(1)1AB=，则2BD=，取PB中点为H，连接AH，DH，∵PBD△为等边三角形，∴2PDPBBD===，DHPB⊥，又ADPB⊥，DHADD=

，DH平面ADH，AD平面ADH，∴PB⊥面ADH，∴PBAH⊥，H为PB中点，AH为PB的垂直平分线，∴1==PAAB，∴222PAABPB+=，∴PAAB⊥，同理由222PAADPD+=，得PAAD⊥，又ABADA=，ABÌ平面ABCD，AD平面

ABCD，∴PA⊥平面ABCD.(2)底面ABCD是是正方形，由（1）可知AB，AD，AP两两垂直，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，M(0，0，

12)设平面PBD的法向量为，(,,)nxyz=∵(1,1,0)BD=−，(1,0,1)BP=−，则有：00nBDxynBPxz=−+==−+=，取1x=得(1,1,1)n=，又有1(1,1,)2CM=−−设直线CM与平面PBD所成角为，∴332sin3332C

MnCMn===.20．已知等比数列{na}的各项均为正数，52a，4a，64a成等差数列，2434aa=，数列{nb}的前n项和(1)()2nnnSbnN+=，且11b=.(1)求{na}和

{nb}的通项公式；(2)设()212121(3)(1)(1)nnnnnbacnNbb++++=−+，记数列{nc}的前n项和为nA.求证：12nA.【答案】(1)1),(2nna=nbn=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设等比数列{}na的公比为0q

，由52a，4a，64a成等差数列，解得q．由2434aa=，利用通项公式解得1a，可得na．由数列{}nb的前n项和*(1)()2nnnSbnN+=，且11b=，2n…时，1nnnbSS−=−，化简整理即可得出nb；（2）11(24)()1122(22)2(1)2

nnnnncnnnn++==−++，利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论．(1)设等比数列{}na的公比为0q，52a，4a，64a成等差数列，456224aaa=+，即24442aaqaq=+，化为：2

210qq+−=，解得12q=．2434aa=，34qa=，即21114()22a=，解得112a=，1()2=nna．数列{}nb的前n项和*(1)()2nnnSbnN+=，且11b=，2n…时，11(1)22nnnnnnnbSSbb−−+

=−=−，化为：11nnbbnn−=−，111b=，数列{}nbn是每项都为1的常数列，1nbn=，化为nbn=．(2)证明：11(24)()1122(22)2(1)2nnnnncnnnn++==−++，数列{}nc的前n项和为22311111111111122222

322(1)22(1)22nnnnAnnn++=−+−++−=−++，12nA．21．已知抛物线2:2(0)Expyp=的焦点为F，点11,4T在E上．(1)求TF；(2)O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点

P，P在直线2y=−上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记OAB和PMN的面积分别为1S和2S．试探究：12SS是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【答案】(1)54(2)是，12SS为定值2【解析】【分析】（1）根据抛物线上的点求出p,再根据抛物线定义求TF

；（2）设A、B的坐标分别为211,4xx、222,4xx，利用导数求出斜率，得到切线方程，得出M,N坐标，表示出三角形面积即可求解.(1)因为点11,4T在E上，于是112p=，解得2p=，所以15424

pTF=+=．(2)抛物线方程为24xy=，故214yx=，所以12yx=．设A、B的坐标分别为211,4xx、222,4xx，则PA的方程为：2111()24xxyxx=−+即

21124xxyx=−，同理PB的方程为：22224xxyx=−，联立PA，PB方程得1212,24PPxxxxxy+==所以P、M、N的坐标分别为：1212,24xxxx+，1,02x，2,02x

，则1224xx=−，128xx=−，设AB的直线方程为ykxb=+，联立2,4,ykxbxy=+=消去y得：2440xkxb−−=，由韦达定理可知：1248xxb=−=−，所以2b=，故直线AB过定点(0,2)，所以1121

2122Sxxxx=−=−，12122122222xxxxS−=−=，因此，122SS=，故12SS为定值2．22．已知函数()()ln1fxxxaxaR=−+.(1)若1a，讨论()fx零点的个数；(2)求证：当

1x时，2(ln1)lnln2exxxx++（注：ln20.6931）.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求得()ln1fxxa=+−，得出函数的单调性和()1min1eafx−=−，分1a和1a=，两种情况讨论，即可求

解；（2）当1a=时，由（1）中()fx的单调性，证得当0x时，ln1xxx+恒成立，把不等式转化为证明2ln21exx++，令()2,0exgxxx=+，利用导数求得函数()gx单调性性与最小值，证得2ln21ex

x++，进而证得2(ln1)lnln2exxxx++恒成立.(1)解：由题意，函数()ln1fxxxax=−+，可得()ln1fxxa=+−，令()0fx，可得1eax−，令()0fx，可得10eax−，所以()f

x在()10,ea−上单调递减，()1e,a−+上单调递增，所以()()11mine1eaafxf−−==−当1a时，()11e1e0aaf−−=−，此时()fx没有零点当1a=时，()11e1e

0aaf−−=−=，此时()fx有且只有一个零点综上：当1a时，()fx没有零点；当1a=时，()fx有且只有一个零点.(2)解：当1a=时，()ln1,0fxxxxx=−+，可得()lnfxx=，当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递减；当()1,x+时，()0f

x，()fx单调递增，所以()()10fxf=，即ln1xxx+，即当0x时，ln1xxx+恒成立，因为1x，所以ln0x，要证2(ln1)lnln2exxxx++，只需证2lnln2exxx+，只需证2ln1ln21

exxx+++，只需证2ln21exx++，令()2,0exgxxx=+，可得()2e21eexxxgx−=−=，当(0,ln2)x时，()0gx，()gx单调递减；当(ln2,)x+时，()0gx，()gx单调递增，所以()()ln22ln2ln2ln21egxg=+

=+，即2ln21exx++成立，当且仅当ln2x=时，等号成立，又由不等式ln1xxx+，当且仅当1x=时，等号成立，所以2(ln1)lnln2exxxx++恒成立.