【文档说明】四川省泸州市泸县第五中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.751 MB，由小赞的店铺上传

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泸县五中2023年春期高一期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2A=−，21Bxx=，则AB=（）A.1,0,1−

B.0,1C.1,1−D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可求出11Bxx=−，再根据交集定义求解.【详解】由21x解得11x−，所以11Bxx=−，所以AB=1,0,1−，故选:A.2.已知复数z满足121zii=+−(其中i为虚

数单位)，则z=（）A.3B.22C.2D.10【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z，然后利用复数模的公式计算．【详解】因为()()1i12i3iz=−+=+，所以22||=3110z+=.故选：D.3.已知某地区中小学生人数和近视情况

分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.100，20B.200，20C.100，10D.20

0，10【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++=，其中高中生人数为20002%40=，高中生的近视人数为4050%20=，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.4.某学校在校学生有3000人，

为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为,,abc，且::2:3:4abc=，全校参加登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为3

00的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（）A.15人B.30人C.45人D.60人【答案】D【解析】【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为3300018005

=，所以1800abc++=.因为::2:3:4abc=，所以31800600234b==++.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为300600603000=.故选

：D5.O为平行四边形ABCD两条对角线的交点，124,6ABeBCe==uuururuuurur，则DO=（）A.122ee+B.122ee−C.1223ee+D.1223ee−【答案】D【解析】【分析】由题意可得1

2DODB=uuuruuur，再由向量的减法结合条件可得答案.【详解】()()1211123222DODBABADABBCee==−=−=−．故选:D．6.已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若⊥，

⊥，则//B.若//m，//m，则//C.若m⊥，n⊥，则//mnD.若//m，//n，则//mn【答案】C【解析】【分析】ABD均可举出反例，由线面垂直的性质可得得到C正确.【详解】对于A，垂直于同一平面

的两平面相交或平行，如图1，⊥，⊥，而，相交，故A错误；对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，满足//m，//m，但,相交，B错误；对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，如图3，满足//m，/

/n，但,mn相交，故D错误.故选：C.7.已知在△ABC中，3,4,10ABACBC===，则ABBC＝A.34−B.32−C.32D.34【答案】B【解析】【详解】分析：由余弦定理可得10cos,20B=利用

()cosABBCABBCB=−可得结果.详解：在ABC中，由余弦定理得，()222310410cos,,202310BABBC+−==的夹角等于B−，根据向量的数量积定义，()cosABBCABBCB=−1

03310202=−=−，故选B.点睛：本题考查利用定义求平面向量数量积，及余弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA=+−；（2）222cos2bcaAbc+−=，

同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8.已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为323，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A.32B.28C.24D.20【答案】A【解析】【分析】先求得内切球半径2r=，再画图设底面半径为R，利用三角函数值代换表达出表面积的公式4224RSR=−，再设240tR=−，根据基本不等式求

最小值即可【详解】设圆锥的内切球半径为r，则343233r=，解得2r=，设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，内切球切母线AB于E，底面半径2BCR=，BDC=，则tan2R=，又2ADE=−，故()2tan22tan2ABBEAERR

=+=+−=−，又2222tan4tan21tan414RRRR===−−−，故()2224844RRRABRRR+=−=−−，故该圆锥的表面积为()2242224244RRRSRRR+=+=−−，令240tR=−，

则()22416162822832tSttttt+==+++=，当且仅当16tt=，即4,22tR==时取等号.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若()19PAB=，()23PA=，()13PB=，则关于事件A与B关系正确的是（）A.事件A与B互斥B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据互斥

与独立事件的定义判断即可的【详解】因为()19PAB=，所以A与B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；()23PA=，所以()13PA=，又()13PB=，故()()()PABPAPB=成立，故事件A与B相互独立，故C正确

，D错误故选：BC10.在ABC中，若()()()::9:10:11abacbc+++=，下列结论中正确的有（）A.sin:sin:sin4:5:6ABC=B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若6c=，则ABC外接圆的半径为877【答案】ACD【解析】【分析】先根据

题意求出a，b，c,结合正弦定理可得A，D的正误,结合余弦定理可得B，C的正误.【详解】由题意,设9,10,11abxacxbcx+=+=+=,解得4,5,6axbxcx===;所以sin:sin:s

in4:5:6ABC=,所以A正确;由以上可知C最大,()()()2224561cos02458xxxCxx+−==所以C为锐角,所以B错误;由以上可知A最小,()()()2225643cos2564x

xxAxx+−==,291cos22cos121168AA=−=−=,即coscos2CA=,因为C为锐角,2A为锐角,所以2CA=所以C正确;因为1cos8C=，所以237sin1cos8CC=−=,设ABC外接圆的半径为r,则由正弦定

理可得1672sin7crC==所以877r=所以D正确.故选:ACD.11.如图，点D位于以AB为直径的半圆上（含端点A，B），ABC是边长为2的等边三角形，则ADCB的取值可能是（）A.1−B.0C.1D.4【答案】BC【解析】【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示

求ADCB，化简求其范围，由此可得结论.【详解】如图所示，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则()1,0A−，()10B,，()0,3C−.令()cos,sinD，其中0，则()cos1,sinAD

=+，()1,3CB=，所以cos13sin2sin16ADCB=++=++.因0，所以7666+，所以1sin126−+，所以2sin10,36ADC

B=++.故选：BC.12.如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，1AD=，π6CBE=，现将RtACD沿斜边AC翻折成1ACD△（1D不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在RtACD翻折过程中，下列结论正确的是（）A.

1AD与BC不可能垂直B.三棱锥1CBDE−体积的最大值为612C.若1,,,ACED都在同一球面上，则该球的表面积是2πD.直线1AD与EP所成角取值范围为（ππ63，）【答案】BCD【解析】为的【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由11ADCD⊥，当11ADDB⊥时，1AD

B⊥平面1CD，则1ADBC⊥；对于B选项：取AC的中点O，连接1,OEOD，根据11CBDEDBCEVV−−=，则平面1ACD⊥平面ABC时，三棱锥1CBDE−体积的最大值，从而可判断；对于C，根据1OEODOAOC=

==，可得1,,,ACED都在同一球面上，且球的半径为OC，从而可判断；对于D选项：由1AD可以看成以AC为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD与EP所成角的取值范围.【详解】解：对于A选项：由ADC

D⊥，则11ADCD⊥，当11ADDB⊥时，且1DBAB，此时满足1AD⊥平面1BCD，因此1ADBC⊥，故A错误；对于B，取AC的中点O，连接1,OEOD，则122OEODOAOC====，且1ODAC⊥，因为11CBDE

DBCEVV−−=，当平面1ACD⊥平面ABC时，三棱锥1CBDE−体积的最大值，在RtBCE△中，π,16CBECE==，则3BE=，此时1111261332212CBDEDBCEVV−−===，所以三棱锥1CBDE−体积的最大值为612，故B正确；对

于C，因为122OEODOAOC====，所以1,,,ACED都在同一球面上，且球半径为22，所以该球的表面积是22422=，故C正确；的对于D，作AMEP∥，因为P为BC的中点，所有1EP=，EPBEBPAMABBM==，所以333AMB

M+==，所以30BAMABC==，所以15MAC=，1AD可以看成以AC为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，所以AC与1AD夹角为45，AC与AM夹角为15，又1D不在平面ABC内，604515=

+，304515=−，所以1AD与DM所成角的取值范围(,)63，所以D正确，故选：BCD.【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.三、填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据12,,,nxxx的平均值为3，方差为1，记12332,32,32,,32nxxxx++++的平均值为a，方差为b，则ab+=_________.【答案】20【解析】【分析】利

用平均数和方差的运算性质可求出,ab值，再求ab+即可.【详解】因为一组数据12,,,nxxx的平均值为3，方差为1，所以12332,32,32,,32nxxxx++++的平均值为33211+=，方差为2319=，所以11a=，9b=，所以20ab+=.故答案为:2014.向量(2,1

)a=在向量(3,4)b=方向上的投影向量的模为________．【答案】2【解析】【详解】根据投影的定义可得：a在b方向上的投影向量为：()3,4231468cos,55916916babbaabbbb+=

==++，．所以a在b方向上的投影向量的模为2286255+=故答案为：215.已知非零向量a，b的夹角为π3，3a=，()aab⊥−，则b=______．【答案】23【解析】【分析】利用垂直关系的向量表

示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量a，b的夹角为π3，3a=，则由()aab⊥−得：()0−=aab，即20aab−=，于是得2π33||||cos||32aababb====，

所以||23b=.故答案为：2316.奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以3002千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察

到歼-15舰载飞机在北偏西3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东512方向，仰角为6，则歼-15飞机飞行高度为_______千米（结果保留根号）.【答案】533##533【解析】【分析】作出图形，用点,AB表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得

CF，再在直角三角形中求得FB．【详解】如图，C是阅兵舰，,AB是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，,EF是飞机在地面上的射影，由已知130025260AB==千米，52EFAB==，CD是正北方向，因此3DCE=，512DCF=，6FCB=，533124ECF=+=，2

36CED=−=，由正弦定理sinsinEFCFECFCEF=，即523sinsin46CF=，解得5CF=，在直角三角形BFC中，53tan5tan63BFCFBCF===．故答案为：533．四、解答题：本题共6小题，共70分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.复数z满足22z=，2z为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求复数z；（2）复数z，z，2z所对应的向量为a，b，c，已知()()abbc+⊥+，求的值.【答案】（1）22

iz=+（2）12=【解析】【分析】（1）设()i,,Rzxyxy=+，利用模长和2z为纯虚数列出方程组，结合复数z在复平面内所对应的点在第一象限，求出2xy==；（2）利用向量垂直得到方程，求出的值.【小问1详解】设()i,,Rzx

yxy=+，则2228zxy=+=，2222izxyxy=−+为纯虚数，则220xy−=，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则0x，0y可得2xy==，复数22iz=+【小问2详解】由题意可得()2,2a=，()2,2b=−，()0,8c=()22,22ab+=+−，(

)2,6bc+=由()()abbc+⊥+，得()()4412120abbc++=++−=解得：12=.18.2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入

情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间4.5,10.5内，按)4.5,5.5，)5.5,6.5，)6.5,7.5，)7.5,8.5，)8.5,9.5，9.5,10.5分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入

数据的第60百分位数为8.1．（1）求,ab的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结

果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在)7.5,8.5内的概率．【答案】（1）0.250.3ab==；平均值为7.72（2）0.216【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合

第60百分位数的性质求解,ab，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；（2）分抽取的3人中有两人和三人去年可支配收入在)7.5,8.5内两种情况求解即可【小问1详解】由频率分布直方图，可得0.050.120.20.081ab+++++=，则0.55ab+=①

因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以()0.050.128.17.50.6ab+++−=，则0.60.43ab+=②将①与②联立，解得0.250.3ab==．所以平均值为0.0550

.1260.2570.380.290.08107.72+++++=．【小问2详解】根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则()()()0.3PAPBPC===．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5

）内”ABCABCABC=，且ABC与ABC与ABC互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得()()()()10.30.310.30.310.30.310.30.30.3PPABCABCABC==−+−+−0.189

=．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”ABC=，由事件独立性定义，得()()()()20.30.30.30.027PPABCPAPBPC====．所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率

：120.1890.0270.216PP+=+=．19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1290,2ACBBCAAAB===，点E为AB边中点.（1）证明：1//BC平面1CEA；（2）证明：1AC⊥平面1ABC.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解

析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用线面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）连接1AC，交1AC于点O，连接OE，如图，由点E为AB边中点.则1//OEBC，OE平面1CEA，1BC平面1CEA，1//BC平面1CEA.（2）1290,2A

CBBCAAAB===，1ACAA=，即11ACCA为正方形，即11ACAC⊥，90ACB=，BCAC⊥在直三棱柱111ABCABC-中，则1CC⊥平面ABC，即1CCBC⊥，1ACCCC=QI，BC⊥平面11ACCA，1BCAC⊥，11ACACO=，

1AC⊥平面1ABC20.已知函数()22cos23sincossinfxxxxx=+−．（1）若()0,x，求()fx的单调递增区间；（2）若()65f=，且263，求sin2的值．【答案】（1）单调递增区间为0,

6，2,3（2）43310+【解析】【分析】（1）首先化简函数()2sin26fxx=+，再求函数的单调递增区间；（2）由（1）的结果求得3sin265+=，再利用角的变换sin2sin266+−

=，结合两角差的正弦公式，即可求解.【小问1详解】()cos23sin2=+fxxx2sin26x=+，令222262kxk−+++，kZ，则36kxk−++，kZ，因()0,x，所以()fx的单调递增区间

为0,6，2,3.【小问2详解】因为()65f=，所以3sin265+=．因为263，所以32262+，所以4cos265+=−，所以sin2sin26

6+−=sin2coscos2sin6666=+−+3341433525210+=+=21.如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PAAB=.点E

是PD的中点，作EFPC⊥，交PC于点F.（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线l的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值.【答案】（1）//PBl，证明见解

析；（2）33；（3）2.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可.（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【详解】（1）证明：连结BD交AC交于G，∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，又∵E是PD的中点，∴/

/EGPB，又∵PB平面ACE，EG平面ACE，∴//PB平面ACE，又PB平面PAB，平面PAB平面ACEl=，∴//PBl..（2）∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PAAB⊥，设正方形ABCD的边长为4，∵PAPB=，∴PAB的中线

22AH=，42PB=，AHPB⊥，同理22AE=，42PD=，AEPD⊥，∵1222EGPB==，1222AGAC==，∴AEG△为正三角形，中线6AI=，且AIEG⊥，∵AHPB⊥，//PBl，∴AHl⊥，同理AIl⊥，∴HAI是二

面角CElPB−−的一个平面角，又∵在正三角形PBD△中6HI=，∴()()()22222222663cos232226AHAIHIHAIAHAI+−+−===，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为33.（3）同（2）中PA

AB⊥，得PACD⊥，又∵在正方形ABCD中，ADCD⊥，PAADA=，PA平面PAD，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，同理⊥AE平面PCD，同理PF⊥面AEF，∴PEF是直线PD与平面AEF所成的角，∵在RtPEF△和

RtPCDV中得42tancot24PDPEFCPDCD====，∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为2.22.如图，设ABC中角,,ABC所对的边分别为,,,abcAD为BC边上的中线，已知1c=且1212sincossinsinsin,c

os47cABaAbBbCBAD=−+=.（1）求中线AD的长度；（2）设点EF､分别为边,ABAC上的动点，线段EF交AD于G，且AEF△的面积为ABC面积的一半，求AGEF的最大值.【答案】（1）212（2）112【解析】【分析】（1）先由正弦定

理与余弦定理进行边角互化，求出4b=，再由()12ADABAC=+结合数量积的运算性质即可求解；（2）设,AExAFy==，再根据AEF△的面积为ABC面积的一半，得到2xy=，然后利用,,EGF共线和基本定理，利用数量积运算求解.【小问1详解】12sincossinsin

sin4cABaAbBbC=−+，由正弦定理：2212cos4caBabbc=−+，由余弦定理：2222221124,1,4244cabcaabbccbcbccbac+−=−+====.因为D为中点，所以()12ADABAC=+，设,ABAC

的夹角为，222211178cos22cos,222ADABACABACcbbc+=++=++=又()()2211cos14cos2222ccbABADABABACABABAC++=+=+==，

2114coscos7178cosABADBADABAD+===+，即228cos8cos110+−=，解得1cos2=或11cos14=−，又14cos0+，∴1cos2=,∴212AD=；【小问2详解】设,AEx

AFy==，则,4yxABAFACAE==，∵AEF△的面积为ABC面积的一半，∴142AEAFxyABAC==，∴2xy=.设AGAD=，则22AGADABAC==+，又,,EGF共线，∴可设()1AGAEAF=+−，则()()114yAGAEA

FxABAC−=+−=+，∴()2142xy=−=，解得：4yxy=+.∴2244AGABACxyxy=+++，又4yEFEAAFACxAB=+=−，∴22444yAGEFABACACxABxyxy=+−+

+222964444yyyxACxABxACABxyxy−=−+−=++.又2xy=，化简得22296186213442422yxxAGEFxyxx−−===−+++，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com