【文档说明】江西省宜春市上高县2022-2023学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题+含解析.docx，共(22)页，288.037 KB，由小赞的店铺上传

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上高县高二下学期第二次月考数学试卷4.1一、选择题(共8题)1.已知集合𝐴={0,𝑎+𝑏,𝑎𝑏}，𝐵={0,1−𝑏,1}，(𝑎,𝑏∈R)，若𝐴=𝐵，则𝑎+2𝑏=()A.−2B.

2C.−1D.12.函数𝑓(𝑥)=𝑥log𝑎|𝑥||𝑥|(0<𝑎<1)的图象大致形状是()A.B.C.D.3.若实数a，b，c满足2𝑎=log2𝑏=log3𝑐=𝑘，其中𝑘∈(1,2)，则下列结论正确的是()A.𝑎𝑏>𝑏𝑐B.log𝑎𝑏>log𝑏𝑐C

.𝑎>log𝑏𝑐D.𝑐𝑏>𝑏𝑎4.设a是函数𝑦=cos𝑥+√3⬚sin𝑥(𝑥∈𝑅)的最大值，则二项式(𝑎√𝑥⬚−1√𝑥⬚)6的展开式中含𝑥2项的系数是()A.192B.1

82C.−192D.−1825.若(4𝑥−7)6=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+⋯+𝑎6𝑥6，则𝑎1+𝑎3+𝑎5=()A.76−1162B.116−762C.116−362D.

36−11626.对于数列{𝑎𝑛}，定义𝐻0=𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1𝑎𝑛𝑛为{𝑎𝑛}的“优值”．现已知某数列的“优值”𝐻0=2𝑛+1，记数列{𝑎𝑛−20}的前n项和为𝑆𝑛，则𝑆𝑛的

最小值为()A.−64B.−68C.−70D.−727.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点为F，过点F的直线𝑥−𝑦+√3=0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O

为坐标原点，直线OP的斜率为−12，则椭圆C的方程为()A.𝑥23+𝑦22=1B.𝑥24+𝑦2=1C.𝑥24+𝑦22=1D.𝑥26+𝑦23=18.设双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2

，点P在C上，且满足|𝑃𝐹1|=3𝑎.若满足条件的点P只在C的左支上，则C的离心率的取值范围是()A.(1,2]B.(2,+∞)C.(2,4]D.(4,+∞)二、多选题(共4题)9.函数𝑓(𝑥)=3cos(𝜔𝑥+�

�)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的最小正周期为4𝜋，将𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋3个单位长度，得到函数𝑔(𝑥)的图象，且𝑔(𝑥)是奇函数，则()A.𝜑=𝜋3B.𝑔(𝑥)在区间[𝜋3,3

𝜋2]上的最大值为−3C.𝜑=𝜋6D.𝑔(𝑥)在区间[𝜋3,3𝜋2]上的最大值为−3210.已知i为虚数单位，复数z满足𝑧(2−𝑖)=𝑖2020，则下列说法正确的是()A.复数z的模为

13B.复数z的共轭复数为−25−15𝑖C.复数z的虚部为15D.复数z在复平面内对应的点在第一象限11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共

开设了八大类校本课程，具体为学课拓展(𝑋)、体艺特长(𝑇)、实践创新(𝑆)、生涯找划(𝐶)、国际视野(𝐼)、公民素养(𝐺)、大学先修(𝐷)、PBL项目课程(𝑃)八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续

开设八天，则()A.某学生从中选3类，共有56种选法B.课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有𝐴66⋅𝐴72种排法C.课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法D.课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一

天，共有种排法12.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧棱𝐴𝐴1⊥底面𝐴1𝐵1𝐶1，∠𝐵𝐴𝐶=90⬚∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1=1，D是棱𝐶𝐶1的中点，P是A

D的延长线与𝐴1𝐶1的延长线的交点.若点Q在直线𝐵1𝑃上，则下列结论错误的是.()A.当Q为线段𝐵1𝑃的中点时，𝐷𝑄⊥平面𝐴1𝐵𝐷B.当Q为线段𝐵1𝑃的三等分点时，𝐷𝑄⊥平面𝐴1𝐵𝐷C.在线段𝐵1𝑃的延长线上，存在一点Q，使得𝐷𝑄⊥平面

𝐴1𝐵𝐷D.不存在点Q，使DQ与平面𝐴1𝐵𝐷垂直三、填空题(共4题)13.随机变量X的概率分布规律为𝑃(𝑋=𝑘)=𝑐𝑘(𝑘+1)，𝑘=1，2，3，4，其中c是常数，则𝑃(12<𝑋<52)的值为__________.14.已知𝑓(𝑥)是定义在R

上不恒为零的函数，对于任意的x，𝑦∈𝑅，都有𝑓(𝑥⋅𝑦)=𝑥𝑓(𝑦)+𝑦𝑓(𝑥)成立．数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛=𝑓(2𝑛)(𝑛∈𝑁∗)，且𝑎1=2.则数列的通项公式𝑎𝑛=__________.15.已知圆C：(𝑥−1)2+(

𝑦+2)2=3，从点𝑃(−1,−3)发出的光线，经直线𝑦=𝑥+2反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为__________.16.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为

𝐹1、𝐹2，过𝐹1的直线与椭圆C交于M，N两点，若2𝑆△𝑀𝑁𝐹2=5𝑆△𝑀𝐹1𝐹2且∠𝐹2𝐹1𝑁=∠𝐹2𝑁𝐹1，则椭圆C的离心率为__________.四、解答题(共

6题)17.已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+21=0.(1)若直线𝑙1过定点𝐴(1,1)，且与圆C相切，求直线𝑙1的方程;(2)若圆D的半径为3，圆心在直线𝑙2:𝑥−𝑦+2=0上，

且与圆C外切，求圆D的方程.18.已知在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且𝑐𝑎+𝑏+𝑏𝑎+𝑐=1.(1)求角A的大小；(2)若AD平分∠𝐵𝐴𝐶，交BC于点D，且𝐴𝐷=2，𝑎=3，求△𝐴𝐵𝐶的面积.19.新高考改革是中央部署全面深化改

革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50∼100分之间)，将抽取的成绩分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,1

00],得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求这300名同学物理平均成绩𝑥−与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(结果精确到1)(Ⅱ)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，其中𝜇，𝜎分别取(Ⅰ)

中的𝑥，𝑠.现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间(62,95)的概率．(结果精确到0.1)(Ⅲ)根据(Ⅱ)的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在

(62,95)的概率不低于1%，求n的最大值．(𝑛为整数)附：lg2≈0.301，√116≈10.77.若𝜉∼𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝜉<𝜇+𝜎)≈0.68，𝑃(𝜇−2𝜎<𝜉<𝜇+2𝜎)≈0.96.20.如图所示的几何体由等高的12个圆柱和14个圆柱拼接而成

，点G为弧𝐶𝐷⏜的中点，且C、E、D、G四点共面.(1)证明：𝐵𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐺.(2)若直线DF与平面AFB所成角为45∘，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.21.设{𝑎𝑛}是

正数组成的数列，其前n项和为𝑆𝑛，并且对于所有的𝑛∈𝑁+，都有8𝑆𝑛=(𝑎𝑛+2)2.(1)写出数列{𝑎𝑛}的前3项；(2)求数列{𝑎𝑛}的通项公式(写出推证过程)；(3)设𝑏𝑛=4�

�𝑛⋅𝑎𝑛+1,𝑇𝑛是数列{𝑏𝑛}的前n项和，求使得𝑇𝑛<𝑚20对所有𝑛∈𝑁+都成立的最小正整数m的值.22.已知椭圆M：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别

为𝐹1，𝐹2，2𝑏>|𝐹1𝐹2|，右顶点𝐴(2,0)，点B为椭圆上一动点，且△𝐵𝐹1𝐹2的面积的最大值为√3，O为坐标原点．(1)求椭圆M的方程；(2)设直线AB的斜率为𝑘(𝑘≠0)，直线AB交y轴于点C，D为AB的中点，是否存在定

点E，对于任意的𝑘(𝑘≠0)都有𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了集合的相等，集合元素的互异性，属于中档题.由题意可知𝑎+

𝑏=1，𝑎𝑏=1−𝑏或𝑎+𝑏=1−𝑏，𝑎𝑏=1，分别求解a，b的值，然后验证，从而得出结果.【解答】解：由题意，𝑏≠0，当𝑎+𝑏=1时，𝑎𝑏=1−𝑏，解得𝑏=1，𝑎=0，此时𝐴=𝐵={0,1,0

}，舍去，当𝑎+𝑏=1−𝑏时，𝑎𝑏=1，解得𝑎=𝑏=13，此时𝐴=𝐵={0,23,1}，符合题意，则𝑎+2𝑏=1.故选𝐷.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及函数图象的作法，属于中档题.判断函数的奇偶性及函数在𝑥>0时的单调性，进行排除即可选出答案．

【解答】解：𝑓(𝑥)=𝑥log𝑎|𝑥||𝑥|={log𝑎𝑥,𝑥>0−log𝑎(−𝑥),𝑥<0，且0<𝑎<1，由题意，𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；𝑥>0时，𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥(0<�

�<1)是单调递减函数，排除𝐴.故选：𝐶.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数单调性的运用，比较大小.由题意，首先明确a，b，c的范围，然后根据指数函数，对数函数的性质分析解答.【解答】解：实数a，b，c满足2𝑎=log2𝑏=log3𝑐=𝑘，�

�∈(1,2)，∴0<𝑎<1，𝑏<𝑐，2<𝑏<4，3<𝑐<9，∴𝑎𝑏<1<𝑏𝑐，故A错误；log𝑎𝑏<0<log𝑏𝑐，故B错误；log𝑏𝑐>log𝑏𝑏=1>𝑎，故C错误；𝑐𝑏>9>𝑏1>𝑏�

�，故D正确.故选𝐷.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，涉及三角函数的性质与恒等变形，属于中档题．根据题意，由三角恒等变换可得𝑦=2sin(𝑥+𝜋6)，即可得a的值，再由二项式定理可得二项式(𝑎√𝑥−1√𝑥)

6的展开式的通项，令3−𝑟=2，解可得𝑟=1，将𝑟=1代入通项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数𝑦=cos𝑥+√3sin𝑥=2sin(𝑥+𝜋6)，其最大值为2，则𝑎=2，则二项式(𝑎√𝑥−1√𝑥)6=(2√𝑥−1√𝑥)6，其展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶6𝑟

(2√𝑥)6−𝑟(−1√𝑥)𝑟=𝐶6𝑟(−1)𝑟26−𝑟𝑥3−𝑟，令3−𝑟=2，解可得𝑟=1，则有𝑇2=𝐶61(−1)125𝑥2=−192𝑥2，即其展开式中含𝑥2项的系数是−

192；故选𝐶.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式定理及其通项，属中档题令𝑥=1，得𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎6=36，令𝑥=−1，得𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+𝑎6=116，即可求.【解答】解：

令𝑥=1，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎6=36①，令𝑥=−1，则𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+𝑎6=116②，①-②可得，2𝑎1+2𝑎3+2𝑎5=36−116，则𝑎1+𝑎3+𝑎

5=36−1162.故选：𝐷.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，数列的新定义问题，考查计算能力，属于中档题．由{𝑎𝑛}的“优值”的定义可知𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1⋅𝑎𝑛=𝑛⋅2𝑛+1，当𝑛≥2时，𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−2⋅𝑎

𝑛−1=(𝑛−1)⋅2𝑛，则求得𝑎𝑛=2(𝑛+1)，则𝑎𝑛−20=2𝑛−18，由数列的单调性可知当𝑛=8或9时，{𝑎𝑛−20}的前n项和𝑆𝑛取最小值.【解答】解：由题意可知：𝐻0=𝑎1+2𝑎2+⋯⋯+

2𝑛−1𝑎𝑛𝑛=2𝑛+1，则𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1⋅𝑎𝑛=𝑛⋅2𝑛+1，当𝑛=1时，𝑎1=4，当𝑛≥2时，𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−2⋅𝑎𝑛−1=(𝑛−1)⋅2𝑛，两式相减得：2𝑛−1⋅𝑎𝑛=𝑛⋅2

𝑛+1−(𝑛−1)⋅2𝑛，𝑎𝑛=2(𝑛+1)，当𝑛=1时成立，∴𝑎𝑛−20=2𝑛−18，当𝑎𝑛−20≤0时，𝑛≤9，故当𝑛=8或9时，{𝑎𝑛−20}的前n项和𝑆𝑛取最小

值，最小值为𝑆8=𝑆9=9×(−16+0)2=−72.故选𝐷.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，中点弦问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用点差法，结合中点坐标公式和斜率公式可得𝑎2=2𝑏2，①，再根据�

�2−𝑏2=𝑐2=3，②，即可求解．【解答】解：设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1，两式相减可得1𝑎2(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)+1𝑏2(𝑦1−𝑦2)(𝑦1+𝑦

2)=0，∵𝑃为线段AB的中点，∴2𝑥𝑝=𝑥1+𝑥2，2𝑦𝑝=𝑦1+𝑦2，∴𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2⋅𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=−𝑏2𝑎2，又𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=𝑘𝐴𝐵=1，∴𝑦1+𝑦2𝑥1+

𝑥2=𝑦𝑝𝑥𝑝=𝑘𝑂𝑃=−12，∴𝑎2=2𝑏2，①，由椭圆的左焦点𝐹(−𝑐,0)在直线𝑥−𝑦+√3=0上，∴𝑐=√3，即𝑎2−𝑏2=𝑐2=3，②，由①②可得𝑏2=3，𝑎2=6，∴椭圆C的方程为𝑥26+𝑦2

3=1，故选𝐷.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题.本

题需要分类讨论，首先需要讨论“P在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果.【解答】解：若P在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时|𝑃𝐹

1|的最小值为𝑐+𝑎，因为满足题意的点P在双曲线的左支，所以3𝑎<𝑐+𝑎，即2𝑎<𝑐，所以𝑒>2，①若P在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时|𝑃𝐹1|的最小值为𝑐−𝑎，想要满足题意的点P在双曲线的左支上，则需要满足3𝑎≥𝑐−𝑎，即4𝑎≥𝑐，所以𝑒≤

4，②由①②得2<𝑒≤4，故选C。9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质，是中档题．根据题意求得𝜔，然后根据图象平移法则及函数的奇偶性可写出函数𝑔(𝑥)的解析式

，再根据三角函数的性质即可求得最值．【解答】解：因为函数𝑓(𝑥)的最小正周期为4𝜋，所以𝜔=12.又𝑔(𝑥)=3cos(12𝑥+𝜋6+𝜑)是奇函数，所以𝜋6+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，化

简得𝜑=𝜋3+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，因为|𝜑|<𝜋2，所以𝜑=𝜋3，所以𝑓(𝑥)=3cos(12𝑥+𝜋3)，𝑔(𝑥)=−3sin𝑥2.当𝑥∈[𝜋3,3𝜋2]时，𝑥2∈[𝜋6,3

𝜋4]，所以−3≤𝑔(𝑥)≤−32，故A，D正确，B，C错误.10.【答案】CD【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.由复数的运算得出𝑧=25+15𝑖，再由共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义判断即可.【解答

】解：𝑧(2−𝑖)=𝑖2020，则𝑧=(𝑖2)10102−𝑖=2+𝑖(2−𝑖)(2+𝑖)=2+𝑖5=25+15𝑖，∴|𝑧|=√(25)2+(15)2=√55，故A错误；复数z的共轭复数为25−15𝑖，故B错误；复数z的虚部为15，故C正确；复数z在复平面内对应

的点为(25,15)，在第一象限，故D正确.故选𝐶𝐷.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用以及两个计数原理的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题.利用排列、组合的的方法对选项逐一求解判断即可.【解答】解：对于A，八类中选

3类共有𝐶83=56种，故A正确;对于B，课程“X”、“T”排在不相邻两天，使用插空法，共有𝐴66⋅𝐴72种排法，故B正确;对于C，课程“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中

间，共有𝐴22⋅𝐴66=1440种排法，故C错误;对于D，课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，先分类：第一类当把G排在第一天时：有𝐴77排法；第二类当G不排在第一天时：𝐶61𝐶61𝐴66.所以共有种排法，故D正

确.故选：𝐴𝐵𝐷.12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查由空间向量法证明线面垂直，空间向量的探究问题，难度较大，属于较难题.以𝐴1为坐标原点，𝐴1𝐵1，𝐴1𝐶1，𝐴1𝐴所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由空间向量法进行判断即可.【解答】解：以𝐴1为坐标原点，𝐴1𝐵1，𝐴1𝐶1，𝐴1𝐴所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由𝐴1(0,0,0)，𝐵1(1,0,0)，𝐶1(0,1,0)，𝐵(1,0,1)，𝐷(0,1,12)，𝑃(0,2,0)，所以�

�1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,1)，𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12)，𝐵1𝑃→=(−1,2,0)，𝐷𝐵1→=(1,−1,−12).设平面𝐴1𝐵𝐷的一个法向量为𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⋅𝐴1𝐵⇀=𝑥+𝑧=0𝑛⋅𝐴1𝐷

⇀=𝑦+12𝑧=0，取𝑧=−2，则𝑥=2，𝑦=1，所以平面𝐴1𝐵𝐷的一个法向量为𝑛⃗⃗=(2,1,−2).假设𝐷𝑄⊥平面𝐴1𝐵𝐷，且𝐵1𝑄→=𝜆𝐵1𝑃→=𝜆(−1,2,0)=(−𝜆,2𝜆,0)，则𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗+𝐵1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,−1+2𝜆,−12).因为𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗也是平面𝐴1𝐵𝐷的法向量，所以𝑛⃗⃗=(2,1,−2)与𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝜆,−1+2𝜆,−12)共线，所以1−𝜆2=−1+2𝜆

1=−12−2=14成立，但此方程关于𝜆无解.因此不存在点Q，使DQ与平面𝐴1𝐵𝐷垂直，故选：𝐴𝐵𝐶.13.【答案】56【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列性质及概率分布，属于基础题.根

据所给的概率分布规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出c的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果.【解答】解：∵𝑃(𝑋=𝑘)=𝑐𝑘(𝑘+1)，𝑘=1，2，3，4，∴𝑐2+𝑐6+𝑐12+𝑐20=1，∴𝑐=54，

∵𝑃(12<𝑋<52)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)=58+524=56.故答案为56.14.【答案】𝑛⋅2𝑛【解析】【分析】此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，等差数列的判断，等差数列的通项公式.可根据𝑎𝑛=𝑓(2𝑛)，𝑓(𝑥⋅𝑦)=𝑥�

�(𝑦)+𝑦𝑓(𝑥)，令𝑥=2𝑛，𝑦=2得到递推关系式𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+2×2𝑛，然后两边同除以2𝑛+1可构造出数列{𝑎𝑛2𝑛}是以𝑎12=1为首项，公差为1的等差数列，即可求

解．【解答】解：由于𝑎𝑛=𝑓(2𝑛)则𝑎𝑛+1=𝑓(2𝑛+1)且𝑎1=2=𝑓(2)∵对于任意的x，𝑦∈𝑅，都有𝑓(𝑥⋅𝑦)=𝑥𝑓(𝑦)+𝑦𝑓(𝑥)∴令𝑥=2𝑛，𝑦=2则𝑓(2𝑛+1)=2𝑛𝑓(2)

+2𝑓(2𝑛)∴𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+2×2𝑛两边同除2𝑛+1，∴𝑎𝑛+12𝑛+1−𝑎𝑛2𝑛=1∴数列{𝑎𝑛2𝑛}是以𝑎12=1为首项，公差为1的等差数列，∴𝑎𝑛2𝑛=1+(𝑛−1)×1=𝑛，∴𝑎𝑛=𝑛⋅2𝑛.故答案为：𝑛⋅2𝑛

.15.【答案】−2【解析】【分析】本题考查光线的反射定律的运用，注意运用点关于直线对称，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得圆心C的坐标，过C作直线𝑦=𝑥+2的对称点𝐶′，设𝐶′(𝑚,𝑛)，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，

解方程可得𝐶′的坐标，再由两点的斜率公式计算𝑃𝐶′的斜率可得所求．【解答】解：圆C：(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=3的圆心𝐶(1,−2)，如图过C作直线𝑦=𝑥+2的对称点𝐶′，设𝐶′(𝑚,𝑛)，由𝑛−(−2)𝑚−1=−1，𝑛−22=𝑚+12+2，解得𝑚=−4，𝑛

=3，即𝐶′(−4,3)，连接𝑃𝐶′，可得光线的入射光线，则入射光线的斜率为3−(−3)−4−(−1)=−2，故答案为：−2.16.【答案】35【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题．如图所示，作𝐹2𝐸⊥𝑀𝑁，垂足为𝐸.由∠𝐹2𝐹1𝑁=∠𝐹2𝑁𝐹1，可得|𝐹1𝐹2|=|𝐹2𝑁|=2𝑐，E点为𝐹1𝑁的中点．|𝐹1𝑁|=2𝑎−2𝑐，|𝐹1𝐸|=𝑎−�

�.由2𝑆△𝑀𝑁𝐹2=5𝑆△𝑀𝐹1𝐹2，可得|𝑀𝐹1||𝑀𝑁|=25.利用勾股定理即可得出．【解答】解：如图所示，，作𝐹2𝐸⊥𝑀𝑁，垂足为𝐸.∵∠𝐹2𝐹1𝑁=∠𝐹2𝑁𝐹1，∴|𝐹1𝐹2|=|�

�2𝑁|=2𝑐，∴𝐸点为𝐹1𝑁的中点．∴|𝐹1𝑁|=2𝑎−2𝑐，|𝐹1𝐸|=𝑎−𝑐.∵2𝑆△𝑀𝑁𝐹2=5𝑆△𝑀𝐹1𝐹2，∴|𝑀𝐹1||𝑀𝑁|=25.∴|𝑀𝐸|=43(𝑎−𝑐)+

(𝑎−𝑐)=73(𝑎−𝑐)，∴|𝑀𝐹2|=2𝑎−|𝑀𝐹1|=2𝑎−23(2𝑎−2𝑐)=4𝑐+2𝑎3.∴(2𝑐)2−(𝑎−𝑐)2+[73(𝑎−𝑐)]2=(4𝑐+2𝑎3)2，化简可得：5𝑐2−8𝑎𝑐+3𝑎2=0，∴5𝑒2−8

𝑒+3=0，𝑒∈(0,1)，解得𝑒=35.故答案为35.17.【答案】解：(1)圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+21=0化为标准方程为(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=4，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线𝑙1的斜率不存在，即直线为𝑥=1，符合题意.②若直线�

�1的斜率存在，设直线𝑙1的方程为𝑦−1=𝑘(𝑥−1).即𝑘𝑥−𝑦−𝑘+1=0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线𝑙1的距离等于半径2，所以|3𝑘−4−𝑘+1|√𝑘2+1=2，即|2𝑘−3|√𝑘2+1=2，解

得𝑘=512，所以直线方程为5𝑥−12𝑦+7=0.综上，所求直线𝑙1的方程为𝑥=1或5𝑥−12𝑦+7=0.(2)依题意，设𝐷(𝑎,𝑎+2).又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知𝐶𝐷=5，

所以√(𝑎−3)2+(𝑎+2−4)2=5，解得𝑎=−1或𝑎=6.所以𝐷(−1,1)或𝐷(6,8)，所以所求圆D的方程为(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=9或(𝑥−6)2+(𝑦−8)2=9.【解析】本题考查圆的方程，直

线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．(1)先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.(2)设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求

得圆D的方程.18.【答案】解：(1)由𝑐𝑎+𝑏+𝑏𝑎+𝑐=1，则𝑐(𝑎+𝑐)+𝑏(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏)，整理得：𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐.在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理得：cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=12，而0<�

�<𝜋，∴𝐴=𝜋3.(2)在△𝐴𝐵𝐶中，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，交BC于点D，则∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=𝜋6，而𝐴𝐷=2.显然有𝑆△𝐵𝐴𝐷+𝑆△𝐶𝐴𝐷=𝑆△�

�𝐵𝐶，即12𝑐⋅𝐴𝐷sin∠𝐵𝐴𝐷+12𝑏⋅𝐴𝐷sin∠𝐶𝐴𝐷=12𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶，则𝑐sin𝜋6+𝑏sin𝜋6=12𝑏𝑐sin𝜋3，整理得：𝑏+𝑐=√32𝑏𝑐.又𝑎=3，由(1)知，(𝑏+�

�)2−𝑎2=3𝑏𝑐，即34(𝑏𝑐)2−3𝑏𝑐−9=0，而𝑏𝑐>0，解得𝑏𝑐=6，∴△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶=12×6×√32=3√32.【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题.(1

)变形给定的等式，再利用余弦定理求解；(2)根据给定条件，结合(1)，利用𝑆△𝐵𝐴𝐷+𝑆△𝐶𝐴𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶求得𝑏+𝑐=√32𝑏𝑐，进而求出bc计算作答.19.【答案】解：(Ⅰ)𝑥=(55×0.01+65×0.03

+75×0.04+85×0.01+95×0.01)×10=73；𝑠2=(55−73)2×0.1+(65−73)2×0.3+(75−73)2×0.4+(85−73)2×0.1+(95−73)2×0.1=116，则𝑠=√116≈11

.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，𝑢=73，𝜎=11，因为全年级同学的物理成绩服从正态分布，所以𝑃(62<𝑥<84)=0.68，𝑃(51<𝑥<95)=0.96，所以𝑃(62<𝑥<95)=𝑃(62<𝑥<84)2+𝑃(51<𝑥<95

)2=0.68+0.962=0.82≈0.8，所以该成绩在区间(62,95)的概率约为0.8.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知成绩位于(62,95)的概率为0.8，所以(0.8)𝑛≥0.01，所以𝑛≤log0.80.01=lg0.01lg0.8=lg10−2

lg8−lg10=−23lg2−1=−20.301×3−1≈20.6，所以n的最大值为20.【解析】本题考查正态分布的实际应用、频率分布直方图、平均数、方差、利用指数函数的单调性解不等式、对数运算的实际应用，属于中档题．(Ⅰ)结合频率分布直方图，利用公式分别计算𝑥、s，即可得出这3

00名同学物理平均成绩𝑥−与标准差s的估计值．(Ⅱ)根据𝑃(62<𝑥<95)=𝑃(62<𝑥<84)2+𝑃(51<𝑥<95)2计算，即可求出该成绩在区间(62,95)的概率．(Ⅲ)根据题意可得(0.8)

𝑛≥0.01，利用对数的性质即可得出n的最大值．20.【答案】(1)证明：取弧AB的中点H，连结BH，GH，则∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐻=45∘，所以𝐵𝐹⊥𝐵𝐻，因为𝐵𝐶=//𝐺𝐻，所以四边形BCGH为平行四边形，𝐵𝐹⊥𝐺𝐶，又因为𝐵𝐶⊥平

面ABF，所以𝐵𝐶⊥𝐵𝐹，𝐵𝐶⊂平面BCG，𝐶𝐺⊂平面BCG，𝐵𝐶∩𝐶𝐺=𝐶，所以𝐵𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐺.(2)解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设𝐴𝐵=2，因为直线DF与平

面AFB所成角为45∘，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,2)，𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,0)，𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,2)，设平面BDF的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，由{𝑛⃗⃗⋅𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐹𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗=0可得：{𝑥+𝑦=0−𝑥+𝑧=0，令𝑥=1，则𝑛⃗⃗=(1,1,1)，同理可得：平面ABG的法向量为𝑚⃗⃗⃗=(2,0,1)，则cos⟨𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗⟩=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|

𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=3√3×√5=√155，故平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为√155.【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．(1)取弧AB的中点H，连结BH，GH，证明𝐵𝐹⊥𝐵𝐻，推出𝐵

𝐹⊥𝐺𝐶，结合𝐵𝐶⊥平面ABF，证明𝐵𝐶⊥𝐵𝐹，即可证明𝐵𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐺.(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求解平面BDF的法向量，平面ABG的法向量，利用空间向量的数量积求解平面BDF与平面AB

G所成锐二面角的余弦值即可．21.【答案】解：(1)由题设𝑎𝑛>0，𝑛=1时8𝑎1=(𝑎1+2)2，∴𝑎1=2.𝑛=2时，8(𝑎1+𝑎2)=(𝑎2+2)2，∴𝑎2=6，𝑛=3时，8(𝑎1+𝑎2+𝑎3)=(𝑎3+2)2，∴𝑎3=10.(2)

∵8𝑆𝑛=(𝑎𝑛+2)2，∴8𝑆𝑛−1=(𝑎𝑛−1+2)2(𝑛>1)，两式相减得：8𝑎𝑛=(𝑎𝑛+2)2−(𝑎𝑛−1+2)2，即𝑎𝑛2−𝑎𝑛−12−4𝑎𝑛−4𝑎𝑛−1=0，也即(𝑎𝑛+𝑎𝑛−1)(�

�𝑛−𝑎𝑛−1−4)=0，∵𝑎𝑛>0∴𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=4，即{𝑎𝑛}是首项为2，公差为4的等差数列，∴𝑎𝑛=2+(𝑛−1)⋅4=4𝑛−2.(3)𝑏𝑛=4𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1

=4(4𝑛−2)(4𝑛+2)=1(2𝑛−1)(2𝑛+1)=12(12𝑛−1−12𝑛+1)∴𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12𝑛−1−12𝑛+1)]=12(1−

12𝑛+1)=12−14𝑛+2<12∵𝑇𝑛<𝑚20对所有𝑛∈𝑁+都成立，∴𝑚20≥12即𝑚≥10，故最小正整数m的值是10.【解析】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，裂项相消法，属于基础题.(1)由递推关系分别

令𝑛=1，2，3求得数列前3项；(2)把等式中n换成𝑛−1，两式相减，得到数列{𝑎𝑛}的递推式，由等差数列的通项公式求得通项；(3)由𝑏𝑛=4𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1=12(12𝑛−1−12𝑛+

1)，利用裂项相消法求和即可.22.【答案】解：(1)由题意得𝑎=2.又2𝑏>|𝐹1𝐹2|，可得𝑏>𝑐.当△𝐵𝐹1𝐹2的面积最大时，点B是短轴端点，所以12×2𝑐×𝑏=𝑏𝑐=√3.又�

�2=𝑏2+𝑐2.解得{𝑎=2,𝑏=√3,𝑐=1.所以椭圆M的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)直线AB：𝑦=𝑘(𝑥−2)(𝑘≠0).令𝑥=0，则𝑦=−2𝑘，所以𝐶(0,−2𝑘)联

立{𝑦=𝑘(𝑥−2),𝑥24+𝑦23=1,整理得(3+4𝑘2)𝑥2−16𝑘2𝑥+16𝑘2−12=0.设𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，则𝑥𝐵+2=16𝑘23+4𝑘2，所以𝑥𝐵=8𝑘2−63+4𝑘2，则𝑦𝐵=−12�

�3+4𝑘2，即𝐵(8𝑘2−63+4𝑘2,−12𝑘3+4𝑘2).设𝐷(𝑥𝐷,𝑦𝐷)，因为D为AB的中点，所以𝑥𝐷=8𝑘23+4𝑘2，𝑦𝐷=12×(−12𝑘3+4𝑘2)=−6𝑘3+4

𝑘2，所以𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(8𝑘23+4𝑘2,−6𝑘3+4𝑘2).设存在点𝐸(𝑥0,𝑦0)，则𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥0,𝑦0+2𝑘).因为𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以8𝑘2𝑥03+4

𝑘2−6𝑘𝑦0+12𝑘23+4𝑘2=0，即4𝑘2(2𝑥0−3)−6𝑘𝑦03+4𝑘2=0对任意的𝑘≠0都成立，所以{2𝑥0−3=0,𝑦0=0,所以𝑥0=32，𝑦0=0，所以存在𝐸(32,0)使得�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0.【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程，直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点问题，属于中档题．(1)根据题意可知𝑏𝑐=√3，进而求出a，b的值，于是可得出椭圆M

的标准方程;(2)设直线AB：𝑦=𝑘(𝑥−2)(𝑘≠0)，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求出𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，𝐷(𝑥𝐷,𝑦𝐷)的坐标，设存在点𝐸(𝑥0,𝑦0)，则𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥0,𝑦0+2𝑘)，由𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0列方程求解即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com