【文档说明】江西省宜春市上高县2022-2023学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.580 MB，由小赞的店铺上传

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上高县高二下学期第二次月考数学试卷4.1一、选择题（共8题）1.已知集合0aAabb=+，，，011Bb=−，，，若A=B，则a+2b=（）A.-2B.2C.-1D.1【答案】D【解析】分析】根据AB=进行分类讨论，由此求得,ab进而求得2+ab.【详解】由于AB=

，所以（1）11ababb+==−，结合集合A元素的互异性可知此方程组无解.（2）11abbab+=−=解得1213abab==+=.故选：D2.函数()log(01)axxfxax=的图象大致形状是（）A.B

.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，得出函数为奇函数，再结合对数函数的图象与性质，即可求解.【【详解】由题意，函数()log(01)axxfxax=，可得()()loglogaaxxxxfxfxxx−−−==−=−−，所以函数是奇函数

，图象关于原点对称，排除B、D；又由当0x时，函数()log(01)afxxa=是单调递减函数，排除A.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记函数的基本性质，熟练应用对数

函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与判定能力.3.若实数a，b，c满足232loglogabck===，其中()1,2k，则下列结论正确的是（）A.bcabB.loglogabbcC.logba

cD.bacb【答案】D【解析】【分析】首先判断,,abc的范围，以及由条件可知2logak=，2kb=，3kc=，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.【详解】因为232loglogabck===，其中()1,2k

，所以()0,1a，()2,4b，()3,9c，且2kb=，3kc=，所以()0,1ba，1cb，即bcab，故A错误；log0ab，log0bc，即loglogabbc，故B错误；2lo

gak=，22loglog3log3kkbc==，因为()1,2k，所以()2log0,1k，即22loglog3k，即logbac，故C错误；239bc=，144ab=，即bacb，故D正确.故选

：D.4.设a是函数()cos3sinyxxxR=+的最大值，则二项式61axx−的展开式中含2x项的系数是（）A.192B.182C.-192D.-182【答案】C【解析】【分析】首先利用辅助角公式

可得2a=，进而可得二项式展开式的通项公式，令32r−=得1r=，将1r=代入二项展开式即可得出答案.【详解】因为cos3sin2sin6yxxx=+=+，由此可得2a=，由二项展开式的通项公式为：()()66

316611rrrrrrrrTCaxCaxx−−−+=−=−，令32r−=，得1r=，所以展开式中含2x项的系数是()661192rrrCa−−=−.故选：C【点睛】本题考查了三角恒等变换、辅助角公式，三角函数的性质、二项式的展开式，属于基础题.5.若623601236(

47)xaaxaxaxax−=+++++则135aaa++=（）A.667112−B.661172−C.661132−D.663112−【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式定理及其通项，属中档题，令1x=，得6012363aaaaa

+++++=，令=1x−，得60123611aaaaa−+−++=，即可求解；【详解】令1x=，则6012363aaaaa+++++=，①令=1x−，则60123611aaaaa−+−++=，②①-②可得66135222311aaa++=−，则661

353112aaa−++=．故选：D6.对于数列na，定义112022nnaaaHn−+++=为na的“优值”．现已知某数列的“优值”102nH+=，记数列20na−的前n项和为nS，则nS的最小值为（）A.64−B

.68−C.70−D.72−【答案】D【解析】【分析】由na的“优值”的定义可知1112222nnnaaan−++++=，当2n时，()21212212nnnaaan−−+++=−，则求得()21nan=+

，则20218nan−=−，由数列的单调性可知当8n=或9时，20na−的前n项和为nS，取最小值．【详解】解：由题意可知：11120222nnnaaaHn−++++==，则1112222nnnaaan−++++

=，当2n时，()21212212nnnaaan−−+++=−，两式相减得：()112212nnnnann−+=−−，()21nan=+，当1n=时成立，∴20218nan−=−，当200na−时，即9n

时，故当8n=或9时，20na−的前n项和为nS，取最小值，最小值为()899160722SS−+===−，故选D．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．7.已知椭圆C

：22221xyab+=（0ab）的左焦点为F，过点F的直线30xy−+=与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为12−，则椭圆C的方程为（）A.221

32xy+=B.2214xy+=C.22142xy+=D.22163xy+=【答案】D【解析】【分析】求得F的坐标，利用点差法建立,ab的关系式，由此求得,ab，进而求得椭圆方程.【详解】直线30xy−+=过点F，令0y=则3x

=−，所以()3,0F−，即3c=.设()()1122,,,AxyBxy，则2222112222221,1xyxyabab+=+=，两式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx+−−=+−，所以222222111222bbab

aa−=−==，22223,3,6cabbba=−====，所以椭圆C的方程为22163xy+=.故选：D8.设双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在C上，且满足13PFa=.若满足条件的点P只在C的

左支上，则C的离心率的取值范围是A.(1,2]B.(2,)+C.(2,4]D.(4,)+【答案】C【解析】【分析】本题需要分类讨论，首先需要讨论“P在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出

结果．【详解】若P在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF的最小值为ca+，因为满足题意的点P在双曲线的左支，所以3aca<+，即2ac，所以2e①，若P在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF的最小值为ca

−，想要满足题意的点P在双曲线的左支上，则需要满足3aca?，即4ac，所以4e②由①②得24e，故选C．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴

、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题．二、多选题（共4题）9.函数()3cos()0,2fxx=+的最小正周期为4，将()fx的图象向左平移3个单位长度，得到函数()gx的图象，且()gx是奇函数，则（）A.3=B.()

gx在区间3,32上的最大值为-3C.6=D.()gx在区间3,32上的最大值为32−【答案】AD【解析】【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数的图象平移性质、奇函数的性质确定函数()gx，再根据正弦型函数的单调性进行求解判

断即可.【详解】因为函数()3cos()fxx=+最小正周期为4，所以214,02==，1()3cos()2fxx=+，因为将()fx的图象向左平移3个单位长度，得到函数()gx的图象，所

以11()()3cos[()]3cos()32326gxfxxx=+=++=++，因为()gx是奇函数，所以()()623kkZkkZ+=+=+，因2，所以0k=，即3=，故选项A正确，C错误，所以1()3sin()2gxx=−

，当3,32x时，13,264x，所以()gx的最大值为：33sin62−=−，因此选项D正确，B错误.故选：AD10.已知i为虚数单位，复数z满足()20202iiz−=，则下列说法正确的是

（）A.复数z的模为13B.复数z的共轭复数为21i55−−C.复数z的虚部为15D.复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】CD的为【解析】【分析】由复数的四则运算得出21i55z=+，再由共轭复数、虚部、复数z在复平面内对应点的坐标定义判断即可.【

详解】解：()20202iiz−=，则()()()10102i2i2i21i2i2i2i555z++====+−−+，∴22215555z=+=，故A错，复数z的共轭复数为21i5

5−，故B错；复数z的虚部为15，故C正确；复数z在复平面内对应的点为21,55，在第一象限，故D正确.故选：CD11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的

校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续

开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A.某学生从中选3类，共有56种选法B.课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有6267AA种排法C.课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法D.课程“

T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有71167666ACCA+种排法【答案】ABD【解析】【分析】A选项结合组合的思想即可判断；B选项采用插空法做；C选项采用捆绑法求解；D选项分成两类，一是“G”排在第一天，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，从而可求出总

排法.【详解】解：A：3856C=，即A正确；B：若“X”、“T”不相邻，剩余6类排列方法为66A,形成7个空，则“X”、“T”填入7个空的方法为27A，所以共有6267AA种排法；C：先排列“S”、“C”、“T”三科则有2种排列方法，三科形成整体与剩余5科再进行全排

列，则方法有66A种排列方法，所以共有6621440A=种方法；D：分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有77A种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有116666CCA种方法，则共有71167666ACCA+种排法.故选:ABD.【点睛】方法

点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元

素的全排列数.12.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧棱1AA⊥底面111ABC，90BAC=，11ABACAA===，D是棱1CC的中点，P是AD的延长线与11AC的延长线的交点.若点Q在直线1BP上，则下列

结论错误的是()A.当Q为线段1BP的中点时，DQ⊥平面1ABDB.当Q为线段1BP的三等分点时，DQ⊥平面1ABDC.在线段1BP的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面1ABDD.不存在点Q，使DQ与平面1ABD垂直【答案】ABC【解析】【分析】通过建立空

间直角坐标系，求出平面1ABD的一个法向量(2,1,2)n=−，设11BQBP=，表示出向量DQ，再利用//nDQ，建立关系式1112122124−−−+===−，从而判断出无解，即不存在这样的点Q，进而判断出选项ABC不正确，选

项D正确.【详解】如图，以1A为坐标原点，11AB，11AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知，1(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(0,1,0)C，(1,0,1)B，10,1,2D，(0,

2,0)P，所以1(1,0,1)AB=，110,1,2AD=，1(1,2,0)BP=−，111,1,2DB=−−.设平面1ABD的一个法向量为(,,)nxyz=，则110102nABxznADyz=+==+=，取2z=−，

则2x=，1y=，所以平面1ABD的一个法向量为(2,1,2)n=−.假设DQ⊥平面1ABD，且11(1,2,0)(,2,0)BQBP==−=−，则11DQDBBQ=+=11,12,2−−+−.因为DQ也是平面1AB

D的法向量，所以(2,1,2)n=−与11,12,2DQ=−−+−共线，所以1112122124−−−+===−成立，但此方程关于无解，因此不存在点Q，使DQ与平面1ABD垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：A

BC.三、填空题（共4题）13.随机变量X的分布列为()(),1,2,3,4.1cPXkkckk===+为常数，则1522PX的值为____________【答案】56【解析】【详解】试题

分析：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果详解：∵P（X=k）=）=()1ckk+，k=1，2，3，4，∴c1261220ccc+++=，∴c=54，∵P（12＜X＜52

）=P（X=1）+P（X=2）=555+=8246；故答案为56．点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，关键是利用概率的性质求出c．求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的

意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变

量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.14.已知()fx是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的,xyR，都有()()()fxyxfyyfx=+成立．数列

na满足()()*2nnafnN=，且12a=.则数列的通项公式na=_____.【答案】2nn【解析】【分析】根据()2nnaf=和12a=可求得()112nnaf++=，()122af==；根据已知关系式可求得1122nnnaa++=+，进而得到11122nnnnaa++

=+，证得数列2nna为等差数列；利用等差数列通项公式求得2nnan=，进而得到结果.【详解】由()2nnaf=得：()112nnaf++=由12a=得：()122af==()()()fxyxfyyfx=+()()()()12

222222nnnnffff+==+即：1122nnnaa++=+11122nnnnaa++=+数列2nna是以112a=为首项，1为公差的等差数列()1112nnann=+−=2nnan=本题正确结果：2nn【点睛】本题考查根据递推关系

式求解数列的通项公式问题，关键是能够构造出等差数列的形式，进而利用等差数列通项公式求得结果.15.已知圆C：()()22123xy−++=，从点()1,3P−−发出的光线，经直线2yx=+反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为______.【答案

】－2【解析】【分析】求得圆心C的坐标，过C作直线2yx=+的对称点C，设(,)Cmn，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得C的坐标，再由两点的斜率公式计算PC的斜率可得所求．【详解】解：圆22:(1)(2)3Cxy−++=的圆心(1,2)C−，如图过C作

直线2yx=+的对称点C，设(,)Cmn，由(2)11nm−−=−−，21222nm−+=+，解得4m=−，3n=，即(4,3)C−，连接PC，与2yx=+相交于点H，可得光线的入射光线PH，则入射光线的斜率为3(3)24(1)

−−=−−−−，故答案：2−．为16.已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与椭圆C交于M，N两点，若21225MNFMFFSS=且2121FFNFNF=，则椭圆C的离心率为__________．【答案】35##0.6【解析】【分析】如

图所示，作2FEMN⊥，垂足为E．由2121FFNFNF=，可得1222FFFNc==，E点为1FN的中点．122FNac=−，1FEac=−．由21225MNFMFFSS=，可得125MFMN=．利用勾股定理即可得出．【

详解】如图所示，作2FEMN⊥，垂足为E．2121FFNFNF=，1222FFFNc==，E点为1FN的中点．122FNac=−，1FEac=−．21225MNFMFFSS=，则212112522MNFEMFFE=，125MFMN

=．则()111225MFMFFE=+，即1143MFFE=，()()()4733MEacacac=−+−=−，()21242222233caMFaMFaac+=−=−−=．在2RtMEF中，22222MEEFMF+=

，在21RtFFE中，2222121EFFFFE=−，()2222742(2)()[]()33cacacac+−−+−=，化简可得：225830caca−+=，25830ee−+=，()01e，，解得35e=．故答

案为：35．四、解答题（共6题）17.已知圆2268210Cxyxy+−−+=：．（1）若直线1l过定点()11A，，且与圆C相切，求直线1l的方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线220lxy−+=：上，且与圆C外切，求圆D的方程．【答案】（1）1x=或512

70xy−+=（2）22(1)(1)9xy++−=或22(6)(8)9xy−+−=【解析】【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.【小问1详解】圆2268210Cxyxy+−−+

=：化为标准方程为22(3)(4)4xy−+−=，所以圆C的圆心为()34，，半径为2．①若直线1l的斜率不存在，即直线为1x=，符合题意．②若直线1l的斜率存在，设直线1l的方程为()11ykx−=−

．即10kxyk−−+=．由题意知，圆心()34，到已知直线1l的距离等于半径2，所以234121kkk−−+=+，即22321kk−=+，解得512k=，所以直线方程为51270xy−+=．综上，所求直线1l的方程为1x=或51270x

y−+=．【小问2详解】依题意，设(),2Daa+．又已知圆C的圆心为()34，，半径为2，由两圆外切，可知325CD=+=，所以22(3)(24)5aa−++−=，解得1a=−或6a=．所以()1,1D−或()6,8D，所以所求圆D

的方程为22(1)(1)9xy++−=或22(6)(8)9xy−+−=．【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．1（）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，

利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．2（）设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程．18.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cbabac+=++

．（1）求角A的大小；（2）若AD平分BAC并交BC于D，且=2AD，=3a，求ABC的面积．【答案】（1）3A=；（2）332.【解析】【分析】（1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.（2

）根据给定条件，结合（1），利用三角形面积定理求出+bc，进而求出bc计算作答.【小问1详解】因1cbabac+=++，则()()()()cacbabacab+++=++，整理得：222bcabc+−=，在ABC中，由余弦定理得：22

21cos22bcaAbc+−==，而0A，所以3A=.【小问2详解】在ABC中，AD平分BAC并交BC于D，则6BADCAD==，而=2AD，显然有BADCADABCSSS+=，即111sinsinsin222cADBADbADCADbcBAC+=，则1sin

sinsin6623cbbc+=，整理得：32bcbc+=，又=3a，由（1）知，22()3bcabc+−=，即有23()3904bcbc−−=，而0bc，解得6bc=，所以ABC的面积11333sin62222ABCSbcBAC===.19.新高考改革是

中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50~100分之间)，将抽取的成绩分组为)50,60，)60,70，)70,80，)

80,90，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这300名同学物理平均成绩x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(结果精确到1)（2）已知全年级同学的物理成绩服

从正态分布()2,N，其中，分别取（1）中的x，s.现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()62,95的概率(结果精确到0.1)；（3）根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们

的成绩都在()62,95的概率不低于1%，求n的最大值(n为整数).附：lg20.301，11610.77.若()2~,N，则()0.68P−+，()220.96P−+.【答案】（1）73x=，11s=；（2）0.8；（3）

20.【解析】分析】（1）结合频率分布直方图，利用公式计算x，s，即可得出答案．（2）(6284)(5195)(6295)22PxPxPx=+，即可得出答案．【（3）根据题意可得(0.8)0.01n…，有对数的性质，即可得出答案．【详解】解：（1）550.1650

.3750.4850.1950.173x=++++=()()()()()2222255730.165730.375730.485730.195730.1s=−+−+−+−+−11622911==，（2）()()11629520.680.960.820.822PP

=−++=，（3）由题意可得()0.80.01n，即0.8lg0.012log0.0120.61lg0.83lg21n−==−，故n的最大值为20.20.如图所示的几何体由等高的12个

圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面．（1）证明：BF⊥平面BCG．（2）若直线DF与平面AFB所成角为45，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155．【

解析】【分析】（1）取弧AB的中点H，连结BH，GH，可证BFGC⊥，BCBF⊥，即可得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）取弧AB的中点H，连结BH，GH，则45ABF

ABH==，所以BFBH⊥，因为//BCGH且BCGH=，所以四边形BCGH为平行四边形，所以//BHGC，所以BFGC⊥，又因为BC⊥平面ABF，BF平面ABF，所以BCBF⊥，又,BCGC平面BCG，BCGCC=．所

以BF⊥平面BCG．（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB=，因为直线DF与平面AFB所成角为45，则()0,2,0AB=，()1,1,2AG=−，()2,2,0FB=−，()2,0,2FD=−，设平面BDF的法向量为()

,,nxyz=，由00nFBnFD==可得：00xyxz+=−+=，令1x=，则()1,1,1n=，同理可得：平面ABG的法向量为()2,0,1m=，则315cos,535mnmnmn===，故平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155．【点睛】本题考查了立体几何中的线

面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.设na是正数组成的

数列，其前n项和为nS，并且对于所有的*nN，都有28(2)nnSa=+．（1）写出数列na的前3项．（2）求数列na的通项公式（写出推证过程）．（3）设14nnnbaa+=，nT是数列n

b的前n项和，求使得20nmT对所有*nN都成立的最小正整数m的值．【答案】（1）12a=，26a=，310a=（2）42nan=−（3）m的最小值是10．【解析】【详解】分析：（1）在()282nnS

a=+中，令1n=，求1a；令2n=，求2a；令3n=，可求3a；（2）根据nS与na的固定关系11,1,2nnSnSSn−=−，，得221140nnnaaa−−−−=，化简整理可得na是首项为2，公差为4的等差数列，从而可得结果；（3）把（2）题中na的递推关系式代入nb，根据裂项相

消法求得nT，可得1412422nTn=−+，解不等式1202m即可得到对所有nN都成立的最小整数m.详解：（1）1n=时()21182aa=+，∴12a=；2n=时()()212282aaa+=+，∴26a=；3n=时()()21233

82aaaa++=+，∴310a=．（2）∵()282nnSa=+，∴()21182(1)nnSan−−=+，两式相减得：()()221822nnnaaa−=+−+即2211440nnnnaaaa−−−−−=，也即()()1140nnnna

aaa−−+−−=，∵0na，∴14nnaa−−=，即na是首项为2，公差为4的等差数列，∴()21442nann=+−=−，（3）()()()()()()14411114242212122121nnnb

aannnnnn+====−−+−+−+，()()12111111123352121nnTbbbnn=+++=−+−++−−+

111221n=−+1412422n=−+．∵20nmT对所有*nN都成立，∴1202m即10m．故m的最小值是10．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常

见的裂项技巧：(1)()1111nnkknnk=−++；（2）1nkn++()1nknk=+−；（3）()()1111212122121nnnn=−−+−+；（4）()()11122nnn=++()()()11112nnnn−+++；此外，需注意裂项之后相消的

过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22.已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，122bFF，右顶点(2,0)A，点B为椭圆上一动点，且12BFF△的面积的最大值为3，O为坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线AB的斜率为(0)

kk，直线AB交y轴于点C，D为AB的中点，是否存在定点E，对于任意的(0)kk都有0ODCE=？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）存在；3,0

2E．【解析】【分析】（1）根据条件求出,ab，即可求出椭圆方程；（2）设存在点()00,Exy，利用向量计算即可求解.【详解】（1）由题意得2a=．又122bFF，可得bc．当12BFF△的面积最大时，点B是短轴端点，所以1232cbbc=

=．又222abc=+，解得231abc===．所以椭圆M的方程为22143xy+=．（2）直线:(2)(0)ABykxk=−．令0x=，则2yk=−，所以(0,2)Ck−．联立22(2)143ykxxy=−+=，整理得()22223416161

20kxkxk+−+−=．设(),BBBxy，则2216234Bkxk+=+，所以228634Bkxk−=+，则21234Bkyk=−+，即2228612,3434kkBkk−−++．设(),yDDDx，因为D为A

B的中点，所以22834Dkxk=+，22112623434Dkkykk=−=−++，所以22286,3434kkODkk=−++．设存在点()00,Exy，则()00,2CExyk=+．因为0ODCE=，所以

220022861203434kxkykkk+−=++，即()20024236034kxkyk−−=+对任意的0k都成立，所以002300xy−==，所以032x=，00y=，获得更多资源请扫码加入享学资源

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