【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(27)页，2.404 MB，由管理员店铺上传

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长安一中2020—2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2320Mxxx=++，集合142xNx=，则M

N=（）A.1xx−B.2xx−C.2xx−D.1xx−【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，N，再根据并集定义即可求出.【详解】232021Mxxxxx=++=−−，1422xNxxx==

−，2MNxx=−.故选：B.2.已知i为虚数单位，复数z满足22zii=+，则z=（）A.62B.2C.6D.2【答案】C【解析】【分析】先根据复数除法运算求出z，即可求出模.【详解】22zii=+，()2222222iiiziii++===−

，()22226z=+−=.故选：C.3.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（）A.136B.

112C.16D.13【答案】C【解析】【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A、B、C三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可.【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A、B、C三个

类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类

加法的思想，属于基础题.4.若执行下图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】依次写出每次循环得到的,,xyi的值,当3,64,86ixy===时,不满足条件xy,退出循环，输出i的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x

y==，满足xy，继续循环;第二次循环:1,16,6ixy===，满足xy，继续循环;第三次循环:2,32,22,ixy===满足xy，继续循环;第四次循环:3,64,86ixy===，不满足xy，跳出循环，输

出3i=.故选:B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题.5.已知函数()yfx=在区间(,0)−内单调递增，且()(

)fxfx−=，若12log3af=，()1.22bf−=，12cf=，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.bcaC.bacD.abc【答案】B【解析】【分析】由偶函数

的性质可得出函数()yfx=在区间(0,)+上为减函数，由对数的性质可得出12log30由偶函数的性质得出()2log3af=，比较出2log3、1.22−、12的大小关系，再利用函数()yfx=在区间(0,

)+上的单调性可得出,,abc的大小关系.【详解】()()fxfx−=，则函数()yfx=为偶函数，∵函数()yfx=在区间(,0)−内单调递增，在该函数在区间(0,)+上为减函数，1122log3log10=，由换底公式得122log3l

og3=−，由函数的性质可得()2log3af=，对数函数2logyx=在(0,)+上为增函数，则22log3log21=，指数函数2xy=为增函数，则1.2100222−−，即1.21021

2−，1.22102log32−，因此，bca.故选：B．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于

中等题.6.设1201xdx=−，tan3=，则tan()+=（）A.2B.2−C.12D.12−【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何意义可求出，再根据两角和的正切公式计算即可.【详解】设21yx=−，[0,1]x，则

有221(0,01)xyyx+=，圆的半径为1，所以曲线21yx=−，[0,1]x与x轴围成的面积为4，所以4=，所以tan1=，所以tantan13tan()21tantan113+++===−−−

.故选：B【点睛】方法点睛：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性，对称性来解决问题，另外，结合图形更直观形象的辅助作题.7.函数2=xxye的图象大致是（）A.B

.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C、D；利用奇偶性可排除选项B，进而可得结果.【详解】因为2=xxye，所以22'xxxye−=，令'0y=可得，0,2xx==，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C、D；又因为函数2=xxye

即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特

征点，排除不合要求的图象.8.已知函数()sin3cosfxaxx=−的图像的一条对称轴为直线56x=，且()()124fxfx=−，则12xx+的最小值为（）A.2B.C.3D.23【答案】D【解析】【分析】运用

辅助角公式，化简函数()fx的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数()fx的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin3cos3sin()(fxaxxax=−=++为辅助角)

，由于函数的对称轴的方程为56x=，且53()622af=+，即23322aa+=+，解得1a=，所以()2sin()3fxx=−，又由12()()4fxfx=−，所以函数必须取得最大值和最小值，所

以可设11152,6xkkZ=+，2222,6xkkZ=−，所以1212222,3xxkkkZ+=++，当120kk==时，12xx+的最小值23.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答

中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9.在三棱锥PABC−中，2PAPBPC===，且底面ABC为正三角形，D为侧棱PA的中点，若PCBD⊥，棱锥PABC−的四个顶点在球O的表面上，则球O的表面积

为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一及PCBD⊥,可证明PC⊥平面PAB,即PCPA⊥,即可求得底面正三角形的边长.由正三棱锥的外接球半径在正三棱锥的高上,可由勾股定理求得

外接球半径R,即可求得球的表面积.【详解】在三棱锥PABC−中,2PAPBPC===,且底面ABC为正三角形,所以三棱锥PABC−为正三棱锥设AB的中点为E,连结PE,CE,如下图所示:因为ABPE⊥,ABCE^,且CEPEE=所以AB⊥平面PEC,由直线与

平面垂直的性质可知ABPC⊥,又PCBD⊥,ABBDB=所以PC⊥平面PAB,则PCPA⊥,2PAPBPC===,则底面正三角形的边长为22ACBCAB===设该正三棱锥的外接球球心为O,底面的中心为G.由正三棱锥

的性质可知PG⊥平面ABC则()()222226222333CGCE==−=由勾股定理可得222623233PG=−=设外接球的半径为R,则222232633RR−+=,解得3R=所以球O的表面积为2412SR

==,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面垂直的判定,正三棱锥外接球的相关性质,属于中档题.10.在OAB中，已知2OB=，1AB=，45AOB=，点P满足(),OPOAOB=+R，其中，满足23+=，则OP的最小值为（）A.355B.255C.63D.6

2【答案】A【解析】【分析】根据2OB=,1AB=uuur,45AOB=,由正弦定理可得OAB为等腰直角三角形,进而求得点A坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用,表示出OP.再由23+=,将OP化为关于的二次

表达式,由二次函数性质即可求得OP的最小值.【详解】在OAB中,已知2OB=,1AB=uuur,45AOB=由正弦定理可得sinsinABOBAOBOAB=代入12sin22OAB=,解得sin1OAB=即

2OAB=所以OAB为等腰直角三角形以O为原点,OB所在直线为x轴,以OB的垂线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A坐标为22,22所以22,22OA=,()2,0OB=因为(),OPOAOB=+R则()22,2,022OP

=+222,22=+则2222222OP=++2222=++因为23+=,则32=−代入上式可得()()22322232

+−+−218518−=+299555=−+所以当95=时,min93555OP==故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.11.已知12,FF是

双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1FP的中点，O是坐标原点，若1OFM△周长为3ca+（c为双曲线的半焦距），13FMO=，则双曲线E的渐近线方程为（）A.2yx=B.12yx=C.2yx=D.22yx=【

答案】C【解析】【分析】从1OFM周长为3ca+，M是线段1FP的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PFPF与a关系，求出123FPF=，用余弦定理求出,ac关系，即可求解.【详解】连接2PF，因为

M是线段1FP的中点，由三角形中位线定理知21,2OMPF=2//OMPF，由双曲线定义知122PFPFa−=，因为1OFM周长为111211322OFOMFMcPFPFca++=++=+，所以126PFPFa+=

，解得124,2PFaPFa==，在12PFF中，由余弦定理得22212121212||||2cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即()()()222242242cos3caaaa=+−，整理得，223ca=，所以22

222bcaa=−=，所以双曲线E的渐近线方程为2yx=.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.12.对于实数a和b，定义运算“*”：()()33,*,a

abababbbaab−=−，设()()()21*1fxxx=−−，若函数()2()()gxfxmxmR=−恰有三个零点1x，2x，3x，则123xxx的取值范围是（）A.310,16−B.13,016−C.10,16

D.1,016−【答案】B【解析】【分析】首先根据定义求出函数的解析式，因为()gx有三个零点，所以()fx与2ymx=有3个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而可求三个零点之积的取值范围.【详解】当211

xx−−，即0x时，()()321fxxx=−，当211xx−−，即0x时，()()31fxxx=−−，()()()3321,01,0xxxfxxxx−=−−，()2()()gxfxmxmR=−恰有三个零点，()yfx

=与2ymx=的图象恰好有3个交点，即()()()21,01,0xxxhxxxx−=−−与ym=有3个交点，作出()hx的图象，如图所示，则104m，不妨设123xxx，易知20x

，且231xx+=，223231024xxxx+=，由()12140xxx−=解得134x−=，11304x−，12313016xxx−.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与函数图像间交点的关系，解

题的关键是数性结合求出零点范围，得出所求.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.二项式1022xx+，则该展开式中的常数项是______.【答案】180【解析】【分析】求得二项展开式的通项1052

1102rrrrTCx−+=，令2r=，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022xx+的展开式的通项为1051021101022()()2rrrrrrrTCxCxx−−+==，令2r=，可得223102180TC==，即展开式的常数项是18

0.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2527ababa−−

设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.【答案】13【解析】【分析】作出不等式组2527ababa−−表示的区域，找到使得ab+最大的点即可．【详解】作出不等式组2527ababa−−表示的区域，横坐标轴为a，纵

坐标轴为b，如下图，令：xab=+，计算各顶点坐标得：()3,1A，()7,5B,()7,9C，找到横坐标为6，又在区域内的最高点()6,7，此时max6713xab=+=+=【点睛】本题主要考查了一元二次不等式

组表示的区域，线性规划总是，注意边界是实线还是虚线，考查观察能力，属于基础题．15.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2sinAB=，coscos2aBbA+=，22a=.则ABC面积为________.

【答案】72【解析】【分析】对sin2sinAB=利用正弦定理可得2ab=，由此可求出b，对coscos2aBbA+=利用余弦定理角化边可求出c，再利用余弦定理求出cosA，再根据面积公式1sin2ABCSbcA=计算即可.【详解】因为sin2sinAB=，

所以由正弦定理，得2ab=，又22a=，所以2b=，因为coscos2aBbA+=，所以222222222acbbcaabacbc+−+−+=，所以222222222acbbcacc+−+−+=，所以2c=，由余弦定理，得2222482cos24222bcaAbc+−+−===−

，又(0,)A，所以2114sin1cos184AA=−=−=，所以11147sin222242ABCSbcA===△.故答案为：72【点睛】方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统

一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．16.已知函数()lnxfxaxx=−，存在212,,xxee，使()()12fxfxa+成立，则实数

a的最小值为__________（其中e是自然对数的底数）.【答案】21124e−【解析】【分析】求出2ln1()lnxfxax−=−，可得22xe=时，()2fxa+有最大值14，只需存在21,xee，使()114fx，即1

111ln4axx−，利用导数判断()11ln4gxxx=−的单调性，求出最小值即可得出.【详解】()lnxfxaxx=−，2ln1()lnxfxax−=−，()222222ln1111lnln24xfxaxx−+==−−+，当211ln2x=，即2

2xe=时，()2fxa+有最大值14，故只需要存在21,xee，使()114fx，故1111ln4xaxx−，即1111ln4axx−，令()11ln4gxxx=−，则222(ln)4()4(ln)xxgxxx−=，令()2(ln

)4xhxx=−，则()2ln4xhxx=−，()()221lnxhxx−=，则当2,xee，()0hx，故()hx单调递减，()()240hxhee=−，故()hx单调递减，()()140hxhee=−，即(

)0gx，故()gx单调递减，()()22min1124gxgee==−，21124ae−，故a的最小值为21124e−.故答案为：21124e−.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),,ygxxc

d=（1）若1,xab，2,xcd，总有()()12fxgx成立，故()()2maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有(

)()12fxgx成立，故()()2minminfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集．三、解答题：（共7小题，共70分.解答应

写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17.已知数列na的前n项和为nS，*nN，且3122nnSa=−.（1）求数列na的通项公式；（2）若212nnnnbaa++=−

，设数列nb的前n项和为nT，*nN，证明34nT.【答案】（1）13−=nna；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据1(2)nnnaSSn−=−可得13nnaa−=，2n，根据等比数列的通

项公式可求得结果.（2）根据2123nnnnnnbaa++==−，运用错位相减法求和法可得33234434nnnT+=−，可证不等式成立.【详解】解：（1）当1n=时，113122aa=−，得11a=，当2n时，()1132nnnnnSSaaa−−−==−，得13nnaa−

=，数列na是公比为3的等比数列，∴13−=nna.（2）由（1）得：2123nnnnnnbaa++==−，又212333nnnT=+++L，①，∴2311123333nnnT+=+++，②，两式相减得：21211133333nnnnT+

=+++−L，故111123313313nnnnT+−=−−，∴33234434nnnT+=−.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错

位相减法：若na是等差数列，nb是等比数列，求1122nnababab++.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111nnnn=−++，()1111222nnnn=−++，()()1111212122121nn

nn=−−+−+等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60ABC=，PBPC=，E为线段BC的中点，F为线段PA上的

一点.（1）证明：平面PAE⊥平面BCP.（2）若22PAABPB==，二面角ABDF−−的余弦值为35，求PD与平面BDF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）210【解析】【分析】（1）由PEBCBCAE⊥⊥，得BC⊥平面PAE，进而可得证；（2）先证得PA⊥平面ABCD，设

ACBDO=，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−，分别计算平面BDF的法向量为n和PD，设PD与平面BDF所成角为，则sinnPDnPD=，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC，因为PBPC=，E为线段BC的中点，所以PEBC⊥.又A

BBC=，60ABC=，所以ABC为等边三角形，BCAE⊥.因为AEPEE=，所以BC⊥平面PAE，又BC平面BCP，所以平面PAE⊥平面BCP.（2）解：设ABPAa==，则2PBaPC==，因为222PAABPB+=，所以PAAB⊥，同理可证PAAC⊥，所以PA⊥平面ABCD.如

图，设ACBDO=，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−.易知FOA为二面角ABDF−−的平面角，所以3cos5FOA=，从而4tan3FOA=.由432AFa=，得23AFa=.又由20,,2

3aaF−，3,0,02Ba，知32,,223aaaBF=−−，20,,23aaOF=−.设平面BDF的法向量为(),,nxyz=，由nBF⊥，n

OF⊥，得3202232023aaaxyzaayz−−+=−+=，不妨设3z=，得()0,4,3n=.又0,,2aPa−，3,0,02Da−，所以3,,22aaPDa

=−−.设PD与平面BDF所成角为，则222232sin1031544nPDaanPDaaa−===++.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系

关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的

了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项

5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样

的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望.参考数据：()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82822()(

)()()()nadbckabcdacbd−=++++，nabcd=+++.【答案】(1)见解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）见解析【解析】【分析】（1）写出列联表后可计算2K，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）文科生与理科生的比

为310，据此可计算出文科生和理科生的人数.（ii）利用超几何分布可计算X的分布列及其数学期望.【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算222()100(42182812)3.3826.

635()()()()30705446nadbcKabcdacbd−−==++++，没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）抽取的文科生人数是30103100=（人），理

科生人数是70107100=（人）.（ii）X的可能取值为0,1,2,3，则0337310CC7(0)C24PX===，1237310CC21(1)C40PX===，17213307(2)40CCPXC===，3037310CC1(3)C120PX===.其分布列为X0123()PX724214

07401120所以72171369()01232440401204010EX=+++==.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20.在平面直角

坐标系xOy中，(2,0)A−，(2,0)B，且PAB满足3tantan4AB=.记点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明是什么曲线；（2）若M，N是曲线C上的动点，且直线MN过点10,2D，问在y

轴上是否存在定点Q，使得MQONQO=？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142(2)xyx+=，C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点(0,6

)Q【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(,)xy，3tantan4AB=说明34PAPBkk=−，把这个等式用,xy表示出来化简后即得；（2）假设存在的定点(0,)Qm符合题意，当直线MN的斜率k存在时

，设其方程为1124ykxk=+，()11,Mxy，()22,Nxy，由直线方程与椭圆方程联立消去y得x的一元二次方程，应用韦达定理得1212,xxxx+，MQONQO=，得0MQNQkk+=，代入1212,xxxx+化简后分析所得式子与k无关时的m值，同时验证M

N斜率不存在时，定点Q也满足．【详解】（1）由3tantan4AB=，得34PAPBkk=−，设点P的坐标为(,)xy，则：3(2)224yyxxx=−+−，化简得：221(2)43xyx+=，

曲线C的方程为22142(2)xyx+=C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆（不含左、右顶点）（2）假设存在的定点(0,)Qm符合题意由题意知：直线,ADBD的斜率分别为14ADk=，14BDk=−由题

意及（1）知：直线MN与直线,ADBD均不重合，当直线MN的斜率k存在时设其方程为1124ykxk=+，()11,Mxy，()22,Nxy由MQONQO=，得直线,MQNQ的倾斜角互补，故0MQN

Qkk+=又1212MQNQymymkkxx−−+=+12121122kxmkxmxx+−+−=+()1212124(12)2kxmxxxx+−+=()12124(12)0kxxmxx+−+=①由221,431.2xyykx+==+

消去y，整理得：()22344110kxkx++−=.()221644340kk=++，又122434kxxk−+=+，1221134xxk−=+②代②入①得：221144(12)3434kkmkk−−+−++28(6)034kmk−==+③当14k时

，又k不恒为0，当且仅当6m=时，③式成立当直线MN的斜率k存在时，存在定点(0,6)Q满足题意.当直线MN的斜率不存在时，点(0,6)Q满足0MQONQO==，也符合题意.综上所述，在y轴上存在定点(0,6)Q，使得MQONQO=.【点睛】本题考查求轨迹方

程，由方程确定曲线，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设动点坐标，()11,Mxy，()22,Nxy，应用韦达定理求得1212,xxxx+，代入题设条件中得出结论．本题考查了学生的运算求解能力．21.已知函数()ln1()fx

axxaR=−−．（1）讨论()fx的单调性并指出相应单调区间；（2）若21())1(2gxxxxf−−−=，设()1212,xxxx是函数()gx的两个极值点，若32a，且()()12gxgxk−恒成

立，求实数k的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln28−−【解析】【分析】（1）先对函数进行求导得1()axfxx−=，对a分成0a和0a两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2

）对函数()gx求导得2(1)1()xaxgxx−++=，从而有121xxa+=+，121=xx，211xx=，三个方程中利用32a得到1102x≤.将不等式()()12gxgxk−的左边转化成关于1x的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k的取值范围.【详解】解

：（1）由()ln1fxaxx=−−，(0,)x+，则11()axfxaxx−=−=，当0a时，则()0fx，故()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，令1()0fxxa==，所以()fx在10,a

上单调递减，在1,a+上单调递增．综上所述：当0a时，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增．（

2）∵21()ln(1)2gxxxax=+−+，21(1)1()(1)xaxgxxaxx−++=+−+=,由()0gx=得2(1)10xax−++=，∴121xxa+=+，121=xx，∴211xx=∵32a∴111115210xxxx+解得1102x

≤.∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln22xgxgxxxaxxxxxx−=+−−+−=−−.设22111()2ln022hxxxxx=−−，则()2233121()0xhxxxxx−−=−

−=,∴()hx在10,2上单调递减；当112x=时，min115()2ln228hxh==−.∴152ln28k−，即所求k的取值范围为15,2ln28−−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、

最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，

则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程22.曲线C的参数方程为2cossinxy==(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

直线l的极坐标方程为cos24+=.(1)写出C的直角坐标方程，并且用00cossinxxtyyt=+=+(为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；(2)l与C是否相交，若相交求出

两交点的距离，若不相交，请说明理由.【答案】（1）C的直角坐标方程为2214xy+=，直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数)；（2）相交，且两交点的距离为425．【解析】试题分析：(1)由题意可得C的直角坐标方程为221

4xy+=，直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数)；(2)联立直线与椭圆的方程，很明显直线与椭圆有两个交点，且两交点的距离是425．试题解析：(1)C的直角坐标方程为2214xy+=，由cos2

4+=得20xy−−=，直线l的倾斜角为4，过点()2,0，故直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数)(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程得25

420tt+=，10t=，2425t=−，显然l与C有两个交点,AB且12425ABtt=−=.选修4-5：不等式选讲23.已知()21fxxx=+−.（1）解关于x的不等式()4fx；（2）对于任意正数m，n，求使得不等式2211()2fxnmmn++恒成立的x的取

值集合M.【答案】（1）()5,1,3−−+；（2）51,3−.【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值即可解出不等式；（2）由基本不等式可得出不等式化为()4fx，再由（1）即可求出.【详解】（1）当0x时，不等式化为214

xx−+−，∴1x−；当01x时，不等式化为214xx+−，解得3x，无解，当1x时，不等式化为214xx+−，∴53x.综上，不等式()4fx的解集为()5,1,3−−+.（2）∵22112224nmnmmnmn+++，当且仅当1mn=

=时“=”成立，∴214xx+−，由1知x的取值集合M为51,3−.