【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(理)试卷【精准解析】.doc,共(27)页,2.404 MB,由管理员店铺上传
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长安一中2020—2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合2320Mxxx=++,集合142xNx=,则
MN=()A.1xx−B.2xx−C.2xx−D.1xx−【答案】B【解析】【分析】先求出集合M,N,再根据并集定义即可求出.【详解】232021Mxxxxx=++=−−,1422xNxxx==−
,2MNxx=−.故选:B.2.已知i为虚数单位,复数z满足22zii=+,则z=()A.62B.2C.6D.2【答案】C【解析】【分析】先根据复数除法运算求出z,即可求出模.【详
解】22zii=+,()2222222iiiziii++===−,()22226z=+−=.故选:C.3.某中学组织高三学生进行一项能力测试,测试内容包括A、B、C三个类型问题,这三个类型所含题目的个数分别占总数的12,13,16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答
,则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为()A.136B.112C.16D.13【答案】C【解析】【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同,则A、B、C三个类型的问题都要入选,所以要先确定每位同学所选的是何种类型
,又每个类型入选的可能为12,13,16,计算结果即可.【详解】解:3名同学选择的题目所属类型互不相同,则A、B、C三个类型的问题都要入选,则3名同学的选法共有33A种情况,每个类型入选的可能为12,13,16,所以全部入
选的概率为111123636=,则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A=.故选:C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率,涉及分类加法的思想,属于基础题.4.若执行下图的程序框图,则输出i的值为()A
.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】依次写出每次循环得到的,,xyi的值,当3,64,86ixy===时,不满足条件xy,退出循环,输出i的值为即可.【详解】第一次循环:8,2xy==,满足xy,继续循环;第二次
循环:1,16,6ixy===,满足xy,继续循环;第三次循环:2,32,22,ixy===满足xy,继续循环;第四次循环:3,64,86ixy===,不满足xy,跳出循环,输出3i=.故选:B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一
些规律的重复计算,如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用;属于基础题.5.已知函数()yfx=在区间(,0)−内单调递增,且()()fxfx−=,若12log3af=,()1.22bf−=,12cf=,则,,ab
c的大小关系为()A.acbB.bcaC.bacD.abc【答案】B【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()yfx=在区间(0,)+上为减函数,由对数的性质可得出12log30由偶函数的性质得出()2log3af=,比较出2log
3、1.22−、12的大小关系,再利用函数()yfx=在区间(0,)+上的单调性可得出,,abc的大小关系.【详解】()()fxfx−=,则函数()yfx=为偶函数,∵函数()yfx=在区间(,0)−
内单调递增,在该函数在区间(0,)+上为减函数,1122log3log10=,由换底公式得122log3log3=−,由函数的性质可得()2log3af=,对数函数2logyx=在(0,)+上为增
函数,则22log3log21=,指数函数2xy=为增函数,则1.2100222−−,即1.210212−,1.22102log32−,因此,bca.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系,同时
也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系,涉及指数函数与对数函数的单调性,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6.设1201xdx=−,tan3=,则tan()+=()A.2B.2−C.12D.12−【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何
意义可求出,再根据两角和的正切公式计算即可.【详解】设21yx=−,[0,1]x,则有221(0,01)xyyx+=,圆的半径为1,所以曲线21yx=−,[0,1]x与x轴围成的面积为4,所以4=,所以tan1=,所以tantan13tan
()21tantan113+++===−−−.故选:B【点睛】方法点睛:利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义,同时要合理利用函数的奇偶性,对称性来解决问题,另外,结合图形更直观形象的辅助作题.7.函数2=xxye的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析
】【分析】根据函数有两个极值点,可排除选项C、D;利用奇偶性可排除选项B,进而可得结果.【详解】因为2=xxye,所以22'xxxye−=,令'0y=可得,0,2xx==,即函数有且仅有两个极值点,可排除选项C、D;又因为函数2=xxye即不是奇函数,又不是偶函数,可排除选项B,故选:A.【
点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函
数的特征点,排除不合要求的图象.8.已知函数()sin3cosfxaxx=−的图像的一条对称轴为直线56x=,且()()124fxfx=−,则12xx+的最小值为()A.2B.C.3D.23【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式,化简函数()f
x的解析式,由对称轴的方程,求得a的值,得出函数()fx的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.【详解】由题意,函数2()sin3cos3sin()(fxaxxax=−=++为辅助角),由于函数的对称轴的方程为56x=,且53()622af=+,即23322aa+
=+,解得1a=,所以()2sin()3fxx=−,又由12()()4fxfx=−,所以函数必须取得最大值和最小值,所以可设11152,6xkkZ=+,2222,6xkkZ=−,所以1212222,3xxkkkZ+=++,当120kk==时,12xx+的最小值23.故选:
D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.9.在三棱锥PABC−中,2PAPBPC===,且底面ABC为正
三角形,D为侧棱PA的中点,若PCBD⊥,棱锥PABC−的四个顶点在球O的表面上,则球O的表面积为()A.6B.8C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一及PCBD⊥,可证明PC⊥平面PAB,即PCPA⊥,即可求得底面正三角形的边长
.由正三棱锥的外接球半径在正三棱锥的高上,可由勾股定理求得外接球半径R,即可求得球的表面积.【详解】在三棱锥PABC−中,2PAPBPC===,且底面ABC为正三角形,所以三棱锥PABC−为正三棱锥设AB的中点为E,连结PE,CE,如下图所示:因为ABPE⊥,ABCE^,且CEPEE=
所以AB⊥平面PEC,由直线与平面垂直的性质可知ABPC⊥,又PCBD⊥,ABBDB=所以PC⊥平面PAB,则PCPA⊥,2PAPBPC===,则底面正三角形的边长为22ACBCAB===设该正三棱锥的外接球球心为O,底面的中心为G.由正三棱锥的性质可知
PG⊥平面ABC则()()222226222333CGCE==−=由勾股定理可得222623233PG=−=设外接球的半径为R,则222232633RR−+
=,解得3R=所以球O的表面积为2412SR==,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面垂直的判定,正三棱锥外接球的相关性质,属于中档题.10.在OAB中,已知2OB=,1AB=,45AOB=,点P满足(),OPOAOB=+R,其中,满足
23+=,则OP的最小值为()A.355B.255C.63D.62【答案】A【解析】【分析】根据2OB=,1AB=uuur,45AOB=,由正弦定理可得OAB为等腰直角三角形,进而求得点A坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用
,表示出OP.再由23+=,将OP化为关于的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP的最小值.【详解】在OAB中,已知2OB=,1AB=uuur,45AOB=由正弦定理可得sinsinABOB
AOBOAB=代入12sin22OAB=,解得sin1OAB=即2OAB=所以OAB为等腰直角三角形以O为原点,OB所在直线为x轴,以OB的垂线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A坐标为22,22所以22,22OA=,()2
,0OB=因为(),OPOAOB=+R则()22,2,022OP=+222,22=+则2222222OP=++2222=++因为2
3+=,则32=−代入上式可得()()22322232+−+−218518−=+299555=−+所以当95=时,min93555OP==故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正
弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.11.已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点,P是双曲线E右支上一点,M是线段1FP的中点,O是坐标原点,若1OFM△周长为3ca+(c为双曲线
的半焦距),13FMO=,则双曲线E的渐近线方程为()A.2yx=B.12yx=C.2yx=D.22yx=【答案】C【解析】【分析】从1OFM周长为3ca+,M是线段1FP的中点入手,结合双曲线的定义,将已知条件转为焦点三角形中12||,||PFPF与a关系,求出1
23FPF=,用余弦定理求出,ac关系,即可求解.【详解】连接2PF,因为M是线段1FP的中点,由三角形中位线定理知21,2OMPF=2//OMPF,由双曲线定义知122PFPFa−=,因为1OFM周长为111211322OFOMFMcPFP
Fca++=++=+,所以126PFPFa+=,解得124,2PFaPFa==,在12PFF中,由余弦定理得22212121212||||2cosFFPFPFPFPFFPF=+−,即()()()222242242cos3caaaa=+−,整理得,22
3ca=,所以22222bcaa=−=,所以双曲线E的渐近线方程为2yx=.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用,属于中档题.12.对于实数a和b,定
义运算“*”:()()33,*,aabababbbaab−=−,设()()()21*1fxxx=−−,若函数()2()()gxfxmxmR=−恰有三个零点1x,2x,3x,则123xxx的取值范围是()A.310,16−B.13,016−
C.10,16D.1,016−【答案】B【解析】【分析】首先根据定义求出函数的解析式,因为()gx有三个零点,所以()fx与2ymx=有3个交点,根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况
,进而可求三个零点之积的取值范围.【详解】当211xx−−,即0x时,()()321fxxx=−,当211xx−−,即0x时,()()31fxxx=−−,()()()3321,01,0xxxfxxxx−=−−,()2()()gxfxmxmR
=−恰有三个零点,()yfx=与2ymx=的图象恰好有3个交点,即()()()21,01,0xxxhxxxx−=−−与ym=有3个交点,作出()hx的图象,如图所示,则104m,不妨设123xxx,易知20x,且231xx+=,22323102
4xxxx+=,由()12140xxx−=解得134x−=,11304x−,12313016xxx−.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与函数图像间交点的关系,解
题的关键是数性结合求出零点范围,得出所求.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上)13.二项式1022xx+,则该展开式中的常数
项是______.【答案】180【解析】【分析】求得二项展开式的通项10521102rrrrTCx−+=,令2r=,即可求解展开式的常数项,得到答案.【详解】由题意,二项式1022xx+的展开式的通项为1051021101022()
()2rrrrrrrTCxCxx−−+==,令2r=,可得223102180TC==,即展开式的常数项是180.故答案为:180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.某校
今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a,b满足不等式组2527ababa−−设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x=________.【答案】13【解析】【分析】作出不等式组2527abab
a−−表示的区域,找到使得ab+最大的点即可.【详解】作出不等式组2527ababa−−表示的区域,横坐标轴为a,纵坐标轴为b,如下图,令:xab=+,计算各顶点坐标得:
()3,1A,()7,5B,()7,9C,找到横坐标为6,又在区域内的最高点()6,7,此时max6713xab=+=+=【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组表示的区域,线性规划总是,注意边界是实线还是虚线,考查观察
能力,属于基础题.15.已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2sinAB=,coscos2aBbA+=,22a=.则ABC面积为________.【答案】72【解析】【分析】对sin2sinAB=利用正弦定理可得2ab=
,由此可求出b,对coscos2aBbA+=利用余弦定理角化边可求出c,再利用余弦定理求出cosA,再根据面积公式1sin2ABCSbcA=计算即可.【详解】因为sin2sinAB=,所以由正弦定理,得2ab=,又22a=,所以2b=,因为coscos2aBbA+=,所以222
222222acbbcaabacbc+−+−+=,所以222222222acbbcacc+−+−+=,所以2c=,由余弦定理,得2222482cos24222bcaAbc+−+−===−,又(0,)A,所以2114sin1cos184AA=−=−=,所以111
47sin222242ABCSbcA===△.故答案为:72【点睛】方法点睛:对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,应运用正弦定理和余弦定理,要么把它统一为边的关系,要么把它统一为角的关系.再利用三角形的
有关知识,三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简,从而得出结论.16.已知函数()lnxfxaxx=−,存在212,,xxee,使()()12fxfxa+成立,则实数a的最小值为__________(其中e是自然对数的底数).【答案
】21124e−【解析】【分析】求出2ln1()lnxfxax−=−,可得22xe=时,()2fxa+有最大值14,只需存在21,xee,使()114fx,即1111ln4axx−,利用导数判断()11ln4
gxxx=−的单调性,求出最小值即可得出.【详解】()lnxfxaxx=−,2ln1()lnxfxax−=−,()222222ln1111lnln24xfxaxx−+==−−+,当211ln2x=,即22xe=时,()2fxa+有最大值14,故只需要存在21
,xee,使()114fx,故1111ln4xaxx−,即1111ln4axx−,令()11ln4gxxx=−,则222(ln)4()4(ln)xxgxxx−=,令()2(ln)4x
hxx=−,则()2ln4xhxx=−,()()221lnxhxx−=,则当2,xee,()0hx,故()hx单调递减,()()240hxhee=−,故()hx单调递减,()()140h
xhee=−,即()0gx,故()gx单调递减,()()22min1124gxgee==−,21124ae−,故a的最小值为21124e−.故答案为:21124e−.【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()
,,yfxxab=,(),,ygxxcd=(1)若1,xab,2,xcd,总有()()12fxgx成立,故()()2maxminfxgx;(2)若1,xab,2,x
cd,有()()12fxgx成立,故()()2maxmaxfxgx;(3)若1,xab,2,xcd,有()()12fxgx成立,故()()2minminfxgx;(4)若1,xab,2,xcd
,有()()12fxgx=,则()fx的值域是()gx值域的子集.三、解答题:(共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.1
7.已知数列na的前n项和为nS,*nN,且3122nnSa=−.(1)求数列na的通项公式;(2)若212nnnnbaa++=−,设数列nb的前n项和为nT,*nN,证明34nT.【答案】
(1)13−=nna;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据1(2)nnnaSSn−=−可得13nnaa−=,2n,根据等比数列的通项公式可求得结果.(2)根据2123nnnnnnbaa++==−,运用错位相减法求和法
可得33234434nnnT+=−,可证不等式成立.【详解】解:(1)当1n=时,113122aa=−,得11a=,当2n时,()1132nnnnnSSaaa−−−==−,得13nnaa−=,数列na是公比为3的等比数列,∴13−=nna.(2)由(1
)得:2123nnnnnnbaa++==−,又212333nnnT=+++L,①,∴2311123333nnnT+=+++,②,两式相减得:21211133333nnnnT+=+++−L,故1111233
13313nnnnT+−=−−,∴33234434nnnT+=−.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和.(2)错位相减法:若na是等差数列,nb是等比数列,求1122nnab
abab++.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111nnnn=−++,()1111222nnnn=−++,()()1111212122121nnnn=−−+−+等.(4)分组求和法:把数列的每一项分
成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和.(5)倒序相加法.18.如图,在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为菱形,60ABC=,PBPC=,E为线段BC的中点,F为线段PA上的一点.(1)证明:平面PAE⊥平面BCP.(2)若22PAABPB==,二面
角ABDF−−的余弦值为35,求PD与平面BDF所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)210【解析】【分析】(1)由PEBCBCAE⊥⊥,得BC⊥平面PAE,进而可得证;(2)先证得PA⊥平面ABCD,设ACBDO=,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标
系Oxyz−,分别计算平面BDF的法向量为n和PD,设PD与平面BDF所成角为,则sinnPDnPD=,代入计算即可得解.【详解】(1)证明:连接AC,因为PBPC=,E为线段BC的中点,所以PEBC⊥.又ABBC=,60ABC
=,所以ABC为等边三角形,BCAE⊥.因为AEPEE=,所以BC⊥平面PAE,又BC平面BCP,所以平面PAE⊥平面BCP.(2)解:设ABPAa==,则2PBaPC==,因为222PAABPB+=,所
以PAAB⊥,同理可证PAAC⊥,所以PA⊥平面ABCD.如图,设ACBDO=,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz−.易知FOA为二面角ABDF−−的平面角,所以3cos5FOA=,从而4tan3FOA=.由432AFa=,得23A
Fa=.又由20,,23aaF−,3,0,02Ba,知32,,223aaaBF=−−,20,,23aaOF=−.设平面BDF的法向量为(),,nxyz=,由nBF⊥,nOF⊥,得3202232023aa
axyzaayz−−+=−+=,不妨设3z=,得()0,4,3n=.又0,,2aPa−,3,0,02Da−,所以3,,22aaPDa=−−.设PD与平面BDF所成角为,则222232sin103
1544nPDaanPDaaa−===++.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,
破“应用公式关”.19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家,对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度,某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们列举阿基米德的成就,把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了
解”.他们的调查结果如下:0项1项2项3项4项5项5项以上理科生(人)110171414104文科生(人)08106321(1)完成如下22列联表,并判断是否有99%的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关?比较了解
不太了解合计理科生文科生合计(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.(i)求抽取的文科生和理科生的人数;(ii)从10人的样本中随机抽取3人,用X表示这3人中文科生的人数,求X的分布列和数学期望.参考数据:(
)20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82822()()()()()nadbckabcdacbd−=++++,nabcd=+++.【答案】(1)见解析;(2)(i)文科生3人,理科生7人(ii)见解析【解析】【分析】(1)
写出列联表后可计算2K,根据预测值表可得没有99%的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关.(2)(i)文科生与理科生的比为310,据此可计算出文科生和理科生的人数.(ii)利用超几何分布可计算X的分布列及其数学期望.【
详解】解:(1)依题意填写列联表如下:比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算222()100(42182812)3.3826.635()()()()3070544
6nadbcKabcdacbd−−==++++,没有99%的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关.(2)(i)抽取的文科生人数是30103100=(人),理科生人数是70107100=(人).(ii)X的可能取值为0,1,2,3,则0337310CC7(0)C24P
X===,1237310CC21(1)C40PX===,17213307(2)40CCPXC===,3037310CC1(3)C120PX===.其分布列为X0123()PX72421407401120所以72171369()01
232440401204010EX=+++==.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布,注意在计算离散型随机变量的概率时,注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何分布等).20.在平面直角坐标系xOy中,(2,0)A−,(2,0)B
,且PAB满足3tantan4AB=.记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明是什么曲线;(2)若M,N是曲线C上的动点,且直线MN过点10,2D,问在y轴上是否存在定点Q,使得MQONQO=?若存在,请求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22
142(2)xyx+=,C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点);(2)存在定点(0,6)Q【解析】【分析】(1)设点P的坐标为(,)xy,3tantan4AB=说明34PAPBkk=−,把这个等式用,xy表示出来化简后即得;(2)假设存在的定点(
0,)Qm符合题意,当直线MN的斜率k存在时,设其方程为1124ykxk=+,()11,Mxy,()22,Nxy,由直线方程与椭圆方程联立消去y得x的一元二次方程,应用韦达定理得1212,xxxx+,MQONQO
=,得0MQNQkk+=,代入1212,xxxx+化简后分析所得式子与k无关时的m值,同时验证MN斜率不存在时,定点Q也满足.【详解】(1)由3tantan4AB=,得34PAPBkk=−,设点P的坐标为(,)
xy,则:3(2)224yyxxx=−+−,化简得:221(2)43xyx+=,曲线C的方程为22142(2)xyx+=C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点)(2)假设存在的定点(0,)
Qm符合题意由题意知:直线,ADBD的斜率分别为14ADk=,14BDk=−由题意及(1)知:直线MN与直线,ADBD均不重合,当直线MN的斜率k存在时设其方程为1124ykxk=+,()11,Mxy,()22,Nxy由M
QONQO=,得直线,MQNQ的倾斜角互补,故0MQNQkk+=又1212MQNQymymkkxx−−+=+12121122kxmkxmxx+−+−=+()1212124(12)2kxmxxxx+−+=()12124(12)0kxxmxx+−+=①由221,431.2x
yykx+==+消去y,整理得:()22344110kxkx++−=.()221644340kk=++,又122434kxxk−+=+,1221134xxk−=+②代②入①得:221144(12)3434kkmkk−−
+−++28(6)034kmk−==+③当14k时,又k不恒为0,当且仅当6m=时,③式成立当直线MN的斜率k存在时,存在定点(0,6)Q满足题意.当直线MN的斜率不存在时,点(0,6)Q满足0MQONQO=
=,也符合题意.综上所述,在y轴上存在定点(0,6)Q,使得MQONQO=.【点睛】本题考查求轨迹方程,由方程确定曲线,考查直线与椭圆相交问题中的定点问题.解题方法是设而不求的思想方法.即设动点坐标,()11,M
xy,()22,Nxy,应用韦达定理求得1212,xxxx+,代入题设条件中得出结论.本题考查了学生的运算求解能力.21.已知函数()ln1()fxaxxaR=−−.(1)讨论()fx的单调性并指出相应单调区间;(2)若21
())1(2gxxxxf−−−=,设()1212,xxxx是函数()gx的两个极值点,若32a,且()()12gxgxk−恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)15,2ln28−−【解析】【分析】(1)先对函数
进行求导得1()axfxx−=,对a分成0a和0a两种情况讨论,从而得到相应的单调区间;(2)对函数()gx求导得2(1)1()xaxgxx−++=,从而有121xxa+=+,121=xx,211xx=,三个方程中利用32a得
到1102x≤.将不等式()()12gxgxk−的左边转化成关于1x的函数,再构造新函数利用导数研究函数的最小值,从而得到k的取值范围.【详解】解:(1)由()ln1fxaxx=−−,(0,)x+
,则11()axfxaxx−=−=,当0a时,则()0fx,故()fx在(0,)+上单调递减;当0a时,令1()0fxxa==,所以()fx在10,a上单调递减,在1,a+
上单调递增.综上所述:当0a时,()fx在(0,)+上单调递减;当0a时,()fx在10,a上单调递减,在1,a+上单调递增.(2)∵21()ln(1)2gxxxax=+−+,21(1)1()(1)xaxgxxaxx−++=+−+=,
由()0gx=得2(1)10xax−++=,∴121xxa+=+,121=xx,∴211xx=∵32a∴111115210xxxx+解得1102x≤.∴()()()()22211212121
1221111ln(1)2ln22xgxgxxxaxxxxxx−=+−−+−=−−.设22111()2ln022hxxxxx=−−,则()2233121()0xhxxxxx−−=−−=,∴()
hx在10,2上单调递减;当112x=时,min115()2ln228hxh==−.∴152ln28k−,即所求k的取值范围为15,2ln28−−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、
最值,考查分类讨论思想和数形结合思想,求解双元问题的常用思路是:通过换元或消元,将双元问题转化为单元问题,然后利用导数研究单变量函数的性质.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多
做,则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4:坐标系与参数方程22.曲线C的参数方程为2cossinxy==(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos24+=
.(1)写出C的直角坐标方程,并且用00cossinxxtyyt=+=+(为直线的倾斜角,t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程;(2)l与C是否相交,若相交求出两交点的距离,若不相交,请说明理由.【答案】(1)C的直角坐标方程为2214xy
+=,直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数);(2)相交,且两交点的距离为425.【解析】试题分析:(1)由题意可得C的直角坐标方程为2214xy+=,直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数);(2)联立直线与
椭圆的方程,很明显直线与椭圆有两个交点,且两交点的距离是425.试题解析:(1)C的直角坐标方程为2214xy+=,由cos24+=得20xy−−=,直线l的倾斜角为4,过点()2,0
,故直线l的一个参数方程为22222xtyt=+=(t为参数)(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程得25420tt+=,10t=,2425t=−,显然l与C有两个交点,AB且12425ABtt=−=.选修4-5:不等式选讲23.已知()21fxxx=+−.(1)解关于
x的不等式()4fx;(2)对于任意正数m,n,求使得不等式2211()2fxnmmn++恒成立的x的取值集合M.【答案】(1)()5,1,3−−+;(2)51,3−.【解析】【分析】(1)分段讨论去绝对值即可解出不等式;(2)由基本不等式可得出不等式
化为()4fx,再由(1)即可求出.【详解】(1)当0x时,不等式化为214xx−+−,∴1x−;当01x时,不等式化为214xx+−,解得3x,无解,当1x时,不等式化为214xx+−,∴53x.综上,不等式()4fx的解集为()5,
1,3−−+.(2)∵22112224nmnmmnmn+++,当且仅当1mn==时“=”成立,∴214xx+−,由1知x的取值集合M为51,3−.