【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.254 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择

题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在

其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.全集213,13,20UxZxAxZxBxZxx=−=−=

−−，则()UAB=ð（）A.1−B.1,2−C.12−xxD.12xx−【答案】A【解析】【分析】由解一元二次不等式求集合B，应用集合的交补运算，求()UABð即可.【详解】由题意知：{1,0,

1,2}B=−，而{1,0,1,2,3},{0,1,2}UA=−=，∴{1,3}UA=-ð，则(){1}UAB=−ð，故选：A2.设p∶10||2x−，q∶260xx+−，则p是q的（）A.充要条件.B.必要不充分条

件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解分式和绝对值不等式、一元二次不等式得到p，q的对应集合，判断它们的包含关系，进而可知p，q之间的充分、必要性.【详解】由题意，p∶22x−，q∶32x−，而22x−是32x−的

真子集，∴p是q的充分不必要条件.故选：C3.圆2220xyx+−=上的动点P到直线30xy−−=的最近距离为（）.A.2B.2C.21+D.21−【答案】D【解析】【分析】先求出圆心到直线30xy−−=的距离，根据距离的最小值为dr−，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(1

)1xy−+=，圆心坐标为()1,0，半径为1，圆心到直线的距离|103|22d−−==，所以圆上的点到直线的距离的最小值为21−.故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题.4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）.A.24

+B.28+C.44+D.48+【答案】B【解析】【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体

积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，所以该几何体的体积为2114421282V=+=+.故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力

，属于中档题.5.函数()()sinfxAx=+其中0,2A的图象如下图所示，为了得到()fx图象，则只需将()sin2gxx=的图象（）A.向右平移6个长度单位B.向左平移6个长度单位C.向右平移12

个长度单位D.向左平移12个长度单位【答案】B【解析】【分析】根据图像分别求出,A，再根据图像过点(,0)3，结合的范围，求出的值，即可得()fx的解析式，根据平移变换的规则即可得答案.【详解】根据图像可得A=1，74()123T=−=，所以22T==，所以()sin(2

)fxx=+，又图像过点(,0)3，所以2sin()03+=，解得()221,3kkZ=+−因为2，所以3=所以()sin(2)sin[2()]36fxxx=+=+，所以只需将()sin2gxx=的图像向左平移6个长度单位即可得到()fx的图像.故

选：B【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平移变换，关键点在于根据特殊点及范围，求出的值，考查分析化简的能力，属基础题.6.从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）A.240万元B

.540万元C.720万元D.900万元【答案】B【解析】【分析】由茎叶图图计算10天销售总额，即可估算十月份的销售总额.【详解】由茎叶图知，10天销售总额为891114162020223030180+

++++++++=(万元)，∴十月份销售总额约为1803540=(万元)故选：B7.函数()yfx=满足(4)()fxfx+=，当(2,2x−时，2()1fxx=−，则()fx在[0,2020]上零点值

的个数为（）A.1009B.1010C.2019D.2020【答案】B【解析】【分析】由已知推得()fx是周期为4的函数，又由(2,2x−的函数解析式知区间内有两个零点，结合周期性即可求[0,2020]上零点的个数.【详解】由(4)()fxf

x+=可得()fx是周期为4的函数，又(2,2]x−时，2()1fxx=−，当1x=或1x=−时，0y=，∴()fx在(((0,4,4,8,8,122016,2020上均有两个零点，所以在[0,2020]上

共有1010个零点.故选：B【点睛】关键点点睛：由函数的周期性，结合函数单位周期内零点的位置特征，即可判断相应区间的零点个数.8.函数ππlncos22yxx=−的图象是()A.B.C.D.

【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质．9.数列na满足1112,()1nnnaaanNa+++==−，则1232021...aaaa的值为（）A.2B.-6C.3D.1【

答案】A【解析】【分析】由已知递推关系可得2345,,,aaaa且4nnaa+=，即数列的周期为4，即可求1232021...aaaa.【详解】由已知得：2345113,,,2,...23aa

aa=−=−==，即有4nnaa+=，∴123202015511[2(.3..)()]2223aaaa=−−=，故选：A10.,AB是过抛物线24xy=的焦点的动弦，直线12,ll是抛物线两条分别切于,AB的切线，则12,ll的交点的纵坐标为（）A.1−B.4−C.14

−D.116−【答案】A【解析】【分析】应用特例：若直线AB垂直于y轴，可得,AB坐标，进而确定直线12,ll的方程，求交点即可.【详解】若直线AB垂直于y轴，则(2,1),(2,1)AB−，∴过点A的切线方程为1(2)yx−=−+，即10xy++=

，同理，过点B的切线方程为10xy−−=，∴联立切线方程有1010xyxy++=−−=，可得交点为(0,1)−.故选：A11.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:①()0

AHACAB−=；②0ABBCABC为锐角三角形；③AHACAHsincB=；④22()2cosBCACABbcbcA−=+−其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由向量的数量积的几何含义及运算法则，判断各项的正误即可.【详解】由AH为BC边上的

高，∴AHBC⊥，而BCACAB=−，故()0AHACAB−=，①正确；0ABBC知：向量,ABBC的夹角为钝角，即BÐ为锐角，而无法判断ABC是否为锐角三角形，②错误；|cossinsin|AHACACCAHbCcBAH=

==，③正确；2222()2cosBCACABBCabcbcA−===+−，④正确.故选：C【点睛】关键点点睛：综合向量与三角形相关性质，利用向量垂直判定、向量夹角公式、数量积的几何意义判断各命题的正误.12.已知函数32()(,,)fxxaxbxcab

cR=+++，若函数()fx在区间[1,0]−上是单调减函数，则22ab+的最小值为（）A.45B.75C.95D.115【答案】C【解析】【分析】由题意可知在[1,0]−上有()0fx恒成立，即可得关于,ab的不等式组，由此可得相应可行域，结合22ab+的几何含义，即可求其最小值.【

详解】由题意知：在[1,0]−上，2()320fxxaxb=++恒成立，∴(1)320(0)0fabfb−=−+=，即由不等式组可得如下可行域，∴22ab+为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O到230−−=ab距离的平方，故2222|3|9215d

−==+，故选：C【点睛】关键点点睛：由函数在区间内单调递减知其导函数在该区间内恒小于等于0，得到关于,ab的不等式组，结合目标式，应用线性规划思想求最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.设函数()()212log,0log,0xxfxxx=−,若()()fafa−，则实数a的取值范围是________．【答案】()()101,−+U，【解析】【分析】根据分段函数的定义域，对a进行分类讨论，列出不等式组，由此即可求出结果.【详解】由题意得2120logl

ogaaa或()()1220loglogaaa−−解得1a或10a−.故答案为：()()101,−+U，.【点睛】本题主要考查了分段函数的概念和性质，本题属于中档题.14

.已知()cos,sina=，()cos,sin=bββ，a与b之间有关系式3kabakb+=−，其中0k．则ab取最小值时，a与b的夹角为_________.【答案】3【解析】【分析】先根据题中条件，由向

量数量积的运算法则，得到214kabk+=，根据基本不等式求出其最小值，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为()cos,sina=，()cos,sin=bββ，所以1a=，1=b，又3k

abakb+=−，所以2222222363kakabbakabkb++=−+，则2221363kkabkabk++=−+，即2822kabk=+，因为0k，所以211112444162kkabkk+==+=，当且仅当144kk=，即1k=（负值舍去）

时，等号成立.故ab的最小值为12，此时1cos2abab==，因为0,，所以3=.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和

的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.

设曲线1*()nyxnN+=在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax=，则1299aaa+++的值为.【答案】-2【解析】由于y′1x=＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝n1n+

，∴an＝lgn1n+，∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg129923100＝lg1100＝－2.答案：－216.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计.

设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于______________.【答案】33【解析】【分析】【详解】依题意，1R为这个正四面体框架的棱切球半径，2R为外接球半径.不妨设正四面体边长为1，易知，棱切球

的直径即为正四面体对棱之间的距离22，所以，124R=.又外接球的半径为264R=，所以，1233RR=.故答案为:33三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在数列na中，11a=，122nnnaa+=+；

（1）设1.2nnnab−=证明：数列nb是等差数列；（2）求数列na的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）12nnan−=.【解析】【分析】（1）利用递推关系式可知11122nnnnaa+−−=，根据等差数列的概念即

可证明；（2）利用（1）的结论，先求出数列nb的通项公式，然后解出na的通项公式.【详解】解：（1）证明：122nnnaa+=+，11122nnnnaa+−=+，12nnnab−=，则112nnnab++=，11nn

bb+−=，数列nb是以11012ab==为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知：()111nbnn=+−=．12nnan−=，12nnan−=．【点睛】本题考查等差数列的证明，考查根据递推关系式求

数列的通项公式，较简单.18.如图，三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点．(Ｉ)证明：平面BDC⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【答案】1:1【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥1C

C,BC⊥AC，1CCACC=,∴BC⊥面11ACCA,又∵1DC面11ACCA，∴1DCBC⊥,由题设知01145ADCADC==,∴1CDC=090,即1DCDC⊥,又∵DCBCC=,∴1

DC⊥面BDC,∵1DC面1BDC，∴面BDC⊥面1BDC；（Ⅱ）设棱锥1BDACC−的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121132+=12，由三棱柱111ABCABC−的体积V=1，∴11():VVV−=1:1，∴平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比

为1:119.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD

=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）【答案】2（米/秒））【解析】【分析】【详解】在中，∵，，∴，∴，∴.在中，，∴在中，.∴，航模的速度米/秒．20.设椭圆C：()222210xyabab+=过点（0，4

），离心率为35.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）2212516xy+=；（2）36,25−.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出b=4，再根

据35cea==，代入即可求解.（2）直线方程为()435yx=−，将直线方程与椭圆方程联立消y，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）将（0，4）代入C的方程得2161b=，∴b=4，又35cea==得222925aba−=，即2169125a−=，

∴A=5，∴C的方程为2212516xy+=．（2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435yx=−，设直线与C的交点为A()11,xy，B()22,xy，将直线方程()435yx=−代入C的方程，得()22

312525xx−+=，即2380xx−−=，AB的中点坐标12322xxx+==，()1212266255yyyxx+==+−=−，即中点为36,25−．【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标

准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.21.已知函数()()21ln12fxaxxax=+−+．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()0fx对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对于任意正整数m，n，不

等式()()()()111ln1ln2lnnmmmnmmn+++++++恒成立．【答案】（1）当01a时，函数()fx的单调增区间是()0,a，()1,+，单调减区间是(),1a；当1a=时，函数()fx的单调增区间是()0,+；

当1a时，函数()fx的单调增区间是()0,1，(),a+，单调减区间是()1,a．（2）1,2−−；（3）答案见解析．【解析】【分析】【详解】（1）()()2(1)(1)()1axaxaxxafxxaxxx−++−−=+−+==，当0a时，若01x，则

()0fx，若1x，则()0fx，故此时函数()fx的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+；当01a时，所以函数()fx的单调增区间是()0,a，()1,+，单调减区间是(),1a；当1a=时，()()210x

fxx−=，函数()fx的单调增区间是()0,+；当1a时，同01a可得，函数()fx的单调增区间是()0,1，(),a+，单调减区间是()1,a．（2）由于，显然当0a时，()10f，此时()0fx不是恒成立的，当0a时，函数()fx

在区间()0,+的极小值，也就是最小值即是，此时只需()10f即可．解得12a−，故得实数a的取值范围是1,2−−．（3）当12a=−时，()2111ln0222fxxxx=−+−，等号当且仅当1x=成立．这个不等式即2lnxxx−，当1x时，可以变凑为()2

111ln1xxxxx=−−，在上面不等式中分别令1xm=+，2m+，，mn+，()()()()()()()()111111ln1ln2ln1121mmnmmmmmmnmn++++++++

+++++−+()111111111121nmmmmmnmnmmnmmn=−+−++−=−=++++−+++所以()()()()111ln1ln2lnnmmmnmmn+++++++22.在平面直角坐标系xO

y中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos1cos=−，直线l的参数方程为2cos(1sinxttyt=+=+为参数，0≤α<π）.（1）若34=，求l的普通方程，直

接写出C的直角坐标方程；（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|.【答案】（1）直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，曲线C的直角坐标方程为y2＝2x；（2）26.【解析】【分析】（1）当34=，即222(

212xttyt=−=+为参数），消去参数，即可得到直线的直角坐标方程，化简曲线C的极坐标方程22sin2cos=，结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程，得到1222(sincos)sintt−+

=−，结合题意，求得6t=，即可求得AB的长.【详解】（1）由题意，直线l的参数方程2cos(1sinxttyt=+=+为参数），当34=，即222(212xttyt=−=+为参数），

可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，又由曲线C的极坐标方程22cos1cos=−，即22cossin=，即22sin2cos=，又由cossinxy==，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.（2）把直线l的参数方程2cos(

1sinxttyt=+=+为参数），代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t（sinα－cosα）－3＝0（*），设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则1222(sincos)sintt−+=−.∵P

（2，1）为AB的中点，∴P点所对应的参数为122sincos02sintt+−=−=，∴sinα－cosα＝0，即4=.则（*）变为12t2－3＝0，此时t2＝6，解得6t=，所以1226ABtt=−=.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方

程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知()1fxxxm=++−.（1）若()2fx，求m的取

值范围.（2）已知1m>，若()1,1x−使()23fxxmx++成立，求m的取值范围.【答案】(1)m1或3m−.(2)31(1)2x．【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式，可得()1f

xm+，求解12m+即可得出m的取值范围；（2）()1,1x−使()23fxxmx++成立等价于()23fxxmx++即()212mxx−+成立，再构造()221xgxx+=−，然后利用基本不等式即可求m的取值范围.详解：（1）∵()

11fxxxmm=++−+∴只需要12m+∴12m+或12m+−∴m的取值范围为是1m或3m−.（2）∵1m∴当()1,1x−时，()1fxm=+∴不等式()23fxxmx++即22mxmx++∴()212mxx−+，221xmx+

−，令()()()()2212132312111xxxgxxxxx−−−++===−+−−−−.∵012x−∴()31231xx−+−（当13x=−时取“=”）∴()min232gx=−∴232m−.点睛：

含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合

与转化化归思想方法的灵活使用.