【文档说明】湖北省云学联盟部分重点高中2024-2025学年高二上学期9月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，2.862 MB，由小赞的店铺上传

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2024年湖北云学部分重点高中高二年级9月联考数学试卷命题学校：钟祥市第一中学命题人：王金涛､张倩､邵琪审题人：范德宪考试时间：2024年9月11日15：0017−：00时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()()1i2im++在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（）A.(),2−B.()2,+C.(),2−−D.()2,2−【答案】B【解析】【分析】化简得()()1i2i(2)(2)i

mmm++=−++，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】解：因为()()1i2i(2)(2)immm++=−++，又因为此复数在第二象限，所以2020mm−+，解得2m.故选：B.2.平行六面体1111ABCDABC

D−中，O为11AC与11BD的交点，设1,,ABaADbAAc===，用,,abc表示BO，则（）A.12BOabc=−+B.12BOabc=+−C.12BOabc=−++D.1122BOabc=−++【答案】D【解析】【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即

可求解；【详解】如图：由平行六面体的性质可得()()11111111122222BOBBBOAABDAAADABcbaabc=+=+=+−=+−=−++，故选：D.3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收

眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）A.2400B.1520C.1530D.2410【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用棱台

的体积公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，则塔楼主体的体积约为1(6414464144)1

515203V=++=立方米.故选：B.4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）A.712B.12C.

512D.13【答案】C【解析】【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312+=．故选：C.5.已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1nnmn=−=−

=，若123,,nnn不能构成空间的一个基底，则m=（）A.3B.1C.5D.7【答案】B【解析】【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若123,,nnn不能构成空间的一个基底，123,,nnn共面，存在,，使123nnn=+，即1

093212m−=+=−+=+，解得131m=−==，故选：B.6.设ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且222ababc++=，若角C的内角平分线2CM=，则ACCB的最小值为（

）A.8B.4C.16D.12【答案】A【解析】【分析】先根据222ababc++=，结合余弦定理求C，再根据ABCACMBCMSSS=+，结合面积公式得到2()4abbaab=+，进而求出ab的最小值，再根据数量积定义求ACCB.【详

解】因为222ababc++=，所以2221cos22abcCab+−==−，所以2π3C=，由ABCACMBCMSSS=+，所以12π1π1πsinsinsin232323abbCMaCM=+，化简得到22abba=+，所以2()4abbaab=+，

则16ab，当且仅当4ab==时，等号成立，所以π1cos832ACCBACCBab==，所以ACCB的最小值为8.故选：A．7.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数

，用y表示绿色骰子的点数，用(),xy表示一次试验结果，设事件:8Exy+=；事件F：至少有一颗点数为5；事件:4Gx；事件:4Hy.则下列说法正确的是（）A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件C.事件E与事件G相互独立D

.事件G与事件H相互独立【答案】D【解析】【分析】分别写出事件E、F、G、H所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A，B；根据独立事件的定义判断C，D.【详解】解：由题意可知{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6

,2)}E=；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}F=；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6

,3),(6,4),(6,5),(6,6)}G=；{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(

4,2),(4,3),(4,4),H=(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；对于A，因为()()3,5,5,3EF=，所以事件E与事件F不是互斥事件，故错误；对于B，因为(5,1),(5,2),(5,3),(}){5

,4),(5,5,(5,6),(6,5)GF=，所以事件G与事件F不是互斥事件，故错误；对于C，因为{(5,3),(6,2)}EG=，5121(),()36363PEPG===，21()()()3618PE

GPEPG==，所以事件E与事件G不相互独立，故错误；对于D，因为{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}GH=，242121(),()363363PHPG====，82()()

()369PHGPHPG===，所以事件E与事件G相互独立，故正确.故选：D.8.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点，另一

只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（）A.62B.63C.6D.12【答案】A【解析】【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.【详解】应用圆柱的特

征取上下底面的圆心1,,OOBO为,zy轴，再过O作OB的垂线为x轴，如图建系，过Q向圆O作垂线垂足为1Q，1πBQ=，设圆O半径为,2π12πrr=，所以6r=，所以111π6π,6BQBOQBOQ===，则()()13,33,0,3,

33,3QQ−−，同理，过P向圆O作垂线垂足为𝑃1，则()()13,33,0,3,33,9PP−−−−，所以()()2223309362PQ=+++−=.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据12,,,nxxx，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为1111,,,abcd.由这组数据得到新样本数据12,,,nyyy，其中()220

241,2,,iiyxin=−=，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为2222,,,abcd，则（）A.2122024aa=−B.21bb=C.212cc=D.212dd=【答案】ACD【解析】【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，平均数

2122024aa=−，中位数2122024bb=−，标准差212cc=，极差212dd=，所以ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD10.设,,OxOyOz是空间内正方向两两夹角为60o的三条数轴，向量123,,eee分别与x轴

､y轴.z轴方向同向的单位向量，若空间向量a满足()123,,axeyezexyz=++R，则有序实数组(),,xyz称为向量a在斜60o坐标系Oxyz（O为坐标原点），记作(),,axyz=，则下列说法正确的有（）A.已知()1,2,3a=

，则5=aB.已知()()1,2,1,2,4,2ab=−=−−，则向量a∥bC.已知()()3,1,2,1,3,0ab=−=，则0ab=D.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1OAOBOC===，则三棱锥OABC−的外接球体积68V=【

答案】AB【解析】【分析】先明确1231eee===，12132312eeeeee===.根据()22aa=求a，判断A的真假；根据2ba=−判断B的真假；计算ab判断C的真假；判断三棱锥OABC−的形状，求其外接球半

径及体积，判断D的真假.【详解】由题意：1231eee===，12132312eeeeee===.对A：因12323aeee=++()2212323aeee=++222123121323494612eeeeeeeee=+++++149236=+++++

25=，所以5a=.故A正确；对B：因为1232aeee=−++，123242beee=−−，所以2ba=−，所以//ab.故B正确；对C：12332aeee=−+，123bee=+，因为()()12312323abeeeee=−++22112122132339326eeeeeeeeee

=+−−++91331322=+−−++8=0，故C错误；对D：由题意，三棱锥OABC−是边长为1的正四面体.如图：为过O作OE⊥平面ABC，垂足为E，则E在ABCV的中线AD上，且:2:1AEED=，因

为34ABCS=!，32AD=，所以33AE=，16133OE=−=.设正四面体OABC−外接球球心为G，则点G在OE上，且G亦为正四面体OABC−内切球球心，设GOR=，GEr=.则226313RrRr+==

+64=R，所以正四面体OABC−外接球的体积为：34π3VR=346ππ38R==.故D错误.故选：AB11.在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆直径，圆锥的底面半径为2，母线长为2，点C为PA的中点，圆锥底面上点M在以AO为直径的圆上（不含AO､两点），点H在PM上，且

PAOH⊥，当点M运动时，则（）A.三棱锥MPAO−的外接球体积为定值B.直线CH与直线PA不可能垂直C.直线OA与平面PAM所成的角可能为60oD.2AHHO+【答案】AD【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM⊥平面POM，由此证明AMPM⊥，再证明点C为三棱锥MPAO−的外接

球球心，判断A，证明PA⊥平面OHC，由此证明PACH⊥，判断B；证明OH⊥平面PAM，由此可得OAH为直线OA与平面PAM所成的角，解三角形求其正弦，判断C，证明OHAH⊥，解三角形求AHHO+，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,

,,,,OMAMAHOCCMCH，的对于A，易知⊥PO平面AMB，AM平面AMB，所以AMPO⊥，因为点M在以AO为直径的圆上（不含A、O），所以AMOM⊥，OMPOO=，OM平面POM，PO平面POM，所以AM⊥平面POM，又PM平面

POM，所以AMPM⊥，又POAO⊥，C为PA的中点，2PA=，所以1COCACPCM====，所以点C为三棱锥MPAO−的外接球的球心，所以三棱锥MPAO−的外接球的半径为𝑟=1，所以三棱锥MPAO−的外接球体积为定值，A正确；由已知，POAO⊥，2PA=，2AO=，

所以()22222POAO=−==，所以POA为等腰直角三角形，连接OC，又C为PA的中点，故PAOC⊥，又PAOH⊥，OHOCO=，OH平面OHC，OC平面OHC，则PA⊥平面OHC，又CH平面OHC，所以PACH

⊥，故B错误；因为AM⊥平面POM，又OH平面POM，所以AMOH⊥，又PAOH⊥，PAAMA=，AM平面PAM，PA平面PAM，则OH⊥平面PAM，所以OA在平面PAM上的射影为AH，所以OAH为直线OA与平面PAM所成的角，设OMx

=，则22PMx=+，又OHPMOMPO=，所以222xOHx=+，所以2sin2OHxOAHOAx==+，令60OAH=，则2322xx=+，解得6x=，即6OM=，与OMOA矛盾，C错误；对于D中，因为OH⊥平面PAM，

AH平面PAM，所以OHAH⊥，又222xOHx=+，2OA=，所以22222222xAHxx=−=++，所以()2222222222xxAHHOxxx++=+=+++，02x<<，由基本不等式可得222222xx++，即2222xx++，

所以2AHHO+，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知3i1−是关于x的实系数方程2320xpxq++=的一

个根，则实数p的值为__________.【答案】3【解析】【分析】将3i1−代入方程2320xpxq++=求解即可.【详解】3i1−代入方程2320xpxq++=，得()()233i123i10pq−+−+=，化简得()()242618i0pqp−−++−=，故

24206180pqp−−+=−=，解得330pq==，故答案为：313.已知向量,ab满足()2,1,222,1abab==+=，则cos,ab=______.【答案】18##0.125【解析】【分析】先利用坐标运算

求解23ab+=，根据数量积的运算律结合模的公式列式求得14ab=，从而利用数量积的定义求解即可.【详解】因为()222,1ab+=，所以()2222213ab+=+=，又2,1ab==，所以()2222244843ababababab+=+=++=+=

，所以14ab=，所以1cos,8ababab==.故答案为：1814.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2223sin2abcaCabb−−−−=，且ABCV的面积为()34abc++，则2

ab+的最小值为______.【答案】622+【解析】【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得π3C=，即可利用面积可得()222230atat−++−=有根，即可利用判别式求解.【详解】由2223sin2abcaCabb−−−−=可得222223sin22abCbab

abc−−=−−，即22223s22cionsabCabCbaabc==−+−，由于0ab，故cos13sinCC−=π1sin62C−=，由于()0,πC，故ππ5π,666C−−，因此ππ66

C−=，故π3C=，2222221cos22abcCabcabab+−==+−=，ABCV的面积为()34abc++，故()31sin42abcabCabcab++=++=，由于2cabababb=−−−，2cababba

a=−−−，故26ab+，将cabab=−−代入222abcab+−=可得()222abababab+−−−=，化简得()32abab+=+，将其代入()32abab+=+，且可得()222230atat−++−=，则()()2Δ448230t

tt=++−−，解得622t+，或0622t−，（舍去）故最小值为622+.故答案为：622+【点睛】关键点点睛：由()32abab+=+可得()222230atat−++−=有实数根，利用判别式求解.四､解

答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()2coscos0cbAaB−−=（1）求A；（2）若点M在B

C上，且满足,2BMMCAM==，求ABCV面积的最大值.【答案】（1）π3（2）433【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可；（2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.【小问1详解】()2coscos

0cbAaB−−=，由正弦定理得()2sinsincossincos0CBAAB−−=，2sincos(sincoscossin)0CABABA−+=，2sincossin()0CAAB−+=，2s

incossinCAC=，()0,πC，sin0C，1cos2A=，()0,πA，π3A=.小问2详解】BMMC=，1()2AMABAC=+，2221(2)4AMABABACAC=++，又2AM=，221π4(2cos)43cbbc=++，22162

3cbbcbcbcbc=+++=，163bc，当且仅当433bc==时，等号成立，ABC的面积1116343sin22323SbcA==，即ABCV面积的最大值为433.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络

“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.【（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的

学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在)70,80内的平

均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,mxsnxs.记两组数据总体的样本平均数为w，则总体样本方差()()222221122mnssxwsxwmnmn=+−++−++）【答案】（1）平均数为71

，众数为75.（2）88.（3）平均数为76，方差为12.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.（2）依题意可知题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3

）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05，平均数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=+

++++=.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=，第90%分位数落在第

5组,设为x，则()0.70800.0250.90x+−=，解得88x=.“防溺水达人”的成绩至少为88分.【小问3详解】60,70)的频率为0.15，70,80)的频率为0.30，所以60,70)的频率与60,8

0)的频率之比为0.1510.150.303=+)70,80的频率与)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设)70,80内的平均成绩和方差分别为222,xs，依题意有212736733x=+，解得276,x=(

)222212299(6773)767333s=+−++−，解得2212s=，所以)70,80内的平均成绩为76，方差为12.17.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，11,

2ADAAAB===，点E在棱AB上移动.（1）当点E在棱AB的中点时，求平面1DEC与平面1DCD所成的夹角的余弦值；（2）当AE为何值时，直线1AD与平面1DEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

【答案】（1）66（2）当2AE=时，直线1AD与平面1DEC所成角的正弦值最小，最小值为105【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1DEC的一个法向量，平面1DCD的一个法向量，利用向量法可求平面1DEC与平面1D

CD所成的夹角的余弦值；（2）设AEm=，可求得平面1DEC的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得24sin2(2)10mm−=−+，可求正弦值的最小值.【小问1详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线为坐标轴建立

如图所示的空间直角坐标系，当点E在棱AB的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)ECDAD，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)EDECDA=−−=−=

，设平面1DEC的一个法向量为(,,)nxyz=，则1·0·0nEDxyznECxy=−−+==−+=，令1x=，则1,2yz==，所以平面1DEC的一个法向量为(1,1,2)n=，又平面1DCD一个法向量为(1,0,0)DA=，

所以·16cos,61141·DAnDAnDAn===++，所以平面1DEC与平面1DCD所成的夹角的余弦值为66；小问2详解】设AEm=，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0

,1)EmCDAD，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)EDmECmmDA=−−=−−=，设平面1DEC的一个法向量为(,,)nxyz=，的【则1·0·(2)0nEDxmyznECxmy=−−+=

=−+−=，令1y=，则2,2xmz=−=，所以平面1DEC的一个法向量为(2,1,2)nm=−，设直线1AD与平面1DEC所成的角为，则1221|||22|4sin||||(2)14112(2)10nDAmmnDAmm−+−===−+++−+，令4[2,

4]mt−=，则222211sin81812902(2)102818218()981tttttttt====−+−+−+−+，当2t=时，sin取得最小值，最小值为105.18.甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三

人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.（1）求甲在一局中

得2分的概率1P；（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2P；（3）求游戏经过两局就结束的概率3P.【答案】（1）13（2）281（3）49【解析】【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可

求解；（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；（3）游戏经过两局就结束总共有4

种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.【小问1详解】根据题意，画出树状图，如图：所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：（剪刀、

剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率191273P==.【小问2详解】游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的

情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、第二局：

（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）此时概率为331272781=种情况，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、

剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、此时概率为331272781=，综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2112818181P=+=.【小问3详解】游戏经过两局就结束总

共有4种情况：①仅1人得3分，记事件为A，则()2238127PA==；②有2人得分为3分，记事件为B，()33232272727PB==③仅1人得4分，记事件C：一人得4分，另两人各负2分：3313272727

=，一人得4分，一人得负2分，一人得1分：334322272727=，一人得4分，另两人各1分：33232272727=，()142727272727PC=++=；④有2人分别得4分，记为事件D：则()3313272727

PD==综上所述：游戏经过两局就结束的概率322714272727279P=+++=.19.在空间直角坐标系Oxyz−中，己知向量(),,uabc=，点()0000,,Pxyz.若直线l以u为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示为()0

000xxyyzzabcabc−−−==；若平面以u为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=.（1）已知直线l的标准式方程为12123xyz−−==−，平面1的点

法式方程可表示为350xyz+−+=，求直线l与平面1所成角的余弦值；（2）已知平面2的点法式方程可表示为2320xyz++−=，平面外一点()1,2,1P，点P到平面2的距离；（3）（i）若集合{(,,)|||||2,||1}Mxyzxyz=+，记集合M中所有

点构成的几何体为S，求几何体S的体积；（ii）若集合(){,,|2,2,2}Nxyzxyyzzx=+++.记集合N中所有点构成的几何体为T，求几何体T相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.【答案】（1）31010（2）142（3）（i）16；（ii）2π3【

解析】【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点A然后利用向量的投影计算即可；（3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面

积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角；【小问1详解】由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,3,2m=−，平面1的一个法向量为()3,1,1n=−，设直线l与平面1所成角为，则有·210sin1

085mnmn===，所以310cos10=，直线l与平面1所成角的余弦值为31010.【小问2详解】由题可知平面2的法向量为()22,3,1n=，且过点()0,0,2A，因为()1,2,1P,所以()1,2,1AP=−

，所以点P到平面2的距离为22·714214nAPn==.【小问3详解】（i）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011xyxyxyxyxyxyxyxyzz+=−=−

+=−−===−，然后得到几何体S为几何体S是底面边长为22的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为2222216=，（ii）由（i）可知，(){,,|2,2,2}Nxyzxyyzzx=+++的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二

面角即可，此时0,0,0xyz，得(,,)2,2,2,0,0,0Nxyzxyyzzxxyz=+++，画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面2,2xyyz+=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()(

)231,1,0,0,1,1nn==，所以其二面角的余弦值为2323·12nnnn−=−，所以二面角为2π3【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一

般直接建立方程求解即可.