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专练17函数、导数及其应用综合检测授课提示：对应学生用书33页[基础强化]一、选择题1．函数f(x)＝x－1x是()A．奇函数，且值域为(0，＋∞)B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为(0，＋∞)D．偶函数，且值

域为R答案：B解析：因为f(－x)＝－x＋1x＝－x－1x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(1)＝0，所以排除A，故选B.2．若直线x＝a(a>0)分别与曲线y＝2x＋1，y＝x＋lnx相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．1B．2C．2

D．3答案：B解析：由题可得A(a，2a＋1)，B(a，a＋lna)，∴|AB|＝|2a＋1－(a＋lna)|＝|a＋1－lna|.令f(x)＝x＋1－lnx(x>0)，则f′(x)＝1－1x，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1

，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为2>0，∴|AB|＝|a＋1－lna|＝a＋1－lna，其最小值为2.3．已知a＝π0.2，b＝logπ2，c＝cos2，则()A．c<b<aB．b<c<aC．c<a<bD．a<c<b答

案：A解析：由指数函数y＝πx在R上单调递增，可得a＝π0.2>π0＝1，由对数函数y＝logπx在(0，＋∞)上单调递增，知0＝logπ1<b＝logπ2<logππ＝1，即0<b<1，因为π2<2<π，而函数y＝cosx在π2，π

上单调递减，所以－1＝cosπ<c＝cos2<cosπ2＝0，即－1<c<0，所以c<b<a，故选A.4．函数f(x)＝ln2x－1x的图象在点12，f12处的切线方程为()A．y＝6x－5B．y＝8x－6C．y＝4x－4D．y＝10x－7答案：A

解析：f12＝ln1－2＝－2，因为f′(x)＝1x＋1x2，所以f′12＝6，所以切线方程为y－(－2)＝6x－12，即y＝6x－5，故选A.5．函数f(x)＝cosx＋()x＋1sinx＋1在区间[]0，2π的最小值、最大值分别

为()A．－π2，π2B．－3π2，π2C．－π2，π2＋2D．－3π2，π2＋2答案：D解析：因为f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，所以f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)·cosx．因为x∈[

0，2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈[0，π2)∪(3π2，2π]；当f′(x)<0时，解得x∈(π2，3π2).所以f(x)在[0，π2)上单调递增，在[π2，3π2]上单调递减，在(3π2，2π

]上单调递增．又f(0)＝2，f(π2)＝π2＋2，f(3π2)＝－3π2，f(2π)＝2，所以f(x)的最大值为π2＋2，最小值为－3π2.故选D.6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′

(x)，若对任意的正实数x，都有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，且f(2)＝1，则使x2f(x)<2成立的实数x的集合为()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－2，2)C．(－∞，2)D．(2

，＋∞)答案：C解析：设h(x)＝x2f(x)，则h′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]，因为x>0时，都有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，所以h′(x)>0，所以h(x)＝x2f(x)在(0

，＋∞)上单调递增，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)在(－∞，0)上单调递增．又函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x

)，所以h(x)＝x2f(x)在R上单调递增．因为f(2)＝1，所以h(2)＝2f(2)＝2，所以x2f(x)<2即h(x)<h(2)，得x<2，故选C.7．[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝c

osx＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝()A．－1B．12C．1D．2答案：D解析：方法一∵f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上恰有一个交点，

令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－cosx＋a－1，∴h(x)在(－1，1)上恰有一个零点．又易知h(x)为(－1，1)上的偶函数，∴h(0)＝0，即a－2＝0，∴a＝2.故选D．方法二当a＝－1时，f(x)－g(x)＝－x2－cosx－2，当x∈(－1

，1)时，f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点，故A错误．当a＝12时，f(x)－g(x)＝12x2－cosx－12，当x∈(－1，1)时，12x2－12<0，－c

osx<0，∴f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点，故B错误．当a＝1时，f(x)－g(x)＝x2－cosx，令m(x)＝f(x)－g(x)，则m(x)为偶函数，且在(－1，0)上单

调递减，在(0，1)上单调递增．又m(0)＝－1<0，m(1)＝1－cos1>0，m(－1)＝1－cos1>0，由函数零点存在定理可知m(x)在(－1，0)和(0，1)上各有1个零点，即曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(

－1，1)上有2个交点，故C错误．当a＝2时，f(x)－g(x)＝2x2－cosx＋1.令n(x)＝f(x)－g(x)，则n(x)为偶函数，且在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，又n(0)＝0，∴曲线y＝f

(x)与y＝g(x)在(－1，1)上只有1个交点，故D正确．故选D.方法三∵f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上恰有一个交点，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－cosx＋a－1，∴h(x)在

(－1，1)上恰有一个零点．h′(x)＝2ax＋sinx，令m(x)＝2ax＋sinx，则m′(x)＝2a＋cosx，当a≥－cos12时，m′(x)>0在(－1，1)上恒成立，则h′(x)在(－1，1)上单调递增．又h′(0)＝0，∴当x∈(－1，0)时，h

(x)单调递减；当x∈(0，1)时，h(x)单调递增，∴h(x)在x＝0处取得极小值也是最小值，∴h(0)＝0，即a－2＝0，∴a＝2.－1<－cos12，下面分析a＝－1时曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的交点情况．当a＝－1时，f(x)－g(x)＝－x2－cosx－2，

当x∈(－1，1)时，f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点．结合选项可知，D正确．故选D.8．(多选)[2024·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则()A．x＝3是f(x)的极小值点B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1

<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)答案：ACD解析：由题可得f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3x2－12x＋9，令f′(x)>0，即3x2

－12x＋9>0，得x<1或x>3；令f′(x)<0，得1<x<3，所以f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝3是f(x)的极小值点，A正确．当0<x<1时，0<x2<x<1，所以f(x)>f(x2)，B错误．当1<x<2时，1<2x－

1<3，因为f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4<f(2x－1)<0，C正确．f(2－x)＝(2－x－1)2(2－x－4)＝(x－1)2·(－x－2)，所以f(2－x)－f(x)＝(x－1)2(－x－2－x＋4)＝(x－1)2(－2x＋2)，令(x－1)2(－2x＋2)>0，得x<1

，所以当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)成立，D正确，故选ACD.9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝2，其导函数f′(x)满足f′（x）－f（x）x－2＞0.若函数g(x)满足

exg(x)＝f(x)，则下列结论正确．．的是()A．函数g(x)在(2，＋∞)上单调递增B．x＝2是函数g(x)的极小值点C．x≤0时，不等式f(x)≤2ex恒成立D．函数g(x)至多有两个零点答案：ABD解析：∵

exg(x)＝f(x)，∴g(x)＝f（x）ex，则g′(x)＝f′（x）－f（x）ex.由已知可得，当x>2时，f′(x)－f(x)>0，∴g′(x)>0，故y＝g(x)在(2，＋∞)上单调递增，选项A正确；当x<2时，f′(x)－f(

x)<0，∴g′(x)<0，故y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，故x＝2是函数y＝g(x)的极小值点，故选项B正确；由y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，则y＝g(x)在(－∞，0]上单调递减，由g(0

)＝f（0）e0＝2，得x≤0时，g(x)≥g(0)，故f（x）ex≥2，故f(x)≥2ex，故选项C错误；若g(2)<0，则y＝g(x)至多有2个零点，若g(2)＝0，则函数y＝g(x)有1个零点，若g(2)>0，则函数y＝g(

x)没有零点，故选项D正确．二、填空题10．已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在点(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．答案：12解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线f(x)在点(0，f(0)

)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.11．已知函数f(x)＝－x

3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________．答案：－4解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意得f′(2)＝0，得a＝3.∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－

1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时f(m)min＝f(0)＝－4.12．设函数f(x)＝（x－a）2，x≤0x＋1x，x>0.(1)当a＝12时，f(x)的最小

值是________；(2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是________.答案：(1)14(2)[0，2]解析：(1)当a＝12时，若x≤0，则f(x)＝(x－12)2≥－122＝14，若x>0，则f(x)＝x＋1x≥2x·1x＝2

，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为14.(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，若a<0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．若a≥0时，则当x≤0时，函数f(x)＝(x－a)2为减函数，则当x≤0时，函

数f(x)的最小值为f(0)＝a2，要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a2≤2，即0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2].[能力提升]13．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为

()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案：A解析：f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x

2－x－1)ex－1，∴f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴当x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时f(x)单调递增，f(x)在(－2，1)上单调递减，∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.14．若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切

线，则()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea答案：D解析：方法一在曲线y＝ex上任取一点P()t，et，对函数y＝ex求导得y′＝ex，所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et()x－t，即y＝etx＋()1－tet，由题意可知，点()a，b在直线y＝

etx＋()1－tet上，可得b＝aet＋()1－tet＝()a＋1－tet，令f()t＝()a＋1－tet，则f′()t＝()a－tet.当t<a时，f′()t>0，此时函数f()t单调递增，当t>a时，f′()t<0，此时函数f()t单调递减，所以，

f()tmax＝f()a＝ea，由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f()t的图象有两个交点，则b<f()tmax＝ea，当t<a＋1时，f()t>0，当t>a＋1时，f()t<0，作出函数f()t的图象如下图所示：由图可知，当0<b<ea时，直线y＝b与曲线y＝f(

)t的图象有两个交点．故选D.方法二画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点()a，b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0<b<ea.故选D.15．[2024·全国甲卷(理)]设函数f(x)＝ex＋2sinx1＋x2，则

曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A．16B．13C．12D．23答案：A解析：因为f(x)＝ex＋2sinx1＋x2，所以f′(x)＝（ex＋2cosx）（1＋x2）－2x（ex＋2sinx）（1＋x

2）2，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－13.则所求三角形的面积S＝12×1×－13＝16.故选A.16．已知函数f(x)＝x(lnx－

ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．答案：0，12解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，其

等价于lnx＋1－2ax＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝2ax－1的图象有两个交点．以下研究临界状态：①如图所示．当函数h(x)＝lnx与函数g(x)＝2ax－1的图象相切时，设切点为A(m，ln

m)，其中m>0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝1m，∴2a＝1m.又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，∴k＝lnm＋1m，∴lnm＋1m＝1m.解得m＝1，∴当两线相切时，a＝12.②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．∴所求a的取值范围

是0，12.