【文档说明】江浙皖高中（县中）发展共同体2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学 PDF版含解析.pdf，共(10)页，1.522 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学参考答案（第1页共6页）2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.【答案】

C【解析】由题设得：A＝{－1，5}，B＝{1，5}，所以A∪B＝{－1，1，5}，故答案选C2.【答案】A【解析】由z＋1z－1＝1＋i，得z＝1－2i，故z的虚部是－2.3.【答案】B【解析】设另两位学生的成绩为x，y，则x＋y2＝220＋

x＋y＋2804，得x＋y2＝250，故答案选B.4.【答案】C.【解析】由题设可知，α∈(0，π)，2sinα＋cosα＝1sin2α＋cos2α＝1sinα＝45cosα＝－35，所以sin2α＝2sinαc

osα＝－2425.5.【答案】A【解析】VABC1D＝V柱－4VA1－ABD＝36－24＝12.6.【答案】B.【解析】法一：F1(－22，0),设直线AB方程为：y＝k(x＋22)，代入x29＋y2＝1整

理得：(9k2＋1)x2＋362k2x＋72k2－9＝0，由弦长公式及|AB|＝2得k＝±33，故直线AB的倾斜角为π6或5π6，所以S△F2AB＝12×|AB|×|F1F2|sin∠AF1F2＝12×2×42×12＝22.法二：设|AF1|＝x，∠

AF1F2＝α，则|AF2|＝6－x，|F1F2|＝42，由余弦定理得：x2＋32－2×42×x×2cosα＝(6－x)2，化简得：x＝13－22cosα，即|AF1|＝13－22cosα，同理可得：|BF1|＝13＋22cosα，|AF1|＋|BF1|＝|A

B|＝2，13－22cosα＋13＋22cosα＝2，解得cosα＝±32,所以α＝π6或5π6，sinα＝12，S△F2AB＝12×|AB|×|F1F2|sinα＝22.7.【答案】D【解析】不妨设c＝

(2，0)，则可设a＝(1，t)，b＝(2cosθ＋8，2sinθ)，则|a－b|＝(2cosθ－7)2＋(2sinθ－t)2≥|2cosθ－7|≥5.当a＝(1，0)，b＝(6，0)，|a－b|＝5.8.【答案】A【解析】由3x≥f(x＋3)－f(x－3)＝f(x＋3)

－f(x＋1)＋f(x＋1)－f(x－1)＋f(x－1)－f(x－3)≥(x＋2)＋x＋(x－2)≥3x，所以f(x＋1)－f(x－1)＝x,即f(x＋2)－f(x)＝x＋1,所以f(51)＝f(51)－f(49)＋f(49)－f(47)＋…＋f(

3)－f(1)＋f(1)＝2(50＋48＋…＋2)＋1＝651.{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}高三数学参考答案（第2页共6页）二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.【答案】BC【解析】由题设可知，随机变量Y~N(15，14)，故标准差为12，答案A错误，答案B正确；P(272≤Y≤16)＝1－P(Y＜272)－P(Y＞16)＝1－12（1

－P(272≤Y≤332)）－12(1－P(14≤Y≤16)）)＝12[P(272≤Y≤332)＋P(14≤Y≤16)]＝12(0.9545＋0.9973)＝0.9759，答案C正确；P(Y＜14)＝12（1－0.9545）＝0.02775，答案D错误.10.【答案】

AC【解析】因为f′(x)＝xsinx＞0，x∈(0，π)，所以f(x)在(0，π)上单调递增，答案A正确；当x∈(－π，0)时，f′(x)＝xsinx＞0，所以x＝0不是f(x)的极值点，答案B错误；当

x∈(－2π，－π)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2π，－π)上单调递减，当x∈(－π，π)时，f′(x)＞0，f(x)在(－π，π)上单调递增，当x∈(π，2π)时，f′(x)＜0，f(x)在(π，2

π)上单调递减.又因为f(－2π)＞0，f(－π)＜0，f(π)＞0，f(2π)＜0，所以f(x)在(－2π，2π)上有3个零点，答案C正确；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，f(π＋2kπ)＝π＋2kπ，所以f(x)不是周期函数

，答案D错误.11.【答案】ABD【解析】由题设可知F(1，0)，FA→＋FB→＋FC→＝(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＋(x3－1，y3)＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝(0，0)，所以x1＋x2＋x3＝3，且y1＋y2＋y3＝0，故A正确；

y21＝(y2＋y3)2≤2(y22＋y23)，所以，x1≤2(x2＋x3)＝2(3－x1)x1≤2，同理可得，x2≤2，x3≤2，故B正确；不妨设y1≥0，y2≥0，y3＜0，则y1＝2x1，y2＝2x2，y3＝－2x3，代入y1＋y2＋y3＝0，得2x1＋2x2－2x3＝0，所以x1＋x2＝

x3，故C不正确；由x1＋x2＋x3＝3，x1＋x2＝x3，x1x2＝(x1＋x2－32)2，x21＋x22＋x23＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x2x3＋x3x1)＝9－2x1x2－2x3(x1＋x2)＝9－2(x1＋x2－3

2)2－2[3－(x1＋x2)](x1＋x2)＝9－2(x1＋x2)2＋6(x1＋x2)－92－6(x1＋x2)＋2(x1＋x2)2＝92，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每5分，共15分.）12.【答案】－3【解析】设r＋1项为x2

项，则5－r－r2＝2，解得r＝2，其系数为C25a3＝－270，故a＝－3.13.【答案】3256【解析】甲最终以4比2获胜，即甲在第2，3，4，5局比赛中胜3局，且第6局获胜，其概率为：C34(14)3×34＝3256

14.【答案】390【解析】an＝k，则n3∈(k－12，k+12)，n3∈(k2－k＋14，k2+k＋14)，n∈[3k2－3k+1，3k2＋3k]，故有6k个n，使an＝k，所以a1＋a2＋…＋a100＝6×1＋12×2＋18×3＋24×4＋30×5＋

10×6＝390.{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}高三数学参考答案（第3页共6页）四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.）15．(本题满分13分）解：（1）因为a＋ccosB＝c＋bcosC，由余弦定理得：a＋c×a2＋c2－b22ac＝c＋b×a2＋b2－c22ab，2分整理得：a2＋c2－b22ac＝12，4分又B∈(0，π2)，所以B＝π3.6分（2）S△ABC＝2R2s

inAsinBsinC＝43sinAsinC7分＝43sinAsin(2π3－A)＝43sinA(32cosA＋12sinA)＝23(32sin2A＋12－12cosA)＝23sin(2A－π6)＋3.10分因

为△ABC是锐角三角形，所以π6＜A＜π2，所以，π6＜2A－π6＜5π6，即12＜sin(2A－π6)≤1，12分所以23＜23sin(2A－π6)＋3≤33.13分16．(本题满分15分）（1）证明：设C1D的中点为F，过F作GG1

∥AA1分别交AC，A1C1于G，G1，则G，G1分别为AC，A1C1的中点，2分所以FG1＝12A1D＝1，由BB1＝AA1＝4，BE＝3B1E，得B1E＝1，即FG1＝B1E，又因为FG1∥B1E，所以四边形B1

EFG1是平行四边形，所以EF∥B1G1，4分因为G1是A1C1的中点，△A1B1C1为正三角形，所以B1G1⊥A1C1，由正三棱柱的性质得,AA1⊥底面A1B1C1，且B1G1底面A1B1C1，所以B1G1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1所以B1G1⊥平面AA1C1C．6分又因为EF∥B1G

1，所以EF⊥平面AA1C1C，EF平面C1DE，所以平面C1DE⊥平面AA1C1C．8分（2）以BC中点O为原点，OA，OC，OO1(O1为B1C1中点）分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则D(32，0，2)，E(0，－12，3)，C1(0，12，4)，10分易得平面ABC

的一个法向量n1＝(0，0，1)，11分设向量n2＝(x，y，z)为平面C1DE一个法向量，C1D→＝(32，－12，－2)，C1E→＝(0，－1，－1)，则由n2·C1D→＝0，n2·C1E→＝0，得32x－12y－2z＝0，y+z＝0，{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUIC

EOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}高三数学参考答案（第4页共6页）令z＝1，得n2＝(3，－1，1)，13分设平面C1DE与平面ABC的夹角为θ，则cosθ＝|n1·n2|n1|·|n2||＝55．所以平面C1DE与

平面ABC的夹角的余弦值为55．15分17．(本题满分15分）解：（1）抛物线C的焦点F(2，0)．1分由题意可知，直线AB的斜率存在并设为k，故直线AB方程为：y＝k(x－2)，代入y2＝8x整理得：k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．3分设A(x1，y1

)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4(k2＋2)k2，y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝k[4(k2＋2)k2－4]＝8k，OA→+OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(4(k2＋2)k2，8k)，5分因为向量OA→+OB→与向量a＝(2，2)共线，所以2kk2

＋2＝22，解得k＝2，7分故所求直线AB的方程为：2x－y－22＝0．8分（2）不妨设)4,2(121ttA，)4,2(222ttB)0,0(21tt，当0y时，xy22，xy2'，从而点A处的切线斜率为111tk，同

理，221tk，因为∠AOB＝π2，所以12221tt，即421tt11分又点A处的切线方程为1121txty，点B处的切线方程为2221txty，设交点P的坐标为),(00yx，则202010

102121txtytxty，从而1t和2t方程02002xtyt的两个解所以42021xtt，即80x，所以点P的轨迹方程为8x.15分{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAF

ABAA=}#}高三数学参考答案（第5页共6页）18．(本题满分17分）解：（1）f(x)＝alnx－x－a的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－1＝a－xx．1分当a≤0时，x∈(0，＋∞)，f′(

x)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；2分当a＞0时，x∈(0，a)，f′(x)＞0时，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以，f(x)在x∈(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．3分（2）①因为x1，x2(x1＜x2)是f(x)的两个零点，由（1）可知a＞0，x1∈(

0，a)，x2∈(a，＋∞)，且fnax(x)＝alna－2a＞0，解得：a＞e2．5分而当a＞e2时，f(1)＝－1－a＜0，f(a4)＝4alna－a4－a＜4a2－a4－a＜－a＜0，所以，f(x)有两个零点．故a的取值范围是(e2，＋∞)．7分②因为x1，x2(x1＜x2)是f(

x)的两个零点，所以，alnx1－x1－a＝0alnx2－x2－a＝0a＝x2－x1lnx2－lnx1，9分f′(x2＋x12)＝x2－x1lnx2－lnx1－x2＋x12x2＋x12，令x2＝tx1，代入上式得：f′(x2＋x12)＝2(t－1)－

(t＋1)lnt(t＋1)lnt(t＞1)．11分令g(t)＝2(t－1)－(t＋1)lnt(t＞1)，g′(t)＝1－1t－lnt，g′′(t)＝1t2－1t＝1－tt2＜0(t＞1)，13分所以g′(t)在(1，＋∞)上单调减，且g′(1)＝0，所以g′(t)＜0(t＞1)，所以g(t

)在(1，＋∞)上单调减，且g(1)＝0，所以g(t)＜0(t＞1)，15分所以f′(x2＋x12)＝2(t－1)－(t＋1)lnt(t＋1)lnt＜0(t＞1)．又因为f′(x)在(0，＋∞)上是减函数，且x21＋x222＞x2＋x1

2，所以，f′(x21＋x222)＜f′(x2＋x12)＜0．17分19．(本题满分17分）【解】（1）因为na是“2G数列”，所以5354321aaaaaa，解得4275a，又5465432aaaaaa，所以26a.4分（2）首先证明甲是乙的充

分条件，设等比数列na的公比为q（0q），则11nnqaa，所以kn时，2nknknaaa，所以当mn时，12111121mnnnnmnmnmnmnmnmnmnmnaaaaaaaaaaaa，{#{QQAB

IQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}高三数学参考答案（第6页共6页）所以na是“mG数列”，即甲是乙的充分条件.7分下证甲是乙的不必要条件，设数列na是“mG

数列”，m≥2，定义数列na满足：a1＝a2＝…＝am＝1，am+1＝am+2＝…＝a2m＝2，an+2m＝a2m+!n+man+2m-1·an+2m-2·…·an+1·an，n∈N*则数列na是“mG数列”，但不是等比数列。综上，甲是乙的充分不必要条件.10分（3）因为na是“2G数

列”，所以3n时，52112nnnnnnaaaaaa，即42112nnnnnaaaaa，①因为na是“3G数列”，所以4n时，7321123nnnnnnnnaaaaaaaa，即6321123nnnnnnnaaaa

aaa，②12分由①得，当4n时，14123nnnnnaaaaa；nnnnnaaaaa14132，将上述两式代入②得，614111141nnnnnnnnnaaaaaaaaa，整理得84141nnnaaa

，因为na的各项均为正数，所以211nnnaaa，所以数列na从第3项开始为等比数列，设公比为0q，则33nnqaa，3n，15分在①中令4n得446532aaaaa，即qa

a32；令3n得435421aaaaa，即231qaa，所以11nnqaa，Nn，所以qaann1为常数，所以na是等比数列.17分{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQg

OAFAIIAABCAFABAA=}#}