【文档说明】重庆市江北区第十八中学2023-2024学年高三上学期11月检测（一）数学+含解析.docx，共(32)页，2.557 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年上期高2024届11月检测（一）数学试题总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1.如图，已知矩形U表示全集，A，B是U的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（）A.()UABðB.()UABðC.(

)BABðD.()ABAð2.已知111iiz=−+，则z=（）.A.2B.22C.2D.13.“π4x”是“tan1x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知数列na满足()224Rnaknnk=

+−，若1nnaa+，则实数k的取值范围是（）A.(,1−−B.(),1−−C.2,3−−D.2,3−−5.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，ABAC⊥，且3PDDC=，则BD在AC方向

上的投影向量为（）A.34AC−B.23AC−C.34ACD.23AC6.某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮成功率为23，则该同学通过测试的概率为（）A.23B.1627C.2542D.32517.已知1F，2

F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，点()11,Axy为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若121cos2FAF=，且122FBBF=，则双曲线C的离心率为（）A.22B.5C.2D.38

.实数,,abc分别满足2023e,20232024,20222023bac===，则,,abc的大小关系为（）AabcB.cabC.acbD.bac二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.9.已知变量x，y之间的经

验回归方程为ˆ110.5yx=−，且变量x，y的数据如图所示，则下列说法正确的是（）x235911y121073A.该回归直线必过()6,8B.变量x，y之间呈正相关关系C.当7x=时，变量y的值一定等于7.5D.相应于(

)11,3的残差估计值为2.5−10.函数()sin(0)fxx=在区间ππ22−，上单调函数，且图象关于直线2π3x=对称，则（）A.将函数()fx的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y轴对称B.函数()fx在π2π，上单

调递减的.为C.若函数()fx在区间14π(,)9a上没有最小值，则实数a的取值范围是2π14π(,)99−D.若函数()fx在区间14π(,)9a上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是4π(,0)3−11.为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“

解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p行第q个数记为()*,,pqapqN，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第n条斜线上所有数字之和为()1231,2nSSSS===，入场码由两段

数字组成，前段的数字是444,110iiia−=的值，后段的数字是202120231iiSS=−的值，则（）A.2023,22023a=B.444,1101331iiia−==C.934S=D.该景点入场码为1331112.已知抛物线2:2(

0)Cypxp=的焦点为F，定点(),4Ma和动点A，B都在抛物线C上，且MOF△（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（）A.抛物线的标准方程为28yx=B.设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为2934yx=−C.若3AFFB=（点A在第一象

限），则直线AB的倾斜角为π3D.若弦AB的中点N的横坐标2，则AB弦长的最大值为7三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC中，()()()sinsinsinsinacACbAB+−=−，则C=______.14.已知0ab，当1422ababab+

++−+取得最小值时，则ba的值为_______________．15.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概

率为______.16.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点是F，直线ykx=交椭圆于,AB两点﹐直线AF与椭圆的另一个交点为C，若12OAAFOFCF==，则椭圆的离心率为____________．四、解答题：共70分.17.在数

列na中，11a=−，nS是na的前n项和，且数列nSn是公差为12的等差数列．（1）求na的通项公式；（2）设23nanbn+=，求数列nb的前n项和nT．18.在平面四边形ABCD中，ππ,,2.32ABCADCBC===（1）若

3ABCB=，求AC；（2）若π23,,3ADACBACD==+求tanACD.19.如图，四棱台ABCDEFGH−中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，24EGAC==，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面

所成角的正切值为22．（1）求点A到平面MHG的距离；（2）求二面角EHMG−−的余弦值．20.某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)ixi=和知识竞赛成绩(1,2,,20)iyi=如下表：学生编号i12345678910数学成绩ix1009

99693908885838077知识竞赛成绩iy29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩ix757472706866605039

35知识竞赛成绩iy4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x=，知识竞赛成绩的平均值是90y=，并且()20216464iixx=−=，()2021149450iiyy=−=，()()20121650iii

xxyy=−−=．（1）求这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．（2）设*NN，变量x和变量y的一组样本数据为(),|1,2,,iixyiN=，其中(1,2,,)ixiN=两两不相同，(1,2,,)i

yiN=两两不相同．记ix在,2|1,,nxnN=中的排名是第iR位，iy在,2|1,,nynN=中的排名是第iS位，1,2,,iN=．定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数．（i）记

iiidRS=−，1,2,,iN=．证明：()221611NiidNN==−−．（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考

公式与参考数据．()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−；21(1)(21)6nknnnk=++=；646414945031000．21.动圆C与圆M：221(2)2xy++=外切，与圆N：2249(2)2xy−+=

内切.（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程；（2）直线l：(1)(0)ykxk=−与C相交于,AB两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点的Q，直线OP的斜率为k（O为坐标原点），若||||||||APQB

PBAQ=，判断kk是否为定值？并说明理由.22.设122(ln2)0,()e,()2xxaxafxxgxxax−+=++=+．（1）当1a=时，求()fx在[1,0]−上最大值：（2）若()()afxgx

x对任意,()0x+恒成立，求a的取值范围．的2023—2024学年上期高2024届11月检测（一）数学试题总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1.如图，已知

矩形U表示全集，A，B是U两个子集，则阴影部分表示不正确的为（）A.()UABðB.()UABðC.()BABðD.()ABAð【答案】B【解析】【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可.【详解】在阴影部分区域内

任取一个元素x，则xB且xA，即UxAð且xB，所以，阴影部分可表示为()UABð，故A正确；xB且()xAB，阴影部分可表示为()BABð；C正确()xAB且xA，阴影部分可表示为()ABAð，故D正确；显然，阴影

部分区域所表示的集合为()UABð的真子集，故B错误．故选：B2.已知111iiz=−+，则z=（）.A.2B.22C.2D.1【答案】C【解析】【分析】先根据复数乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由111i1iiz=−=++，得()21i2iz=

+=，则2iz=−，所以2z=.故选：C.的的3.“π4x”是“tan1x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由π4x推

不出tan1x，如3ππ44x=−，但是3ππtantan144−==，即充分性不成立，由tan1x也推不出π4x，如3πtan114=−，但是3ππ44，即必要性也不成立，所以“π4x”是“tan1x”的既不充分也不

必要条件.故选：D4.已知数列na满足()224Rnaknnk=+−，若1nnaa+，则实数k的取值范围是（）A.(,1−−B.(),1−−C.2,3−−D.2,3−−【答案】D【解析】【分析】根据1nnaa+建立不等式，

不等式转化为221kn−+对一切*Nn恒成立，求出min?221n−+即可.【详解】据题设知，()()22121424knnknn+++−+−对一切*Nn恒成立，所以220knk++对一切*Nn恒成立，即221kn−+对一切*Nn恒

成立．又当*Nn时，min222212113n−=−=−++，所以23k−，所以所求实数k的取值范围是2,3−−．.故选:D．5.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，ABAC

⊥，且3PDDC=，则BD在AC方向上的投影向量为（）A.34AC−B.23AC−C.34ACD.23AC【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点，,,ABACPA所在直线为,,xyz建立空间直角坐标系,从而BD在AC方向上的投影向量，即BD在x轴正方向上的投影向量.【详解】∵PA⊥平

面ABC,ABAC⊥，∴PAAB⊥,PAAC⊥,故以A为坐标原点，,,ABACPA所在直线为,,xyz建立空间直角坐标系，令,,ABaACbPAc===.则()()()310,0,0,,0,0,0,,0,0,,44ABaCbDbc，则()310,,0,,,44AC

bBDabc==−，∴BD在AC方向上的投影向量，即BD在x轴正方向上的投影向量为()3330,,00,,0444bbAC==.故选：C.6.某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失

败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为23，则该同学通过测试的概率为（）A.23B.1627C.2542D.3251【答案】D【解析】【分析】首先设第一次投篮成功后，通过的概率为P，再列出关于P的等

式，求P后，再求解通过测试的概率.【详解】设投篮只成功一次后通过，概率为P，那么投篮只失败过一次后，下一次若投篮失败，则不通过，故投篮只失败过一次后通过概率为23P，故221212333333PPP=++，解得：1217P=，故通

过的概率为212121232317331751+=.故选：D【点睛】思路点睛：本题考查独立事件乘法的意义，本题的思路是不从第一次投篮的概率算起，而是计算投篮只成功一次后通过的概率.7.已知1F，2F分别为

双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，点()11,Axy为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若121cos2FAF=，且122FBBF=，则双曲线C的离心率为（）A.

22B.5C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点21,0aBx，再结合双曲线的方程和定义求12,AFAF，利用余弦定理列式求解即可.【详解】因为点A在第

一象限，由22221xyab−=，可得2222bxyba=−，则22222222222222bxbxaybxbxbabaa==−−，点()11,Axy在双曲线上，则221111221,0,0xyxyab−=

，即222112bxyba=−，可得1221122212212|xxbxbxyaybxaba===−，可得在点()11,Axy处的切线方程为()211121bxyyxxay−=−，令0y=，解得22221121bxayxbx−=，又因为22

11221xyab−=，则22222211bxayab−=，所以222222211221110bxayabaxbxbxx−===，即点21,0aBx，设双曲线C的半焦距为0c，则()1,0Fc−

，()2,0Fc，因为122FBBF=，则22112aaccxx+=−，整理得213axc=，则22222122391abcaybbac=−=−，可得()22222211123914aaAFxcycbacc=++=++−=，且点A为

双曲线C在第一象限的右支上一点，则122AFAFa−=，可得2122AFAFaa=−=，在12AFF△中，由余弦定理可得：222121212122cosFFAFAFAFAFFAF=+−，即222141642422caaaa=+−，整理得223ca=，所以双曲线C的离心率2

23cea==.故选：D.【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用在

焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．8.实数,,abc分别满足2023e,20232024,20222023bac===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.cabC.acbD.bac【答案】B【解析】【分析】由202

3e,20232024,20222023bac===，得12023ea=,120231ea−=,ln2024ln2023b=,20232022c=,继而利用e1xx+缩放可得20242023a,1202212023ac=,则,ac大小关系解决,

构造函数()lnxgxx=,利用单调性可得ln2023ln202420232024,即2024ln20242023ln2023,结合20242023a可比较,ab大小,则,,abc大小关系可得.【详

解】因为2023ea=，所以12023ea=，则120231ea−=.因为20222023c=,所以120222023c=.令()e1xfxx=−−，则()e1xfx=−，当0x时()0fx¢>，则()fx在()0,+上单调增；当0x时(

)0fx，则()fx在(),0−上单调减.所以()()e100xfxxf=−−=，即e1xx+.所以1202312024e120232023a=+=且120231120221e102023202

3ac−=−+==，则可得ac.因为20232024b=,所以2023ln2024log20241ln2023b==令()lnxgxx=,则()21lnxgxx−=,当ex时,()0gx,所以()gx在()e,+单调减,所以可得ln2023ln2

02420232024,即2024ln20242023ln2023,又20242023a,所以2024ln20242023ln2023ab=,所以cab.故选:B.【点睛】方法点睛:比较大小的常用方法有作差法,作商法,构建函数利用单调性法,利用不等式的放缩法.二、多项选择题

：共4小题，每小题5分，共20分.9.已知变量x，y之间的经验回归方程为ˆ110.5yx=−，且变量x，y的数据如图所示，则下列说法正确的是（）x235911y121073A.该回归直线必过()6,8B.变量x，y之间呈正相关关系C.当7x=

时，变量y的值一定等于7.5D.相应于()11,3的残差估计值为2.5−【答案】AD【解析】【分析】根据回归直线一定经过样本中心点，及残差概念等来逐项判断.【详解】对于A，由表格数据得，23591165x++++==，110.561138y=−=−=，所以该回归直线必

过()6,8，故A正确；对于B，因为回归直线方程为ˆ110.5yx=−，0.50−，当变量x增加，变量y相应值减少两个变量之间呈负相关关系，故B错误；对于C，当7x=时，ˆ110.577.5y=−=，变量y的值可能为7.5，故C错误；对于D，由残差定义知，观测值减去预

测值为残差，当11x=时，得预测值ˆ110.5115.5y=−=，则相应于()11,3的残差估计值为35.52.5−=−，故D正确.故选：AD.10.函数()sin(0)fxx=在区间ππ22−，上单调函数，且图象关于直线2π3x=对称，则

（）A.将函数()fx的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y轴对称B.函数()fx在π2π，上单调递减C.若函数()fx在区间14π(,)9a上没有最小值，则实数a的取值范围是2π14π(,)99−D.

若函数()fx在区间14π(,)9a上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB【解析】【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.【详解】由题意ππππ,2222−

−且2πππ,Z32kk=+，可得01，33,Z24kk=+，故当0k=时，34=，3()sin4fxx=.对A，函数()fx的图象向右平移2π3个单位长度可得i2π33π3sinsncos4

4432yxxx=−=−=−，故为函数图象关于y轴对称，故A正确；对B，当π2πx，时，33π3π,442x，所以函数3()sin4fxx=单调递减，故B正确；对C，当14π(,)9xa时，337π,446ax，函数()fx在区

间14π(,)9a上没有最小值，则需π37π246a−，即2π14π39a−，故C错误；对D，由C，函数()fx在区间14π(,)9a上有且仅有2个零点，则3π04a−，即4π03a−，故D错误.故选：AB11.为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，

某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p行第q个数记为()*,,pqapqN，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第n条斜线上所有数字之和为()1231,2nSSSS===，入场码由两段数字组成，前段的数字是444,110iiia−

=的值，后段的数字是202120231iiSS=−的值，则（）A.2023,22023a=B.444,1101331iiia−==C.934S=D.该景点入场码为13311【答案】BCD【解析】【分析】分析可得1,1Cqpqpa−−=，利用组合数公式可判断A选项；利用二项

式定理可判断B选项；归纳得出21nnnSSS++=+，逐项计算可得9S的值，可判断C选项；计算出202120231iiSS=−的值，结合B选项可判断D选项.【详解】由题意得1,1Cqpqpa−−=，对于A：2023,2a即为第2023行第2个数，则12023,22

022C2022a==，故A错误；对于B：()310x+展开式的通项为()3130,1,2,3C10kkkkTkx−+==，其中034,1Ca=，134,2Ca=，231,3Ca=，334,4Ca=，所以，()434031221304,3333110C10C10C10C101011331i

iia−==++++==，故B正确；对于C：121SS==，32S=，43S=，55S=，L，归纳可得21nnnSSS++−=，即21nnnSSS++=+，所以，654538SSS=+=+=，7658513SS

S=+=+=，87613821SSS=+=+=，987211334SSS=+=+=，故C正确；对于D：202132435420232022202321iiSSSSSSSSSSS==−+−+−++−=−，故2021202311iiSS=−=，该景点入场码为13311

，故D正确.故选：BCD.12.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，定点(),4Ma和动点A，B都在抛物线C上，且MOF△（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（）A.抛物线的标准方程为28yx=B.设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为2934yx=−C.若3AF

FB=（点A在第一象限），则直线AB的倾斜角为π3D.若弦AB的中点N的横坐标2，则AB弦长的最大值为7【答案】BCD【解析】【分析】根据三角形MOF的面积求得p，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行

分析，从而确定正确答案.【详解】A．14322MOFpSp===△，抛物线的标准方程为26yx=，故A错误；B．抛物线的焦点为3,02F，322ARxx+=，2ARyy=，则322ARxx=−，2ARyy=，代入26yx=，得()23

2622RRyx=−，整理得2934RRyx=−，所以点R的轨迹方程为2934yx=−，B正确；C．由于3AFFB=，所以,,AFB三点共线，设直线AB的倾斜角为()0π，33,22AAAFxxAF=+=−，33cos22AAFxAF+==−，解得31co

sAF=−，同理可得31cosFB=+，依题意3AFFB=，即3331cos1cos=−+，1cos02=，所以为锐角，所以π3=，C正确；D．设直线AB的方程为xmyt=+，由26xmytyx=+=消去x并化简得2660ymy

t−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则121266yymyyt+==−，()121242xxmyyt+==++，则2246tm=−，22222421211362414836361248ABmyymmtmmmm=+−=++=+−=−++，所以当2

1231266m=−−=时，max7AB=，2341243,26ttm=−===−，满足236240mt=+.所以D正确．故选：BCD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC中，()()()sinsinsinsinacACbAB+−=−，则C=_

_____.【答案】π3【解析】【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解．【详解】因为()()()sinsinsinsinacACbAB+−=−，由正弦定理得()()()acacbab+−=−，变形得222abcab+−=，所以2221cos22abcCa

b+−==，又0πC，所以π3C=，故答案为：π3．14.已知0ab，当1422ababab+++−+取得最小值时，则ba的值为_______________．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用基本不等式求得最值，根据等号成立条件可得41,33ab==，

即可求出结果.【详解】由0ab可得0,20abab−+，则()()141414222226222ababababababababababab+++=−++++−++=−+−+−+；当且仅当1

4,22abababab−=+=−+，即41,33ab==时，等号成立，1422ababab+++−+取得最小值为6，此时14ba=.故答案为：1415.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束

后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为______.【答案】15##0.2【解析】【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.

【详解】6名志愿者排成一排合影共有66A中排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有142342CAA种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为14234266CAA1A5=.故答案为：1516.已知椭圆()2222:10xy

Cabab+=的右焦点是F，直线ykx=交椭圆于,AB两点﹐直线AF与椭圆的另一个交点为C，若12OAAFOFCF==，则椭圆的离心率为____________．【答案】53##153【解析】【分析】设椭圆的左焦点为E，利用已知条件结合椭圆的对称

性可得四边形AEBF为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.【详解】设椭圆的左焦点为E，连接AE，BE，BF，CE，由直线ykx=交椭圆于,AB两点﹐及12OAAFOFCF==，结合椭圆的对称性可得1122OAOBOFOEEFABc======

，所以AEF△，AFB△，BEF△均为直角三角形，所以四边形AEBF为矩形，设2AFt=，则CFt=，22AEat=−，2CEat=−，所以在直角AEF△中222AEAFEF+=，即()()()2222222attc−+=①，在直角ACE△中222A

EACCE+=，即()()()2222232attat−+=−②，由②解得3at=，将3at=代入①得222049ac=，即2259ca=，所以53cea==，故答案为：53四、解答题：共70分.17.在数列na中，11a=−，nS是na的前n项和，且数列nSn是公差为12的

等差数列．（1）求na的通项公式；（2）设23nanbn+=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）2nan=−（2）1213344nnnT+−=+【解析】【分析】（1）先应用等差数列求nS，再应用1nnnaSS−=−

计算通项公式；（2）应用错位相减法求和即可．【小问1详解】由已知得111Sa==−，11322nSnnSn−−=+=，所以21322nSnn=−，①当2n时，()2211315(1)122222nSnnnn−=−−−=−+，②−①②，得2nan=−，11a=−也符合该式，所以2nan

=−．【小问2详解】由（1）得3nnbn=，所以21213233nnnTbbbn=+++=+++，③231313233nnTn+=+++，④−③④，得231233333nnnTn+−=++++−1133313nnn++−=−−113322nn

+=−−．故1213344nnnT+−=+．18.在平面四边形ABCD中，ππ,,2.32ABCADCBC===（1）若3ABCB=，求AC；（2）若π23,,3ADACBACD==+求

tanACD.【答案】（1）7AC=（2）3tan2ACD=【解析】【分析】（1）先结合已知条件、数量积的定义求出3AB=，再在三角形ABC运用余弦定理即可求解.（2）画出图形，设ACD=，先得出23sinsinADAC==，π3BAC=−，再

在ABC中，运用正弦定理232sinπ3sin32=−，由此即可得解.【小问1详解】在ABC中，π,23ABCBC==，所以1||||cos||232ABCBBABCBABCABCBA===

=，所以3AB=，在ABC中，由余弦定理得2222212cos3223272ACABBCABBCABC=+−=+−=.因为0AC，解得7AC=.【小问2详解】如图所示：设ACD=，则ππ33ACBACD=+=+，在RtACD△中，因为23AD=，所以23

sinsinADAC==，在ABC中，ππππππ,0,3333BACACBABC=−−=−+−=−，由正弦定理，得sinsinBCACBACABC=，即232sinπ3sin32

=−，所以π2sinsin3−=，即312cossinsin22−=，整理得3cos2sin=，所以3tan2=，即3tan2ACD=.19.如

图，四棱台ABCDEFGH−中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，24EGAC==，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为22．（1）求点A到平面MHG的距离

；（2）求二面角EHMG−−的余弦值．【答案】（1）66；（2）23−.【解析】【分析】（1）取,BCFG的中点,IJ，NJ的中点K，连接,,,IJNJMIIK，根据已知求得1MN=，构建空间直角坐标系Mxyz−，向量法求点面距

离即可；（2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求二面角余弦值.【小问1详解】取,BCFG的中点,IJ，NJ的中点K，连接,,,IJNJMIIK．因为MN⊥平面ABCD，线面垂直的性质知MNMA⊥，MNMB⊥，MNMI⊥．易得12NKNJMI==，且//N

KMI，即四边形MNKI为矩形．所以//MNIK，易得KIJ为MN与侧面所成的一个角．因为MN与侧面所成角的正切值为22，所以1212212222MNNJEG===．以点M为坐标原点，,,MA

MBMN的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M，()0,0,1N，()1,0,0A，()2,0,1E，()0,2,1H−，()2,0,1G−．所以()2,0,1MG=−，()0,2,1MH=−．设平面MH

G的法向量为()111,,mxyz=r，则11112020mMGxzmMHyz=−+==−+=，令11x=，则平面MHG的一个法向量为()1,1,2m=，而()1,0,0MA=，所以点A到平面MHG的距离66MAmdm==．【小问2详解】因为()2,0,1ME=，

设面MEH的法向量为()222,,nxyz=r，则22222020nMExznMHyz=+==−+=，令21x=−，则面MEH的一个法向量为()1,1,2n=−．所以42cos,63mnmnmn===，易知二面角EHMG−−的平面角为

钝角，所以二面角EHMG−−的余弦值为23−．20.某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)ixi=和知识竞赛成绩(1,2,,20)iyi=如下表：学生编号i12345678910数学成绩ix100999693908885838077知识竞

赛成绩iy29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩ix75747270686660503935知识竞赛成绩iy4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x=，知识竞赛成绩的平均值是90y=，并且()2

0216464iixx=−=，()2021149450iiyy=−=，()()20121650iiixxyy=−−=．（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．（2）设*

NN，变量x和变量y的一组样本数据为(),|1,2,,iixyiN=，其中(1,2,,)ixiN=两两不相同，(1,2,,)iyiN=两两不相同．记ix在,2|1,,nxnN=中的排名是第iR位，iy在,2|1,,nynN=中的排名是第iS位，1,2,,iN=．定义变量x和变

量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数．（i）记iiidRS=−，1,2,,iN=．证明：()221611NiidNN==−−．（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩

的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．()()()()12211niiinniii

ixxyyrxxyy===−−=−−；21(1)(21)6nknnnk=++=；646414945031000．【答案】（1）0.70（2）（i）证明见解析；（ii）0.91（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可；（2）（i）根据题意即相关系数的公式

进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的iR与iS得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可；（3）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可【小问1详解】由题意，这组学生数学成绩

和知识竞赛成绩的样本相关系数为()()()()20120202211iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−21650216500.7031000646414950=【小问2详解】（i）证明：因为iR和iS都是1，2，L，N的一个排列，所以11(1

)2NNiiiiNNRS==+==，2211(1)(21)6NNiiiiNNNRS==++==，从而iR和iS的平均数都是12NRS+==．因此，()22222111112NNNNNi

iiiiiiiiRRRRRRRNR=====−=−+=−2(1)(21)(1)64NNNNN+++=−(1)(1)12NNN+−=，同理可得()21(1)(1)12NiiNNNSS=+−−=，由于21Niid=()()()2211NNiiiiiiRSRRSS===−=−−−

()()22112NNiiiiRRSS===−+−−()()1NiiiRRSS=−−()()1(1)(1)2212NiiiNNNRRSS=+−=−−−，所以()()()()()2211222111(1)(1)161221(1)(1)112NNiiiNiiiN

NiiiiiNNNRRSSddNNNNNRRSS=====+−−−−===−+−−−−；（ii）由题目数据，可写出iR与iS的值如下：同学编号i12345678910数学成绩排名iR12345678910知识竞赛成绩排名iS15349876102同学编号i

11121314151617181920数学成绩排名iR11121314151617181920知识竞赛成绩排名iS12141311161517181920所以20N=，并且22222221904132231418114Nii

d==+++++=．因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是()2611140.9120201=−−【小问3详解】答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能

刻画某种线性关系；答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个

新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.21.动圆C与圆M：22

1(2)2xy++=外切，与圆N：2249(2)2xy−+=内切.（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程；（2）直线l：(1)(0)ykxk=−与C相交于,AB两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k（O为坐标原点），若||||||||APQBPBAQ=

，判断kk是否为定值？并说明理由.【答案】（1）22184xy+=；（2）为定值，理由见解析.【解析】【分析】（1）设动圆C的半径为r，由题可知22CMr=+，722CNr=−，结合椭圆的定义即可得解；（2）由题意可得0APBPkk+=，联立直线l：(1)

(0)ykxk=−与椭圆方程，得到两根之和、两根之积，代入化简得20000021)(8)0(yxkxkxy−+−+=，又因为00(,)Pxy在椭圆上，所以220028xy+=，代入化简得0000(2[1)0)(]ykxxky−−

−=，从而得0020ykx−=，0012ykxk==，从而得结论.【小问1详解】解：设动圆C的半径为r，由题可知22CMr=+，722CNr=−，从而424CNCMMN+==，所以圆心C的轨迹是以,MN为焦点的椭圆，轨迹方程为22184xy+=；【小问2详解】由|||||

|||APQBPBAQ=可知PQ平分APB，直线,APBP的斜率,APBPkk互为相反数，即0APBPkk+=，设112200(,),(,),(,)AxyBxyPxy，由22184(1)xyykx+==−得，2222(21)4280kxkxk+−+−

=，由韦达定理可得：2122421kxxk+=+，21222821kxxk−=+，而102010200APBPyyyykkxxxx−−+=+=−−，则10202010()()()()0yyxxyyxx−−+−−=，即10202010[(1)]()[(1)]()kxyxxkxyxx−−−+−−−

=120012002()()2()0kxxykxkxxxyk−+++++=，于是220000222842()2()02121kkkykxkxykkk−−++++=++22200002(28)4()2()(21)0kkkykxkxykk−−+

++++=，化简得：20000021)(8)0(yxkxkxy−+−+=，且又因为00(,)Pxy在椭圆上，即2200184xy+=，即220028xy+=，22000028yxxx−−+=−，从而22200000002(1)

(2)0yxkyxxkxy−+−−++=，0000(2[1)0)(]ykxxky−−−=，又因为00(,)Pxy不在直线:(1)lykx=−上，则有0020ykx−=，即0012ykkkx==，.所以kk为定值，且12kk=.【点睛】方法点

睛：定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.设122(ln2)0,()e,()2xxaxafxxgxxax−+=++=+．（1）当1a=时，求()fx在[1,0]−上的最大值：（2）若

()()afxgxx对任意,()0x+恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1max()efx−=；（2）102a.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数()fx在[1,0]−上的最

大值.（2）对给定不等式作恒等变形，由1x=可得102a，令12ma=，再利用导数证明211()(lne2)xxmxx−−−+恒成立即可.【小问1详解】当1a=时，12()exfxxx−=++，求导得1()e21xfxx−=++

，显然函数()fx在[1,0]−上递增，而21(1)e10,(0)e10ff−−−=−=+，则存在0(1,0)x−，使得()00fx=，当0[1,)xx−时，()0fx，函数()fx递减，当0(,0]xx时，()0fx，()fx递增，

又21,(0)(1)eeff−−−==，所以1max()(0)efxf−==.【小问2详解】不等式()()afxgxx对任意,()0x+恒成立，即122(ln2)(e)2xaxaxxxxax−++

++12121(lne2)xxxxaax−−+−+对任意,()0x+恒成立，当1x=时，有102a，令1ma=，即有2m，原不等式等价于211()(lne2)xxmxx−−−+，令111()lne2,()e,(1)0xxhxxhxhx−−=−+=−=，当01

x时，()0hx，当1x时，()0hx，于是函数()hx在(0,1)上递增，在(1,)+上递减，①当2x时，()(2)2ln2e0hxh=+−恒成立，则211()(lne2)xxmxx−−−+恒成立，②当02x时，2()()pmxm=−在[2,)m+上递

增，2()(2)(2)pmpx=−，于是只需211(2)(lne2)xxxx−−−+成立，即2144lne2xxxxxx−−+−+成立，令21()44lne2,02xFxxxxxxx−=−+−+−，求导得11()264exFxxxx−=−+−+，(

1)0F=，当01x时，1e1x−，则1(1)(1)241()2642(1)(2)(1)xxxxxxxFxxxxxxxxx−−++−+−++=−−+=−，而241(1)(221)xxxxxxx+−+=−

−−，则22(1)1()(1)0xxFxxx−−−，因此()Fx在(0,1)上单调递减，()(1)0FxF=恒成立，即2144lne2xxxxxx−−+−+成立，当12x时，令1()exxx−=−，求导得1()e10xx−=−，函数()x在(1,2)上

递增，有()(1)0x=，即有1exx−，2111()26436313(1)10Fxxxxxxxxxx−+−+=−++−=−+−，因此()Fx在(1,2)上单调递增，()(1)0FxF=恒成立，即2144lne2x

xxxxx−−+−+成立从而当102a时，()()afxgxx对任意,()0x+恒成立，所以a的取值范围是102a.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利

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