【文档说明】四川省峨眉第二中学校2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.786 MB，由管理员店铺上传

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峨眉二中21级高二期中考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，每小题给的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.若a，b是异面直线，直线//ca，则c与b的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.异面或相交【答案】D【

解析】【分析】通过反证法的思想，可以判断出选项正误.【详解】若a，b是异面直线，直线//ca，则c与b不可能是平行直线．否则，若//cb，则有////cab，得出a，b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，故选：D2.椭

圆22142xy+=的焦点坐标为（）A.(2,0),(2,0)−B.(0,2),(0,2)−C.(6,0),(6,0)−D.(0,6),(0,6)−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答.【详解】椭圆22142xy+=的长短半轴长分别为a，

b，有224,2ab==，则椭圆半焦距222cab=−=，显然，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆22142xy+=的焦点坐标为(2,0),(2,0)−.故选：A3.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图为ABC，已知1AOBOCO===，则ABC的周长

为（）A.6B.8C.225+D.245+【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法原则可还原ABC，利用勾股定理求得,ACBC后即可确定周长.【详解】由直观图可还原ABC如下图所示，其中1OBOA==，2OC=，OCAB⊥，22125BCAC==+=，ABC的周长为22

5ABACBC++=+.故选：C.4.已知椭圆2214125xy+=的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()．A.10B.20C.241D.441【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程2214125xy+=可

得41a=，运用定义整体求解2ABF的周长为40，即可求解.【详解】椭圆2214125xy+=的两个焦点为1F、2F弦AB过点1F，所以41a=，2211221212()()4441ABBFAFAFBFBFAFA

FAFBFBFa++=+++=+++==，故选D.【点睛】椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆()222210xyabab+=上一点()00,Pxy和集点()1,0Fc−，()2,0Fc为顶点的12PFF中，

12FPF=，则当P为短轴端点时最大，且（1）122PFPFa+=；（2）222121242coscPFPFPFPF=+−；（3）122121sintan22PFFSPFPFb==（b为短轴长）5.已知正四棱柱1111ABCDAB

CD−中，12AAAB=，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所成角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.35【答案】C【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于0

90,故选C.取DD1中点F，则1FCD为所求角,2221251310cos10225FCD+−==，选C.6.在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古

希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高=8cmBC，圆锥体部分的高6cmCD=，底面圆的直径16cmAB=，这个陀螺的表面积（）A.2192cmB.2252cmC.227

2cmD.2336cm【答案】C【解析】【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积．【详解】由题意可得圆锥体的母线长为226810l=+=，所以圆锥体的侧面积为108=80，圆柱体的侧面积为8

16=128，圆柱的底面面积为28=64，所以此陀螺的表面积为28012864272cm++=，故选:C．7.已知平面外的直线l的方向向量是()3,2,1a=，平面的法向量是()1,2,1u=−−，则l与的位置关系是（）A.l

⊥B.//lC.l与相交但不垂直D.//l或l【答案】B【解析】【分析】由0au=确定正确答案.【详解】由于()()3,2,11,2,13410au=−−=−+−=，即au⊥，由于l，所以//l.故选：B8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于A.822+B

.1122+C.1422+D.15【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为1,2，高为1，直四棱柱的高为2，所以底面周长为221121142++++=+，故该几何体的表面积为122(42)2111222

+++=+，故选B．考点：1．三视图；2．几何体表面积．9.方程()()231310xyx+−−−=表示的曲线是A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【答案】D【解析】【详解】由()()231310xyx+−−

−=，得2x+3y−1=0或310x−−=.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程()()231310xyx+−−−=表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看

作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．在求解方程时要注意变

量的范围.10.已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（）A.92B.6C.9D.18【答案】A【解析】【分析】先由正方体的表面积求出正方体的棱长，再求出正方体的体对角线，从而可得其外接球的直径，进而可求出球的体积.【详解】设正方体的棱长为a

，其外接球的半径为R，因为正方体的表面积为18，的所以2618a=，所以23a=，3a=，所以22(2)39Ra==，得32R=，所以正方体外接球的体积为3344393322R==，故选：A.11.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADEV，B

CF△均为正三角形，EFAB∥，2EF=，则该多面体的体积为（）A.23B.33C.43D.32【答案】A【解析】【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决.【详解】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂

足分别为点G，H，连接DG，CH，容易求得12EGHF==，32AGGDBHHC====.取AD的中点O，连接GO，易得22GO=，则1221224AGDBHCSS===△△，所以，多面体的体积2EADGFBCHAGDBHCEADGAGDBHCVVVVVV−

−−−−=++=+121222134243=+=故选：A12.在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,2ABCDAP=，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且1,3ABAD==，直线PM与平面ABCD所成的角为4．记点M的轨迹长度为，则tan=（）A

.33B.1C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意PMA即为直线PM与平面ABCD所成的角，故问题转化为以点A为圆心在平面ABCD内做2为半径的圆，圆弧在矩形ABCD内的部分即为点M的轨迹，进而利用几何关系求解即可.【详解】因为PA⊥平面ABCD，所以PMA即为直线P

M与平面ABCD所成的角，所以4PMA=，因为2AP=，所以2AM=，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为圆弧EF.连接AF，则2AF=，因为1AB=，3AD=，所以6AFBFAE==，则

弧EF的长度263==，所以tan3=.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知焦点在y轴上的椭圆22120xyk+=的焦距为6，则k的值为____________.【答案】29【解析】【分析】根据焦点在y轴

上和焦距长，可直接构造方程求得k.【详解】椭圆的焦点在y轴上，焦距2206k−=，解得：29k=.故答案为：29.14.若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为__________.【答案】22π3【解析】【分析】根据圆锥侧面的扇形弧长等

于圆锥的底面周长可求母线长，进而由母线和底面半径可求圆锥的高，即可求体积.【详解】由题可知该圆锥的底面半径1r=，设圆锥的母线长为l，则2π2π3lr=，得3l=.此该圆锥的体积22122ππ13133V=−=.故答案为：22π

315.正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成的角的余弦值是________.【答案】24【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出AD和BF，利用向量关系求出所成角余弦值.的【详解】建立如图

所示的空间直角坐标系，设1AB=，则(0,0,0)A，，(1,0,0)F，(0,1,0)B，,DAABFAAB^^，则DAF是平面ABCD和平面ABEF所成二面角，即60DAF=，且D在xAz平面上

，13,0,22D，∴13,0,22AD=，(1,1,0)BF=−，∴100·22cos,412ADBFADBFADBF++===，∴异面直线AD与BF所成的角的余弦值是24

.故答案为：24.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.16.如图，已知四面体ABCD的棱//AB平面，且1CD=，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体ABCD绕AB所在直线旋转.且始终在平面的上方

，则它在平面内影子面积的最小值为________.【答案】336【解析】【分析】在四面体中找出与AB垂直的面，在旋转的过程中CD在面内的射影始终与AB垂直求解.【详解】ABD和ABC都是等边三角形，取AB中点M，易证MDAB⊥，MCAB⊥，即AB⊥平面CDM，所以ABCD

⊥设CD在平面内的投影为CD，则在四面体ABCD绕着AB旋转时，恒有CDAB⊥.因为AB∥平面，所以AB在平面内的投影为2ABAB==.因此，四面体ABCD在平面内的投影四边形ABCD的面积12SABCDCD==要使射影面积最小，即需CD最短；在DM

C中，3MCMD==，1CD=，且DC边上的高为112MN=，利用等面积法求得，边MC上的高DH336=，且DHMN，所以旋转时，射影CD的长的最小值是336CD=.所以min336S=【点睛】本题考查空间立体几何体的投影

问题，属于难度题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，17题10分，其余每题12分..17.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为菱形，PBPD=，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC．

（2）求证：BD⊥平面PAC．【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】【详解】分析：（1）证明线面平行，只需在面内找一条直线与已知线平行即可，取PC中点为G，证明四边形BEFG是平行四边形即可；（2）证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，BDAC⊥，

BDPO⊥即可得证.详解：（1）证明：取PC中点为G，∵在PCD中，F是PD中点，G是PC中点，∴FGCD，且12FGCD=，又∵底面ABCD是菱形，∴ABCD，∵E是AB中点，∴BECD，且12BE

CD=，∴BEFG，且BEFG=，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EFBG，又EF平面PBC，BG平面PBC，∴EF平面PBC．（2）证明：设ACBDO=，则O是BD中点，∵底面ABCD是菱形，∴BDAC⊥，又∵PBPD=，O是BD中点，∴BDPO⊥，又ACPOO=，∴BD

⊥平面PAC．点睛：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．18.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4,15ac==；（2）已知椭圆的焦

点坐标为(2,0),(2,0)−，并且经过点53(,)22−．【答案】（1）22116xy+=或22116yx+=；（2）221106xy+=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的短半轴长，再

按焦点位置写出方程作答.（2）利用椭圆的定义求出椭圆的长轴长，即可求出方程作答.【小问1详解】依题意，椭圆短半轴长b，有2221bac=−=，当椭圆焦点在x轴上时，其方程为：22116xy+=，当椭圆焦点在y轴上

时，其方程为：22116yx+=，所以椭圆的标准方程为：22116xy+=或22116yx+=．【小问2详解】由椭圆的焦点坐标知，椭圆焦点在x轴上，则设所求的椭圆方程为：22221(0)xyabab+=，于是得22225353

2(2)()(2)()2102222a=++−+−+−=，解得10a=，22226ba=−=，所以所求椭圆的标准方程为：221106xy+=．19.已知三棱柱ABC—­A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知

BA1⊥AC1.（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求点C到平面A1AB的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2217.【解析】【分析】（1）BCAC⊥，根据1AD⊥底ABC，得到1ADBC⊥，1ADACD=，所以BC⊥面1AAC，从而1BCAC⊥，又因11BAAC⊥

，1BABCB=，根据线面垂直的判定定理可知1AC⊥底1ABC；（2）作DEAB⊥于点E，连1AE作1DFAE⊥，1ADAB⊥，DEAB⊥，1DEADD=，满足线面垂直的判定定理则AB⊥平面1ADE，又DF面1ADE，所以ABDF⊥，1AEABE=，D

F⊥平面1AAB，在Rt1ADE△中，从而求出DF的长度，而D是AC中点，所以C到面1AAB距离是2DF．【详解】(1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1

⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平

面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得12,3,2DEAD==RtA1DE中，11217ADDEDFAE==，因为D是AC中点，所以C到面A1AB距离2217.【点睛】证明垂直或平行一

般是使用判定定理，求点到面的距离常用等积法或向量法，注意转化与化归思想的应用.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD.（1）求证：ADPC⊥；（2）若E是BC的中点，F在

PC上，//PA平面DEF，求PFFC的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）通过证明AD⊥平面PCD来证明ADPC⊥.（2）利用线面平行的性质，由//PA平面DEF，得到//PAFM，进而求得PFFC的值.【详解】（

1）因为PD⊥平面ABCD，所以PDAD⊥.因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD⊥，因为PDCDD=，所以AD⊥平面PCD，所以ADPC⊥.（2）连接AC交DE于M，连接FM.由于//PA平面DEF，平面PAC平面DEFFM=，所以//PAFM.所以PFAMFCMC=，由于//A

DBC且E是BC的中点，所以2AMADMCEC==，所以2PFFC=.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面平行求比值，属于中档题.21.如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面ABCD，/

/ABDC，ABAD⊥，1ADCD==，12AAAB==，E为棱1AA的中点.（1）证明11BCCE⊥；（2）求二面角11BCEC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277.【解析】【分析】（1）由题意可得：1,,ADAAAB

两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出11BCuuuur，CE，由110BCCE=uuuuruur，即可得到11BCCE⊥.（2）求出平面1BCE和平面1CEC的一个法向量，先求出两个法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角11

BCEC−−的余弦值.【详解】（1）因为侧棱1AA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以1AAAB⊥，1⊥AAAD，ABAD⊥，所以1,,ADAAAB两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则()10,2,2B，()11,2,

1C，()1,0,1C，()0,1,0E，()111,0,1BC=−，()1,1,1CE=−−uur，()()()111101110BCCE=−++−−=，所以11BCCE⊥，所以11BCCE

⊥，（2）设平面1BCE一个法向量为()111,,nxyz=，()11,2,1BC=−−uuur，()1,1,1CE=−−uur，则1111111200nBCxyznCExyz=−−==−+−=，令12y=

，则11z=−，13x=，所以()3,2,1n=−，设平面1CEC的一个法向量为()222,,mxyz=，()11,1,1EC=uuur，()1,1,1CE=−−uur，则122222200mECxyz

mCExyz=++==−+−=，20y=，令21x=，21z=−，所以()1,0,1m=−，所以()()3120114427cos,79411114227mnmnmn++−−=====++

+，因为二面角11BCEC−−的平面角为锐角，的所以二面角11BCEC−−的余弦值为277.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题

中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.22.如图，在四边形PDCB中，//PDBC，BAPD⊥，1PAABBC===，12

AD=.沿BA将PAB翻折到SBA的位置，使得52SD=.（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；（2）点Q是棱SC于异于S，C的一点，连接QD，当二面角QBDC−−的余弦值为66，求此时三棱锥QBCD−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）112.【

解析】【分析】（1）延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l，由勾股定理可得SAAD⊥，结合ADAB⊥可得AD⊥平面SAB，在判断出SE⊥平面CSB即可证明；（2）以点A为坐标

原点建立空间直角坐标系，设SQSC=，由二面角QBDC−−的余弦值为66建立向量关系，求出即可求出体积.【详解】（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.证明：在SAD中，1SA=，12AD=，52SD=，则222SAADSD+=，所以S

AAD⊥.由SAAD⊥，ADAB⊥，SAABA=，得AD⊥平面SAB.又BCAD∥，所以BC⊥平面SAB，所以BCSE⊥.由PDBC，1ABBC==，12AD=，得1AE=.所以AEABSA==，所以⊥SESB.又因为BCSBB=，所以SE

⊥平面CSB，即l⊥平面CSB.（2）由（1）知，SAAB⊥，ADAB⊥，ADSA⊥.以点A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.易得()0,0,0A，1,0,02D，()0,1,0B，()0,

0,1S，()1,1,0C，则1,1,02BD=−.设SQSC=（01），则(),,1Q−，则(),1,1BQ=−−.设(),,nxyz=是平面QBD一个法向量，的则()()110102x

yzxy+−+−=−=，令2x=，则132,1,1n−=−.()0,0,1m=是平面CBD的一个法向量.由213cos,6161351nmnmnm−−==−+−=，解得12=.所以点Q是SC的中点.所以1111111

13232212QBDCBDCVSSA−===.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用

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