【文档说明】江苏省南通市天星湖中学2020-2021学年高二下学期数学周练试题（2021年3月4日） 含答案.docx，共(8)页，165.336 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-cdb64c45e769cfb792796384dc1e7ce4.html

以下为本文档部分文字说明：

江苏省南通市天星湖中学高二周练20210304一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|12<2𝑥≤2}，𝐵={𝑥|ln(𝑥−12)≤0}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵)=()A.⌀B.(−1,12]C.[12,1

)D.(−1,1]2.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥，则“𝑎<0”是“函数𝑓(𝑥)在定义域内为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数𝑓(𝑥)=ln|𝑥+1|𝑥+1的大致图象为（）A.

B.C.D.4.已知𝑥𝑦=1，且0<𝑦<√22，则𝑥2+4𝑦2𝑥−2𝑦的最小值为()A.92B.4C.2√2D.4√25.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆．学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个

年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有()A.6种B.9种C.12种D.18种6.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A.13B.49C.12D.597.抛物线：的过焦点的弦的中点的轨

迹方程为()A.B.C.D.8.在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，𝐴𝐴1=√3，则异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角的余弦值为（）A.15B.√56C.√55D.√22二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知数列{�

�𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2，若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得𝑎𝑚𝑎𝑛=64，则下列结论正确的是()10.A.数列{𝑎𝑛}为等比数列B.数列{𝑎𝑛}为等差数列C.𝑚+𝑛为定值D.设数列{𝑏𝑛}的前

n项和为𝑇𝑛，𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，则数列{𝑇𝑛𝑛}为等差数列10.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在R上可导，且𝑓(0)=1，其导函数𝑓′(𝑥)满足𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥−1>0，对于函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥

)𝑒𝑥，下列结论正确的是（）A.函数𝑔(𝑥)在区间(1,+∞)上为单调递增函数B.𝑥=1是函数𝑔(𝑥)的极小值点C.函数𝑔(𝑥)至多有两个零点D.𝑥⩽0时，不等式𝑓(𝑥)⩽𝑒𝑥

恒成立11.已知𝐹1，𝐹2是椭圆C：𝑥29+𝑦225=1的两个焦点，过𝐹1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.椭圆C的离心率为35B.存在点A使得𝐴𝐹1⊥𝐴𝐹

2C.若|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=8，则|𝐴𝐵|=12D.△𝐴𝐹1𝐹2面积的最大值为1212.抛物线C：𝑥2=4𝑦的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点𝑀(2,2)，下列结论正确的是（）A.|𝑃𝑀|+|𝑃𝐹|的最

小值为3B.抛物线C上的动点到点𝐻(0,3)的距离最小值为3C.存在直线l，使得A，B两点关于𝑥+𝑦−3=0对称D.若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2三、填空题（本大

题共4小题，共20.0分）13.党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分

配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为．14.已知命题“∀𝑥∈[1,3],不等式𝑥2−𝑎𝑥+4≥0”为真命题，则a的取值范围为_______．15.设a，b为实数，对于任意的𝑎⩾2，关于x的不等式𝑥⩽𝑒𝑎𝑥+𝑏(𝑒为自然对数的底数)在

实数域R上恒成立，则b的取值范围为______．16.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，P为椭圆C上一点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，若𝐹1关

于∠𝐹1𝑃𝐹2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为_______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合𝐴={𝑥|𝑥≤−3或𝑥≥2}，𝐵={𝑥|1<𝑥<5}，𝐶={𝑥|𝑚−1≤𝑥≤2𝑚}(Ⅰ

)求𝐴∩𝐵，(∁𝑅𝐴)∪𝐵；(Ⅱ)若𝐵∩𝐶=𝐶，求实数m的取值范围．18.某次活动中，6名同学站成一排合影．(1)若甲，乙两名同学要站在两端，共有多少种不同的排法？(2)若甲，乙两名同学不能相邻，共有多少种不

同的排法？(3)若甲乙两名同学之间恰有两名同学，共有多少种不同的排法？(4)拍照时又有3名老师加入，老师站在前排，同学站在后排，在所有老师和学生都排好后，拍照的师傅觉得队形不合适，遂决定从后排6人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整

方法？(上述问题均需列出式子，最后用数字作答)19.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1=12，𝑎𝑛+2𝑆𝑛𝑆𝑛−1=0(𝑛≥2)．(𝐼)问：数列{1𝑆𝑛}是否为等差数列？并证明你的结论；(II)求𝑆𝑛和�

�𝑛；(III)求证：𝑆12+𝑆22+𝑆32+⋯+𝑆𝑛2≤12−14𝑛．20.如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角𝑃−𝐵𝐸−𝐶的余弦值为√66．(1)求PD的长；(

2)求点C到平面PEB的距离．21.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√33，直线𝑥−𝑦+√5=0与椭圆C有且只有一个公共点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设点𝐴(−√3,0)，𝐵(√3,0)，P为椭圆C上一点，且直线PA与PB的斜率乘积为−23

，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足𝐴𝑃//𝑂𝑀，𝐵𝑃//𝑂𝑁，求证：▵𝑂𝑀𝑁的面积为定值．22.设函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−2．(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的单调区间;(Ⅱ)若𝑎=1，

k为整数，且当𝑥>0时，(𝑥−𝑘)𝑓⬚′(𝑥)+𝑥+1>0，求k的最大值．南通市天星湖中学高二周练答案20210304一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1-8:BAABCDCC．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.ACD,10

.ABC,11.BCD,12.AD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.90，14.，15.，16.√33四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）解：(Ⅰ)𝐴∩𝐵={𝑥|2≤𝑥<5}，∁𝑅𝐴={𝑥|−3<�

�<2}，∴(∁𝑅𝐴)∪𝐵={𝑥|−3<𝑥<5}．(Ⅱ)∵𝐵∩𝐶=𝐶，∴𝐶⊆𝐵，当𝐶=⌀时，𝑚−1>2𝑚，∴𝑚<−1；当𝐶≠⌀时，{𝑚−1≤2𝑚𝑚−1>12𝑚<5,解得2<𝑚<52，综上，m的取值范围是𝑚<−1或2<𝑚<

52．解：(1)甲乙同学站两端，共有𝐴22𝐴44=48种排法．(2)甲乙不能相邻，反过来考虑甲乙相邻的情况，则有𝐴66−2𝐴55=720−240=480种情况．(3)除甲乙两名同学以外的4名同学放在甲乙中间，甲乙全排

，选出的两名同学排列，则有𝐶44𝐴22𝐴22𝐴33=144种情况．(4)从6名同学抽两名同学，再由其他人的相对顺序不变可得𝐶62𝐴52=300种情况．19.解：(𝐼)数列{1𝑆𝑛}是等差数列

，理由如下：由已知，𝑆1=𝑎1=12，∴1𝑆1=2，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=−2𝑆𝑛𝑆𝑛−1，∴1𝑆𝑛−1𝑆𝑛−1=2∴{1𝑆𝑛}为等差数列，它的首项为2，公差为2；(II)由(𝐼)知1𝑆𝑛=2+(𝑛−1)×2=2𝑛，∴𝑆𝑛=12

𝑛，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=−2𝑆𝑛𝑆𝑛−1=−2⋅12𝑛⋅12(𝑛−1)=−12𝑛(𝑛−1)当𝑛=1时，显然不符合以上通项，∴𝑎𝑛={12,𝑛=1−12𝑛(𝑛−1),𝑛≥2；(III

)当𝑛=1时，𝑆12=14=12−14，成立．当𝑛⩾2时，𝑆12+⋯+𝑆𝑛2=14(112+122+⋯+1𝑛2)≤14(1+11×2+12×3+⋯+1(𝑛−1)×𝑛)=14(1+1−12+⋯+1𝑛−1−1𝑛)=14(2−1𝑛)=1

2−14𝑛，综上有𝑆12+𝑆22+𝑆32+⋯+𝑆𝑛2≤12−14𝑛．20.解：(1)依题意，𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝑃两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧．设𝑃𝐷=ℎ(ℎ>0

)．由题意得𝐸(1,0，0)，𝐵(2,2，0)，𝑃(0,0，ℎ)．所以𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−ℎ)，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,0)．设平面PEB的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥0,𝑦0,𝑧0)，则{𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛⃗⃗⋅𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{𝑥0−𝑧0ℎ=0,𝑥0+2𝑦0=0.令𝑥0=2，则𝑦0=−1，𝑧0=2ℎ．于是𝑛⃗⃗=(2,−1,2ℎ)．又因为𝑃𝐷⊥平面ABCD，所

以平面ABCD的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(0,0,1)．依题意，有cos⟨𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗⟩=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=2ℎ√22+12+(2ℎ)2=√66，解得ℎ=2，所以𝑃𝐷=2．(2)

由(1)得，平面PEB的法向量为𝑛⃗⃗=(2,−1,1)．又𝐶(0,2，0)，所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,0)．所以点C到平面PEB的距离为|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑛⃗⃗|=2√63．21.解：(Ⅰ)∵直线𝑥−𝑦+√5=0与椭

圆有且只有一个公共点，∴直线𝑥−𝑦+√5=0与椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)相切，∴{𝑥−𝑦+√5=0𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1⇒(𝑏2+𝑎2)𝑥2+2√5𝑎2𝑥+5𝑎2−𝑎2𝑏

2=0,∴𝛥=0⇒𝑎2+𝑏2=5，又∵𝑐𝑎=√33，∴𝑎=√3，∴𝑏2=𝑎2−𝑐2=2，椭圆C的方程为𝑥23+𝑦22=1．(Ⅱ)证明：由题意知，直线AP，BP斜率存在且不为0，𝑘𝐴𝑃⋅𝑘𝐵𝑃=−23．由𝐴𝑃//𝑂𝑀，𝐵𝑃//𝑂𝑁，

所以𝑘𝑂𝑀⋅𝑘𝑂𝑁=−23，当直线MN的斜率为0时，由𝑘𝑂𝑀⋅𝑘𝑂𝑁=−23，根据对称性不妨取𝑘𝑂𝑀=−√63，则直线𝑂𝑀:𝑦=−√63𝑥与椭圆方程联立，得𝑥𝑀2=32,𝑦𝑀2=1，故▵𝑂𝑀𝑁的

面积为√62当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑡，代入椭圆方程得(2𝑚2+3)𝑦2+4𝑚𝑡𝑦+2𝑡2−6=0①设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1+𝑦2=−4𝑚𝑡2𝑚2+3，

𝑦1𝑦2=2𝑡2−62𝑚2+3，又𝑘𝑂𝑀⋅𝑘𝑂𝑁=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2𝑚2𝑦1𝑦2+𝑚𝑡(𝑦1+𝑦2)+𝑡2=2𝑡2−63𝑡2−6𝑚2=−23，得2𝑡2=2𝑚2+3，所以𝑆▵𝑀𝑂𝑁=12|𝑡||𝑦1−𝑦2|=1

2|𝑡|√48𝑚2−24𝑡2+722𝑚2+3=12|𝑡|2√6|𝑡|2𝑡2=√62．即▵𝑀𝑂𝑁的面积为定值√62．22.解：(Ⅰ)函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−2的定义域是R，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎，若𝑎≤0，则𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎≥0，所以函数

𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−2在(−∞,+∞)上单调递增．若𝑎>0，则当𝑥∈(−∞,𝑙𝑛𝑎)时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎<0；当𝑥∈(𝑙𝑛𝑎,+∞)时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎>0；所以，𝑓(𝑥)在(−∞,𝑙𝑛𝑎)单调递减，在(𝑙𝑛𝑎

,+∞)上单调递增．(Ⅱ)由于𝑎=1，所以，(𝑥−𝑘)𝑓′(𝑥)+𝑥+1=(𝑥−𝑘)(𝑒𝑥−1)+𝑥+1，故当𝑥>0时，(𝑥−𝑘)𝑓´(𝑥)+𝑥+1>0等价于𝑘<𝑥+1𝑒𝑥−1+𝑥(𝑥>0)①，令𝑔(𝑥)=𝑥+1𝑒𝑥−1+𝑥，则𝑔′(�

�)=−𝑥𝑒𝑥−1(𝑒𝑥−1)2+1=𝑒𝑥(𝑒𝑥−𝑥−2)(𝑒𝑥−1)2，由(Ⅰ)知，当𝑎=1时，函数ℎ(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−2在(0,+∞)上单调递增，而ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，所以ℎ(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−2在(0,+∞)上存在唯一的零点，故𝑔′(𝑥

)在(0,+∞)上存在唯一的零点，设此零点为𝛼，则有𝛼∈(1,2)，当𝑥∈(0,𝛼)时，𝑔′(𝑥)<0；当𝑥∈(𝛼,+∞)时，𝑔′(𝑥)>0；所以𝑔(𝑥)在(0,+∞)上的最小值为𝑔(𝛼)．又由𝑔′(𝛼)=0，可得𝑒𝛼=𝛼+2所以𝑔(𝛼)=𝛼

+1∈(2,3)，由于①式等价于𝑘<𝑔(𝛼)，故整数k的最大值为2．