【文档说明】四川省宜宾市翠屏区宜宾第四中学校2024届高三一模数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.291 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中高2021级高三一诊模拟考试数学（理工类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集|55?Uxx

=−，集合2|450?Axxx=−−，|24?Bxx=−，则()UAB=ðA.[4,5)B.(5,2]−−C.(5,2)−−D.(4,5)【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵

集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，()UCAB={x|﹣5＜x≤2}，故选B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．2.设121izii+=−−，则||z=A.0B.1C.5D.3

【答案】B【解析】【分析】先将z分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121iiiiziiiiiiiz+++=−−−=−−−+=（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．3.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为A.729

B.428C.356D.243【答案】D【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，底面是边长为9的正方形，高PA=9,所以几何体的体积为2199=2433V=.故

选D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知,ab是两条直线，,是两个平面，则ab⊥rr的一个充分条件是（）A.a⊥，b//，⊥B.a⊥，b⊥，//C.a

，b⊥，//D.a，b//，⊥【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥，从而得到ab⊥rr；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a，b是两条不同的直线，,是两个不

同的平面，在A中，a⊥，b//，⊥，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；在B中，a⊥，b⊥，//，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；在C中，由a，b⊥，//，可知b⊥，由线面垂直的性质可知ab⊥rr，故

C正确；D中，a，b//，⊥，可得a与b可以成任意角，故D错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．5.函数233()sin22fxxxx

=−的图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为()()233sin22xfxxxfx−−=−=−，，所以()fx为奇函数，不选A,C，又因为()333222xfxf−时，所

以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复6.如图，四棱柱1111

ABCDABCD−中，,EF分别是1AB、1BC的中点，下列结论中，正确的是在A.1EFBB⊥B.EF⊥平面11BCCBC.//EF平面1DBCD.//EF平面11ACCA【答案】D【解析】【分析】连接1BC，利用中位线证得//EFAC，由

此证得//EF平面11ACCA.【详解】连接1BC交1BC于F，由于四边形11BCCB是平行四边形，对角线平分，故F是1BC的中点.因为E是1AB的中点，所以EF是三角形1BAC的中位线，故//EFAC，所以//EF平面11ACCA.故选D.【点

睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知//EFAC，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题.7.若函数()(1)lnfxxxa

x=+−在()0,+具有单调性，则a的取值范围是（）A.()2,+B.)2,+C.(,2−D.(),2−【答案】C【解析】【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.【详解】由()1()(1)lnln1fxxxaxfxxax=+−=++−，当函数()(1)l

nfxxxax=+−在()0,+单调递增时，()0fx恒成立，得1ln1axx++≤，设()()221111ln1xgxxgxxxxx−=++=−=，当1x时，()()0,gxgx单调递增，当01x时，()()0,gxgx单调递减，所以()()min12gxg==，因

此有2a，当函数()(1)lnfxxxax=+−在()0,+单调递减时，()0fx恒成立，得1ln1axx++，设()()221111ln1xgxxgxxxxx−=++=−=，当1x时，()()0,gxg

x单调递增，当01x时，()()0,gxgx单调递减，所以()()min12gxg==，显然无论a取何实数，不等式()0fx不能恒成立，综上所述，a的取值范围是(,2−，故选：C8.已知函数()sin()(0,0,0)fxAxA=+

的部分图象如图所示，则()2f=A.322B.322−C.32−D.32【答案】C【解析】【分析】根据已知中函数()()sin(0,0,0)fxAxA=+的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（3，-3）代

入解析式，可求出ϕ值，进而求出2f．【详解】由图可得：函数()()sinfxAx=+的最大值3，∴3A=，又∵74123T=−，ω＞0，∴T＝π，ω＝2，将（3，-3）代入()()sinfxAx=+，得sin（23+ϕ）＝1−

，∴23+ϕ=2kZ2k，−+，即ϕ=72kZ6k−+，，又0∴ϕ=56，∴()53sin26fxx=+∴533sin262f=+=−故选

C【点睛】本题主要考查的知识点是由函数的部分图象求三角函数解析式的方法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，考查了数形结合思想，属于中档题．9.已知函数()32cosfxxx=

+，若2(3)af=，(2)bf=，2(log7)cf=,则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cbaC.bacD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f

x在R上为增函数，又由2222log4log733=，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数()32cosfxxx=+，其导数函数()32sinfxx=−，则有()32sin0fxx=−在R上恒成立，则()fx在R上为增函数；又由2222log4log733=

，则b<c<a；故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．10.平面过正方体1111ABCDABCD−的顶点A，平面//平面1ABD，平面平面ABCDl=，

则直线l与直线1CD所成的角为A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【详解】如图所示，平面过正方体1111ABCDABCD−的顶点A，平面//平面1ABD，平面平面AFABCDl==，11//,//CD

BABDAF，则直线l与直线1CD所成的角即为直线AF与直线1BA所成的角为60.故选C.11.已知函数()()8sin03fxx=−的最小正周期为,若()fx在,243m−上单调递增,在223m上单调递减,则实数m的

取值范围是()A.3,2B.55,64C.,32D.4,83−【答案】B【解析】【分析】由函数()fx的最小正周期为可得2=，求出()8sin23fxx=−的增区间与减区间，分别令,243m

−与223m是其子集即可.【详解】由题意可得2=，求得2=，令222232kxk−−+，求得5,1212kxkkZ−+，由3222232kxk+−+，求得511,1212kxkkZ+

+，因为()fx在,243m−上单调递增,在223m上单调递减,所以555312564212mmm，所以实数m的取值范围是55,64，故选B.【点睛】函数sin()yAx=+的单调区间的求法：(1)代换法：①

若0,0A,把x+看作是一个整体，由22kx++()322kkZ+求得函数的减区间，2222kxk−+++求得增区间；②若0,0A,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方

法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.12.若120xxa都有211212lnlnxxxxxx−−成立，则a的最大值为A.12B.1C.eD.2e【答案】B【解析】【分析】将题目所给不等式转化为12121ln1lnxxxx++，

构造函数()1lnxfxx+=，利用导数研究函数()fx的单调性，由此得出正确的选项.【详解】原不等式可转化为12121ln1lnxxxx++，构造函数()1lnxfxx+=，，()'2lnxfxx−=，故函数在()0,1

上导数大于零，单调递增，在()1,+上导数小于零，单调递减.由于12xx且()()12fxfx，故12,xx在区间()0,1上，故a的最大值为1，所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分13.若角的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，其终边经过点0(3,4)P−−，tan=___．【答案】43【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan

α的值．【详解】角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，其终边经过点P（﹣3，﹣4），则tanα4433−==−，故答案为43．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.若1sin3=，则cos2=_____

_____．【答案】79【解析】【详解】2217cos212sin12().39=−=−=15.已知,,ABC是球O的球面上的三点，60AOBAOC==，若三棱锥OABC−的体积最大值为1，则球的表面积为______.【答案】16【解析】【分析】作出草图，易得AOB和AOC均为等边

三角形，当面AOC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大可求出球的半径R，进而可得球的表面积.【详解】解:设球的半径为R，如图所示，∵60AOBAOC==，∴AOB和AOC均为等边三角形，边长为R，由图可得当面

AOC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大，此时311331132228VRRRR===，解得2R=，则球O的表面积为24216S==.故答案为：16【点睛】本题考查球表面积的求法，球的

内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.16.设ABO（O是坐标原点）的重心、内心分别是,GI，且//BOGI，若(0,4)B，则cosOAB的最小值是__________．【答案】12【解析】【分析】由//BOGI，所以3Axr=，（r

为ABO内切圆的半径），再由()1122ABOASABAOOBrOBx=++=，从而得8ABAO+=，再由余弦定理222|cos2ABAOOBOABABAO+−=，结合基本不等式即可得最值.【详解】因为重心、内心分别是,

GI，且//BOGI，所以3Axr=，（r为ABO内切圆的半径），又()1113r222ABOASABAOOBrOBxOB=++==.且4OB=.解得8ABAO+=.所以的22222|()21624241cos11222()2ABAOOBABAOABAOOAB

ABAOABAOABAOABAO+−+−−===−−=+.当且仅当4ABAO==时，即ABO为等边三角形cosOAB有最小值12.【点睛】本题考查了三角形的重心与内心的性质、三角形的面积计算公式，余弦定理

与基本不等式，综合性较强，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1

7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知coscoscosCAB+=22sincosAB.（1）求sinB的值；（2）若1ac+=，求b的取值范围.【答案】(1)22sin3B=;(2)313b.【解析】【分析】(1)在三角形中ABC++=，运用诱导公式化

简cosC后求出结果(2)运用余弦定理结合已知条件1ac+=转化为一个未知数的表达式，求出结果【详解】（1）由已知得()coscoscos22sincosABABAB−++=，即有sincos22sincosABAB=，因为sin0A，sin22

cosBB=.由22sincos1BB+=，且0B，得22sin3B=.（2）由（1）可知1cos3B=，由余弦定理，有2222cosbacacB=+−.因为1ac+=，1cos3B=，有22811

323ba=−+，又01a，313b【点睛】本题考查了解三角形，在解答过程中三个角都出现在已知条件中就运用诱导公式进行化简，转化为两个角的问题，容易忽略ABC++=这个条件18.已知函数()2π2343cos4sin

cos6fxxxx=−+−（xR且0）的两个相邻的对称中心的距离为π2．（1）求()fx在R上的单调递增区间；（2）将()fx图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx，若()12g=，

0,π，求πcos26−的值．【答案】（1）π5ππ,,Z1212kkk−++（2）158−【解析】【分析】（1）先化简函数得π2sin23yx=−，再根据单调性求解即可；（2）先由平

移伸缩得出()23πgxsinx=−，再结合二倍角余弦公式计算即得.【小问1详解】2π()2343cos4sincos6fxxxx=−+−π23cos22sin23cos2sin

23xxxx=−+−=−+π2sin23x=−，由题意知，()fx的最小正周期为π，所以2ππ2T==，解得1=，∴π()2sin23fxx=−，令πππ2π22π232kxk−+−+，Zk，解得π5πππ1212kxk−+

+，Zk所以()fx在R上的单调递增区间为π5ππ,,Z1212kkk−++【小问2详解】()23πgxsinx=−，1()2g=，得π1sin34−=，∵[0,

π]，∴ππ2π,333−−，∴π15cos34−=，∴πππππ15cos2cos22sincos632338−=−+=−−−=−

19.已知函数()sincosfxaxxx=+在32x=处取得极值.（1）求a的值；（2）求()fx在0,π上值域.【答案】（1）1a=；（2）π[1,]2−.【解析】【分析】（1）对给定函数求导，利用函

数极值点的意义求出a并验证即得.（2）由（1）的结论，利用导数求出在指定区间上的最大最小值即可得解.【小问1详解】函数()sincosfxaxxx=+，求导得()sincossinfxaxaxxx=+−，由()fx在32x=处取得极值，得

2103fa=−+=，解得1a=，此时()cosfxxx=，当π3π22x时，()0fx，当3π5π22x时，()0fx，即函数()fx在32x=处取得极值，的所以1a=.【小问2详解】由（1）知()sincosfxxxx=+，()cosf

xxx=，当π02x时，()0fx，函数()fx单调递增，当ππ2x时，()0fx，函数()fx单调递减，当[0,π]x时，maxππ()()22fxf==，而(0)1,(π)1ff==−，即min()1fx=−，所以函

数()fx在0,π上的值域为π[1,]2−.20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，棱1,ACCC的中点分别为1,,DEC在平面ABC内的射影为D，ABC是边长为2的等边三角形，且12AA=，点F在棱11B

C上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：（1）若点F为棱11BC的中点，求点F到平面BDE的距离；（2）求锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围．【答案】（1）334（2）13,22【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点面距公式

求得正确答案.（2）利用向量法求得锐二面角FBDE−−的余弦值的表达式，结合函数的单调性求得其取值范围.【小问1详解】连接1DC，依题意可知1DC⊥平面ABC，由于,ACBD平面ABC，所以11,DCACDCBD⊥⊥，由于三角形ABC是等边三角形，所以BDAC⊥

，22213BD=−=，又221213DC=−=，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()10,0,3C，()()131,0,0,,0,,0,3,022CEB，又()111,3,0CBBC==−，故()11,3,3B−，13,,322F−，则13,0,22

DE=，()0,3,0DB=，设平面BDE的法向量为()111,,mxyz=，则1111302230mDExzmDBy=+===，故可设()3,0,1m=−，又13,,322BF=−−，所以点F到平面BDE的距离为3

333224BFmm==.【小问2详解】设()11101CFCB=，()111,3,0CB=−，则()()()111110,0,31,3,0,3,3DFDCCFDCCB=+=+=+−=−，设平面BDF的法向量为()222,,xnyz=

，则222233030mDFxyzmDBy=−++===，故可设()3,0,n=，设锐二面角FBDE−−为，则22313cos2233mnmn−+−===++()223123

−=+，令()32,3tt−=，所以2221112126216121costtttt=−+−+=，设111,32sst=，则21121261cosss=−+，二次函数221112611244ysss=−+=−+

的开口向上，对称轴为14s=，所以当11,32s时，该二次函数单调递增，所以当13s=时，该二次函数有最小值21111261333−+=，当12s=时，该二次函数有最大值2111261122−+=

，所以211,31261ss−+，即13cos,22.所以锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围13,22.21.已知函数()ln,xefxaxaxaRx=−−+.（1）当0a＜时,

讨论函数()fx的单调性；（2）当1a=时,若关于x的不等式1()()1xfxxebxx++−恒成立,求实数b的取值范围.【答案】（1）函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减（2）(,2−【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的

范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为11xlnxbexx−−−„恒成立，设1()xlnxgxexx=−−，根据函数的单调性求出()gx的最小值，从而求出b的范围即可．【详解】解：（1）由题意，知()()()221xxxaxexaxeefxaxxx−−−=−−=+.当0a，0x时，

有0xaxe−.当1x时，()0fx；当01x时，()0fx.函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减.（2）由题意，当1a=时，不等式()11xfxxebxx++−恒成立.即()ln11xxexbx−+−恒

成立，即ln11xxbexx−−−恒成立.设()ln1xxgxexx=−−−.则()22221ln1lnxxxxexgxexxx−+=−+=.设()2lnxhxxex=+，则()()212xhxxxex=++.当0x时，有()0hx

.()hx()0,+上单调递增，且()10he=，1ln2024eh=−.函数()hx有唯一的零点0x，且0112x.当()00,xx时，()0hx，()0gx，()gx单调递减；当()0,xx+时，()0hx，()0gx，()gx单

调递增.即()0gx为()gx在定义域内的最小值.0000ln11xxbexx−−−.()00hx=，得0000lnxxxex=−，0112x.()*令()xkxxe=，112x.方程()*

等价于()()lnkxkx=−，112x.而()()1xkxxe+=在()0,+上恒大于零，()kx在()0,+上单调递增.故()()lnkxkx=−等价于lnxx=−，112x.设函数()lnmxxx=+，112x

易知()mx单调递增.又11ln2022m=−，()110m=，0x是函数的唯一零点.在.即00lnxx=−，001xex=.故()gx的最小值()()000000000ln1111xxxgxexxxxx−=−−=−−=.实数b的取值范围为(,2−.【

点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想,是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系x

Oy中，曲线1C的参数方程为22cos,2sinxy=+=（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4sin=.（1）求曲线1C普通方程和2C的直角坐标方程；（2）已知曲线3C的极坐标

方程为(0,)=R，点A是曲线3C与1C的交点，点B是曲线3C与2C的交点，且A，B均异于原点O，且||42AB=，求的值.【答案】（1）22(2)4xy−+=，22(2)4xy+−=；（2）34=.【解析】【分析】（

1）消去参数可得1C的普通方程，由cossinxy==可得曲线2C的直角坐标方程；（2）曲线1C的极坐标方程为4cos=，设()1,A，()2,B，则12||4|sincos|42AB=−=−=，求

解即可【详解】（1）由22cos2sinxy=+=，消去参数可得1C普通方程为22(2)4xy−+=，4sin=，24sin=由cossinxy==，得曲线2C的直角坐标方程为22(2)4xy+−=

；（2）由（1）得曲线221:(x2)4Cy−+=，由cossinxy==，可得其极坐标方程为4cos=由题意设()1,A，()2,B，则12||4|sincos|42sin424AB

=−=−=−=.sin14−=，()42kkZ−=+，0，34=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2fxxaa=−++，()124gxxx=−++．（1）解不等式(

)6gx；（2）若对任意的1Rx，都存在2Rx，使得()()12gxfx=成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）(31)x−，；（2）1a【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解不等式()6gx得解.(2)由（1）可知()gx的值域为)3,+，显然()fx的值域为[2,,)a++

,可得)3,[2,,)a+++，进而可得解.【详解】（1）因为()124gxxx=−++=33,15,2133,2xxxxxx++−−−−故由()6gx得：3361xx+或5621xx+−或33

62xx−−−解得原不等式解集为：()3,1−.（2）由（1）可知()gx的值域为)3,+，显然()fx的值域为[2,,)a++.依题意得：)3,[2,,)a+++∴23a+解得1a所以实数a的取值范围为1a.获得更

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