【文档说明】浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.237 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期杭州S9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.一、选

择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合1,0,1,2M=−，2230Nxxx=−−，则MN=（）A.1,0,1−B.0,1,2C.1−D.1−【答案】D【解析】【分析】解出集合N，利用交集的定义

可求得集合MN.【详解】因为22301Nxxxxx=−−=−或3x，且1,0,1,2M=−，故1MN=−.故选：D.2.已知复数1i2iz−=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.35-B.3i5−C.

35D.35i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果.【详解】因为()()()()1i2i1i13i13i2i2i2i555z−−−−====−++−，即13i55z=−，所以z的共轭复数为13i55

z=+，其虚部为35.故选：C.3.已知向量(),2am=，()4,8b=−，若ab=，则实数m的值是（）A.4−B.1−C.1D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量()

,2am=，()4,8b=−，且ab=所以()(),24,8m=−，所以428m==−，解得：114m=−=−，所以1m=−.故选：B.4.函数22112xxy−+=的单调递减区间为（）A.(,1−B.)1,+C.(,2

−D.)2,+【答案】B【解析】【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令221uxx=−+，因为函数12uy=在R上为单调递减函数，要求函数22112xxy−+=的单调递减区间，只需求函数221uxx=−+的单调递

增区间，又因为函数221uxx=−+的单调递增区间为)1,+，所以函数22112xxy−+=的单调递减区间为)1,+.故选：B.5.已知直线1l：330axy−−=，2l：310xay−+=，则“3a=”是“12//ll”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线平行的判断方法分析“3a=”和“12//ll”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】直线1l：330axy−−=，2l：310xay−+=，若12//ll，则有233=a，

解得3a=，经检验，当3a=时，直线12,ll不重合，符合12//ll，则3a=时，满足12//ll，而12//ll时，不能得到3a=，所以“3a=”是“12//ll”的充分不必要条件.故选：A6.将正方

形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为A.90B.60C.45D.30【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如

图，取AC，BD，AD中点，分别为O，M，N，则11,22ONCDMNAB∥∥，所以ONM或其补角即为所求的角.因为平面ABC垂直于平面ACD，BOAC⊥，所以BO⊥平面ACD，所以BOOD⊥.设正方形边长

为2，2OBOD==，所以2BD=，则112OMBD==.所以=1ONMNOM==.所以OMN是等边三角形，60ONM=.所以直线AB与CD所成的角为60．故应选B．的【点睛】本题考查异面直线所成的角.7.已知正方体

1111ABCDABCD−的棱长为1，若点P满足1321534APABADAA=++，则点P到直线AB的距离为（）A.25144B.7312C.1312D.10515【答案】B【解析】【分析】点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MNAB⊥于点N，连接PN，则P

N为所求，联立1321534APABADAA=++即可求解.【详解】如图，过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MNAB⊥于点N，连接PN，则线段PN的长即为点P到直线AB的距离，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，且1321534APABA

DAA=++，所以35AN=，23MN=，14PM=，所以227312PNMNPM=+=.故选：B8.设mR，若过定点A的动直线0xmy+=和过定点B的动直线20mxym−−+=交于点(),Pxy，则PAPB的最大值是（）A.52B.2C

.3D.5【答案】A【解析】【分析】先确定两直线所过的定点A、B的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可.【详解】依题意，直线0xmy+=过定点()0,0A，直线20mxy

m−−+=可整理为()()120mxy-+-=，故直线过定点()1,2B，又因为直线0xmy+=和直线20mxym−−+=始终垂直，P为两直线交点，所以PAPB⊥，则()()2222210205ABPAPB=+=-+-=，由基本不等式可得2

225222PAPBABPAPB+祝==，当且仅当102PAPB==时取等号，所以PAPB的最大值是52.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()

1,2−−A，()2,4B两点到直线l：10axy++=的距离相等，则实数a的值可能为（）A.4−B.3C.2−D.1【答案】AC【解析】【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.【详解】因为()1,2−−A，()2,4B两点到直线

l：10axy++=的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上，.当AB所在的直线平行于直线l时，因为42221ABk+==+，所以直线l的斜率2a−=，所以2a=−；当AB的中点1224,22−+−+在直线l上时，11102a++=，解得4a=−，故选

：AC.10.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.得分在[40，60)之间的共有40人B.从这100名参赛

者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5C.估计得分的众数为55D.这100名参赛者得分的中位数为65【答案】ABC【解析】【分析】根据图中数据首先求出a，然后逐一判断即可.【详解】根据频率和为1，由

(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正确；得分在[60，8

0)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60，80)的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50260+＝55，即估计得分的众数为55，C正确；由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，

70)内，所以中位数的估计值为60＋0.50.463.30.03−故选：ABC11.已知0ab，且1ab=，则下列式子中正确的有（）A.22loglog0ab+B.22loglog0abC.224ab+D

.210ba−【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式即可判断B、C两个选项，对数的运算性质得到22loglog0ab+=，可判断A，通过1ab=把21ba−转换成2bb−，进而就可以判断D选项.【详解】选项A：2222logloglo

glog10abab+===，A错误；选项B：()()2222222logloglogloglog044ababab+==，当且仅当22loglogab=，即ab=时，等号成立.又因为0ab，所以B正确；选项C：2222222

4222babaabab++==，当且仅当ab=时，等号成立.又因为0ab，所以C正确；选项D：因为1ab=，则1ba=，22214112bbbba−=−−=−又因为0ab，则10b，所以当1

2b=时，210ba−，D错误.故选：BC12.在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，E，F，G分别为11BC，11AD，CD的中点，O，P分别为BE，1CC上的动点，作平面BE∥截正方体的截面为，则下列说法正确的是（

）A.不可以是六边形B.存在点P，使得BEFP⊥C.当经过点F，P时，点D到平面的距离的最大值为263D.OPPG+的最小值为655【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，可以把截面补全可知截面的形状为六边形故A选项错误；对于B选项，BEF

P⊥等价于FP在平面11BCCB上的射影EP与BE垂直，从而计算出点P的位置；对于C选项，运用等体积法将问题转化为求P点到BE距离的最小值；对于D选项，求空间折线段的最小值要展成直线段.【详解】如图，对于A取1AF中点H，1AA中点I，1CC中点L，在线段AB上取点J，使得4AJA

B=，在线段BC上取点K，使得4CKBC=，在线段11CD，上取点M，使得1114CMCD=.易知HMILJK∥∥，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，所以H，I，J，K，L，M六点共面，又因为BEKL∥，所以BE∥平面HIJK

LM故A错误.对于B，当114CPCC=时，在BEP△中结合勾股定理可知BEEP⊥.因为BEEF⊥，EFEPE=，所以BE⊥平面EFP，又FP平面EFP，所以BEFP⊥，故B正确.对于C，当经过点F，P时，为平面AF

P.因为114222323PADFV−==是定值，所以要使得点D到平面的距离最大，那么AFP的面积最小.由于AF为定值，即P到AF的距离最小.由于EF⊥平面11BCCB，且AFBE∥，只需求P到BE最小距离即可，当P运动到1C时距离最小，则P到BE的最小距离为112

25sin155CEBEB==，即P到AF的最小距离为222524255+=，此时1245625AFPS==△，则点D到平面的距离的最大值为342636PADFAFPVS−==△，故C正确.对于D，延长BC至BG使得1CGCG==，则PGPG=，当且仅当O，P，G

三点共线且垂直于BE时，OPPG+取最小值，最小值为1265sinsin355BGOBGBGBEB===，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面与平面垂直，平面与平面的

法向量分别为()2,0,5u=−，(),3,2vt=，则t值是_________．【答案】5【解析】【分析】根据面面垂直时，两个平面的法向量垂直，则0uv=，利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，的得到等式求解即可.【详解】因为平面与平面垂

直，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，所以0uv=，即203520t-+??，解得5t=.故答案为：5.14.在三棱柱111ABCABC-中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱1AA⊥底面ABC，点D在棱1BB上，且1BD=，则AD与平面11AACC所成的角的正弦

值为__________.【答案】64【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：取AC的中点O，连接OB，过点O作1//OzAA，依题意可得BOAC⊥，1AA⊥底面ABC，所以Oz⊥底面ABC，如图建立空间直角坐标系，则10

,,02A−，3,0,12D，所以31,,122AD=，又平面11AACC的法向量可以为()1,0,0n=r，设AD与平面11AACC所成的角为，所以362sin4

2ADnADn===，AD与平面11AACC所成的角的正弦值为64.故答案为：6415.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合0,1,2,3,4,5A=内取值的点中任取一个点，此点正好在直线2yx=上的概率为___________．【答案】112【解

析】【分析】依题意，试验发生包含的事件共有6636=种结果，其中满足条件的有3种结果，列举出结果即可求得概率.【详解】试验发生包含的事件是横坐标与纵坐标都在集合0,1,2,3,4,5A=内任取一个点，

所有的可能结果有：()0,0，()0,1，()02,，()0,3，()0,4，()0,5，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()20,，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4

，()3,5，()4,0，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，()4,5，()5,0，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，共6636=种结果，满足点正好在直线2yx=上的有：()0,0，()1,2，()2,4，共有3种结果，所以所求概率

是313612P==，故答案为：112.16.设函数()fx的定义域为R，()1fx+为奇函数，()2fx+为偶函数，当1,2x时，()3fxaxbx=+．若()()036ff+=，则20234f=_________．【答案

】23164−【解析】【分析】由题设可得()()11fxfx+=−−+以及()()22fxfx+=−+，利用赋值法可得到方程组0826ababì+=ïïíï--=ïî，从而得到1,2x时，()fx的解析式，再利用上述两个关系式推出函数()fx是以4

为周期的函数，即可求得20234f的值.【详解】因为()1fx+为奇函数，则()()11fxfx+=−−+，令0x=，则()()11ff=−，故()10f=，则有0ab+=，令=1x−，则()()0282ffab=-

=--，又因为()2fx+为偶函数，()()22fxfx+=−+，令1x=，则()()310ff==，又因为()()036ff+=，即826ab−−=，联立0826ababì+=ïïíï--=ïî，解得：11ab=−=，所以当1,2x时，()3fxxx=−+，又因为()()()()()

221111fxfxfxfxfx+=−+=−−+=−−+=−，即()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是以4为周期的函数，故32023777723112644444464fff=+==−+=−

.故答案为：23164−.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()2,3A，()4,1B−，()0,3C−．（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC（包括端点

）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【答案】（1）直线AB的斜率为13，直线AC的斜率为3（2）1,33【解析】【分析】（1）由斜率公式直接求解；（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.【小问1详解】由斜率公式可

得直线AB的斜率131423ABk−==−−，直线AC的斜率()33320ACk−−==−，故直线AB的斜率为13，直线AC的斜率为3．【小问2详解】当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由ABk增大到ACk，所以直线AD斜率的变化范围是

1,33.18.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足2ONNM=，点P满足23APAN=．的（1）用向量OA，OB，OC表示OP；（2）求OP．【答案】（1）122399OPOAOB

OC=++（2）339OP=．【解析】【分析】（1）由空间向量的线性运算直接求解；（2）结合（1）的结论，由空间向量的数量积公式求模长.【小问1详解】因为M是棱BC的中点，点N满足2ONNM=，点P满足23APAN=．所以()221212214333333339OPOAAPOAANOAON

OAOAONOAOMOA=+=+=+−=+=+=+()11222399OBOCOAOBOC+=++．【小问2详解】因为四面体OABC是正四面体，则1OAOBOC===，111122OAOBOBOCOAOC====，22122399OPOAOBOC=++22214

412221222298181399939OAOBOCOAOBOBOCOAOC=+++++144242339818127812781=+++++=，所以339OP=．19.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加

以解答．①与直线250xy−+=垂直；②过点()2,3−；③与直线220xy++=平行．问题：已知直线l过点()1,1P−，且．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知()3,1M−，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得MNON−最大．【答案

】（1）210xy+−=（2）113,1515【解析】【分析】（1）若选择①，则由垂直关系可得直线l的斜率2k=−，然后利用点斜式可求出直线l的方程；若选择②，则由斜率公式可求出直线l的斜率2k=−，然后利用点斜式可求出直线l的方程；若选

择③，则由平行关系可得直线l的斜率2k=−，然后利用点斜式可求出直线l的方程；（2）设点O关于直线l的对称点为(),Qxy，利用对称关系可求得42,55Q，则由图可知MNONMNQNQM−=−≤，当且仅当Q，

N，M三点共线时取得等号，从而可求得结果.【小问1详解】选择①与直线250xy−+=垂直，则直线l的斜率112k=−，解得2k=−，又其过点()1,1P−，则直线l的方程为：()121yx+=−−，整理得：210xy+−=；选择②过点()2,3−，又直线l过点()1,1P−则直线l的斜

率31221k−+==−−，则直线l的方程为：()121yx+=−−，整理得：210xy+−=；选择③与直线220xy++=平行，则直线l的斜率2k=−，又其过点()1,1P−，则直线l的方程为：()121yx+=−−，整理得：210xy+−=；综上所述，不

论选择哪个条件，直线l的方程均为：210xy+−=．【小问2详解】根据（1）中所求，可得直线l的方程为：210xy+−=，又()3,1M−，设点O关于直线l的对称点为(),Qxy，则()21yx−=−，且21022xy+−=，解得42,55Q；显然MNONMNQN

QM−=−≤，当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；又直线QM的斜率711k=−，故其方程为：()71311yx+=−−，即7101111yx=−+，由7101111210yxxy=−++−=，得1151315x

y==，则点N的坐标为113,1515时，使得MNON−最大.20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，13AAAC==，4AB=，5BC=，点D是线段BC的中点，（1）求证：1ABAC⊥（2）求D点到平面11ABC的距离；【答案】（1）证明见解析（2）32

4【解析】【分析】（1）由题意ABAC⊥，由1AA⊥平面ABC得1AAAB⊥，从而AB⊥平面11ACCA，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面11ABC的法向量，然后利用点到平面的距离的向量公式求解.【小问1详解】△ABC中

，3AC=，4AB=，5BC=，所以ABAC⊥，在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1AAAB⊥，又因为1AAACA=，AC平面11ACCA，1AA平面11ACCA，所

以AB⊥平面11ACCA，1AC平面11ACCA，所以1ABAC⊥．【小问2详解】由（1）知，1AA⊥平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，所以1AAAB⊥，1AAAC⊥，又ABAC⊥，如图建

立空间直角坐标系Axyz−，则3,2,02D，()10,0,3A，()10,4,3B，()3,0,0C，()13,0,3AC=−，()110,4,0AB=，3,2,02CD=−，设平面11ABC的一个法向量为(),,nxyz=，则111

33040nACxznABy=−===，解得0xzy==，令1z=，则()1,0,1n=，设D到平面11ABC的距离为d，得332242CDndn===．21.如图，在多面体ABCDEF中，四

边形ABCD是一个矩形，,2,2,4EFACACEFABAEAD====∥，120BAE=.（1）求证：AE//平面BFD；（2）若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）利用线面平行

的判定定理来证得AE//平面BFD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值.【小问1详解】设ACBDO=，连接OF，由于//,EFAOEFAO=，所以四边形EFOA是平行四边形，所以//AEOF，由于AE平面,BFD

OF平面BFD，所以AE//平面BFD.【小问2详解】依题意，平面EAB⊥平面ABCD，120BAE=，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，平面EAB的法向量为()0,1,0m=ur，()()()1,0,3,2,4,

0,0,4,0ECD−，()10,2,32AFAEEFAEAC=+=+=，()()2,0,0,0,2,3DCDF==−，设平面FCD的法向量为(),,nxyz=，则20230nDCxnDFyz===−+=，故可设()0,3,2n=.设平面

EAB与平面FCD的夹角为，则321cos77mnmn===.22.已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，222coscos1cosACB+=+且1b=，（1）求B；（2）若12ABAC

，求11ac+的取值范围.【答案】（1）π2（2）()22,+【解析】【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12ABAC推得202c，再由221ac+=设πsin,cos,0,4ca==，将11ac+转化为sincossinco

s+，再引入()sincos,1,2tt=+，得()2112,1,21ttact+=−，最后利用复合函数的单调性即可求解.【小问1详解】因为222coscos1cosACB+=+，则2221sin1sin11sinACB−+−=+−，所以222sinsinsinACB+

=，则222acb+=，所以ABC为直角三角形，所以π2B=【小问2详解】221cos2ABACABACAABc===，所以202c，而221ac+=，所以设πsin,cos,0,4ca==，所以1111si

ncossincossincosac++=+=，令()πsincos2sin,1,24tt=+=+，又因为22(sincos)12sincost=+=+，所以21sincos2t−=，所以()2112,1,21t

tact+=−，令()222,1,211tytttt==−−，因为1tt−在()1,2t上单调递增，所以21ytt=−在()1,2t上单调递减，所以222122y=−，所以11ac+的取值范围为()22,+.获得更多资源请扫码加入享学资源

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