【文档说明】福建省漳州市2023届高三第四次教学质量检测数学试题 含解析.docx，共(26)页，1.842 MB，由小赞的店铺上传

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福建省漳州市2023届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题本试卷共4页.满分150分.考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与

考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将

试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知U是全集，集合A，B满足()UUABA=痧，则下列结论一定成立的是（）A.ABB.BAC.UBAðD.AB=【答案】C【解析】【

分析】根据集合包含的关系，结合子集的定义即可求解.【详解】由()UUABA=痧可得()UABð,进而UBAð，故C正确，ABD错误，故选：C2.已知等差数列na的前n项和为nS，3912aa+=，则11S=（）A.66B

.72C.132D.144【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.【详解】()()11111391211662221111aaSaa++====，故选：A3.复数z满足1izzz=−=−，则z=（）A.12B.22C.2D.2【答案】B【解析】

【分析】根据复数的模长公式即可化简求解.【详解】设()i,,Rzabab=+,由1izzz=−=−得()()i1i1iababab+=−+=+−，所以()()22222211ababab+=−++−=，解得12ab

==，所以z=22112222+=，故选：B4.函数()()sin,0π,0xxxfxfxx=+的导函数为()fx，则3π2f−=（）A.0B.1C.π2D.π12+【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的性质可得()2π,πx--时()()2π

sinfxxx=+，即可求导代入求解.【详解】当()2π,πx--时，则()()ππ,0,2π0,π,xx+−+()()()()()()π2π2πsin2π2πsinfxfxfxxxxx=+=+=++=+，此时()()sin2πcosfxxxx=++，所以3π

3π3π3πsin2πcos1012222f−=−+−+−=+=，故选：B5.已知()*12nxnx++N的展开式中常数项为20，则n=（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】将三项式转化为二项式，求出通项公式求解

即可.【详解】211122nnnxxxxxx++=++=+，其通项公式为：()()222rr12n2n1CCrnrnrrTxxx−−+==，当nr=时，n2nC20=，解得：3n=.故选：A.6.漳州某校为加强校园安全管理，欲安排1

2名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（）A.1213B.1113C.155D.355【答案】D【解析】【分析】根据分组分配计数原理计算.【详解】将12个人平均分为3组，有44434412

84312833CCCACCA=种方法，将甲乙丙分在同一组有14431498439822CCCA3CCA=种方法，所以甲乙丙在同一校门的概率4189441283CC3CC55p==；故选：D.7.已知ABC的外

接圆的圆心为O，且2AOABAC=+，3ABOA=，则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.34BCuuurC.14BC−D.34BC−【答案】B【解析】【分析】先判断出ABC为直角三角形，再结合3ABOA=求

出30MBO=，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项.【详解】因为2AOABAC=+，故O为BC的中点，而O为外心，故ABC为直角三角形，且90,BACBOOA??，取AB的中点为M，连接MO，则MOAB⊥，因为3ABOA=，故

32AMOA=，故3cos2MAO=，而MAO为锐角，故30MAO=，故30MBO=，所以32BABC=，而向量BA在向量BC上的投影向量为223324BABCBABCBCBCBCBCBC==，故选：B.8.已知椭圆C：()222210xyabab

+=的左、右焦点分别为1F、2F，以2F为圆心的圆与x轴交于1F，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段1AF与C交于点M.若BM与C的焦距的比值为313，则C的离心率为（）A.312−B.12C.3

14+D.712−【答案】D【解析】【分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()0,3Ac，()3,0Bc，求出直线1FA的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.【详解】设椭圆的半焦距为c，因为以2F为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c，故其方程为：()2224x

cyc−+=，令0x=，则3yc=，结合A在y轴正半轴上，故()0,3Ac，令0y=，则xc=−或3xc=，故()3,0Bc.故13030()FAckc−==−−，故直线1:33FAyxc=+.设()(),330Mmmcm+，因为A在y轴的正

半轴上，1F在x轴的负半轴上，故0m，而31231233BMcc==，故()()2221243339cmmcc−++=，整理得到：221649mc=，故23mc=−，故33cy=，所以222241931ccab+=，故()22241931eee+=−，整理

得到：4241690ee−+=，故712e−=，故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.二、多项选择题：本大题共

4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.把函数sinyx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函

数()ygx=的图象，则（）A.()gx在π5π,36上单调递减B.()gx在0,π上有2个零点C.()ygx=的图象关于直线π12x=对称D.()gx在π,02−上的值域为33,22−【答案】BC【解析】【分析】由题意，由函数

sin(+)yAx=的图象变换规律，求得()ygx=的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sinyx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin

2yx=的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(2)3ygxx==+的图象，π5π(,)36x时，π2(π,2π)3x+，则()gx在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)12

6单调递增，故A错误；令()0gx=，得π2π(Z)3xkk+=，即ππ26kx=−，因为[0,π]x，所以ππ0π26k−，解得1733k，因为Zk，所以1k=或2k=，所以()gx在0,π上有2个零点，故B正确；因为ππππ()sin(2)sin1121232g=

+==，为()gx的最大值，所以直线π12x=是()ygx=的图象的一条对称轴，故C正确；当π,02x−时，π2ππ2,333x+−，3()1,2gx−，故D错误.故选：BC10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志

愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A，B两点和

敌方阵地D点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE是抛物线Γ的一部分，其中E在直线AB上，抛物线的顶点C到直线AB的距离为100米，DE长为400米，CDCE=，30CAB=，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x

pyp=−，则（）A.200p=B.Γ的准线方程为100y=C.Γ的焦点坐标为()0,50−D.弹道CE上的点到直线AC的距离的最大值为5033【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC

；根据题意，求出直线AC的方程，不妨设CECE上一点为Q，判断出当Q该点处的切线与直线AC平行时，其到直线AC的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于A

B.此时()0,0C，()200,100E−−，()200,100D−，抛物线Γ的方程为()220xpyp=−，即()22002100p=−−，解得200p=，故A正确；抛物线Γ的方程为2400xy=−，准线方程为100y=，

焦点坐标为()0,100−，故B正确，C错误；因为30CAB=，()0,0C，故3tan303ACk==，所以直线AC的方程为33yx=即30xy−=，不妨设CE上一点为()00,Qxy，0200,0x−，当Q该点处的切线与直线AC平行时，其到直线AC的距离最大.由21400yx=−可

得1200yx=−，故0132003x−=，解得()00200100,,33Qxy=−−，此时Q点到直线AC的距离为()222001003350333313−+=+−，故D正确.故选：AB

D.11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E为BC的中点，点P，Q分别为线段1BD，AD上的动点，则（）A.ACDP⊥B.平面DEP可能经过顶点1CC.PQ的最小值为22D.APC的最大值为2π3【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，建立空间

直角坐标系，利用坐标表示向量，用向量表示空间中的垂直关系，求点到平面的距离，以及空间角的计算，即可结合选项逐一求解．【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：则(0D,0,0),(1A,0,0),(1B,1,0),(0C,1,0),1(0C,1,

1),1(0D,0,1),1(1A,0,1),1(1B，1，1)，1(2E,1,0)，设1(BPBD==−,−,)，则(1P−,1−,)，[0,1]；设(DQDA==,0,0)，则(Q,0,0),[0,1]，所以(1AC=−，1，0)，(1DP

=−，1−，)，(1)(1)0ACDP=−−+−=，所以ACDP⊥，即ACDP⊥，A正确；因为1(2DE=,1,0),(1DP=−,1−,)，设平面DEP的一个法向量为(mx=,y,)z，则00DEmDPm==，即102(1)(1)0xyxyz+=

−+−+=，令y=，则2x=−，1z=−，所以(2m=−,,1)−，又因为1(0DC=,1,1)，所以点1C到平面DEP的距离为12222|||1|10||4(1)621mDCdm+−===++

−−+，所以点1C到平面DEP的距离不能为0，即平面DEP不过点1C，B错误；因为22222112(1)(1)(1)2()222PQ=−−+−+=−−+−+，当且仅当12λμ==时取“=”，所以PQ的最小值为22，C正确；因为(PA=,1−,)−，(1

PC=−,,)−，2222222222(1)(1)321cos1321321||||(1)(1)PAPCAPCPAPC−+−+−====−−+−++−+−++，设2212()3213()33f=−+=−+，[0，1]，11[33−−，

2]3，所以21()[03−，4]9，所以213()[03−，4]3，所以2()[3f，2]，所以11[()2f，3]2，所以111[()2f−−，1]2，所以1cos[2APC−，1]2，当1cos2APC=−时APC最大，此时2π3AP

C=，选项D正确．故选：ACD．12.已知函数()fx的定义域为()0,+，其导函数为()fx，且()()lnfxfxxx=+，11eef=−，则（）A.()11e1e1eff−B.()()e1ee

1ff−C.()fx在()0,+上是增函数D.()fx存在最小值【答案】ABC【解析】【分析】AB选项，构造()()1exFxfx−=，求导得到其单调性，从而判断AB选项，CD选项，构造()()1exFxfx−=，二次求导，得到其单调性，判断CD.【详解】设()()1exFxfx−=，则()

()()()11eelnxxFxfxfxxx−−=+=，当1x时，()0Fx，当01x时，()0Fx，()()1exFxfx−=在()1,+上单调递增，在()0,1上单调递减，A选项，因为11

e，所以()11eFF，即()11e1e1eff−，A正确；B选项，因为e1，所以()()e1FF，即()()e1ee1ff−，B正确；C选项，()()1exFxfx−=，则()()()1e

xFxFxfx−−=，令()()()gxFxFx=−，则()()()111elnelne1lnxxxgxxxxxx−−−=−=+，当1ex时，()0gx，当10ex时，()0gx，故()()()gxFxFx=−在10,e上单调递减，在1,e+

单调递增，又11111111eeee11111111elnee+e0eeeeeeeegFFf−−−−=−=−=−=，故()()()0gxFxFx=−恒成立，所以()()

()10exFxFxfx−−=在()0,+上恒成立，故()fx在()0,+上是增函数，C正确；D选项，由C选项可知，函数()fx在()0,+上单调递增，故无最小值.故选：ABC【点睛】利用函数()fx与导函数()fx的相关不

等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0fxfx+，则构造()()exgxfx=，若()()0fxfx−，则构造()()xfxgx=e，若()()0fxxfx+，则构造()(

)gxxfx=，若()()0fxxfx−，则构造()()fxgxx=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出一个定义域为R且图象不经过第二象限的幂函数()fx=______.【答案】x（答案不唯一

）【解析】【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．【详解】()fxx=，定义域为R，图象不经过第二象限，且为幂函数，符合题意．故答案为：x（答案不唯一）．14.某企业统计中级技术人员和高级技术人员的年龄，中级技术人员的人数为40，其年龄的平均数为3

5岁，方差为18，高级技术人员的人数为10，其年龄的平均数为45岁，方差为73，则该企业中级技术人员和高级技术人员的年龄的平均数为______，方差为______.【答案】①.37②.45【解析】【分析】设中级技术人员分别为

1240,,,xxx，高级技术人员分别为1210,,,yyy，然后利用平均数，方差公式化简整理即可求解.【详解】设中级技术人员分别为1240,,,xxx，高级技术人员分别为1210,,,yyy，则由题意可得40113540iix==，

10114510iiy==，所以4011400iix==，101450iiy==，所以4010111850iiiixy==+=，则40101113750iiiixy==+=，即中级技术人员和高级技术人员的年龄的平均数37z=，又()()2221140

140Sxxxx=−++−()()22221240140124040xxxxxxx=+++−+++()22214012404040xxxxx=++−+()2221401401840xxx=++−=，则2222124018404049720

xxxx+++=+=，同理，()222221101107310Syyy=++−=，则2221107301020980yyy++=+=，所以最终方差()()22222214011015050Sxxyyz=+++++−()21497202098050374550=+−=.故答

案为：37；4515.由3sin1083sin364sin36=−，可求得cos36=______.【答案】514+【解析】【分析】由题意得到3sin723sin364sin36=−，利用二倍角的正弦公式得到24cos362c

os3610−−=，即可求解．【详解】3sin1083sin364sin36=−，3sin723sin364sin36=−，32sin36cos363sin364sin36=−，sin360，22cos

3634sin36=−，24cos362cos3610−−=，15cos364+=或154−（舍)．故答案为：154+．16.已知正四棱台1111ABCDABCD−的上底面的边长为2，下底面的边长为22，记该

正四棱台的侧面积为1S，其外接球表面积为2S，则当2S取得最小值时，12SS的值是______.【答案】378【解析】【分析】由球的表面积公式求解四棱台的外接球表面积，并求出侧面积，然后求解即可.【详解】当2S取得最小值时，则球心O在

正四棱台1111ABCDABCD−的下底面内，1O为上底面的中心，如图所示，由此可得外接球的半径为122222=，进而可得1413OO=−=，进而可求侧面的斜高()221214322EE=+=.则侧面

的面积()111442226722S=+=，又22416SR==，所以12673716π8πSS==.故答案为：378.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，且11a=，21nnS

na=+.（1）求na的通项公式；（2）记数列12lognnaa+的前n项和为nT，求集合*10,NkkTk中元素的个数.【答案】（1）nan=（2）1023【解析】【分析】（1）根据递推关系及nS

与na的关系化简得出11nnaann+=+，即可求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出nT，再解不等式即可得解.【小问1详解】因为21nnSna=+，所以()21nnSna=+，所以()()11122221nnnnnaSSnana+++=−=+−+所以()11nnnana+=

+，即11nnaann+=+.又因为11a=，所以11111nnaaann+====+，所以nan=.小问2详解】因为()122221logloglog1lognnannnan++==+−，所以()()()()22222222log2log1log3log2l

og4log3log1lognTnn=−+−+−+++−()()222log1log1log1nn=+−=+【令()n2log110Tk=+，得1021k−，*kN所以集合*10,kkTk

N∣中元素的个数为10211023−=.18.在平面四边形ABCD中，90ABC=，135C=，5BD=，2CD=.（1）求cosCBD；（2）若ABD△为锐角三角形，求ABD△的面积的取值范围.【答案】（1）255（2）()1,5【解析】【分析】

（1）在BCD△中，由正弦定理可得sinCBD，从而求得cosCBD.（2）解法一：由（1）求得sinADB525sincos55AA=+，AB21tanA=+，从而ABDS=21tanA+，再利用ππ22ABDA−，即可求得ABD△面积的取值范围；解法

二：作1ADAB⊥于1A，作2ADBD⊥于D，交BA于2A，求得1AD，1AB，2AD，分别求出1ABDS，2ABDS，利用12ABDABDABDSSS△△△即可求得范围.【小问1详解】在BCD△中，由正弦定理可得sinsinBDCDBCDCBD=，所以2252sin55CBD==，又

π0,4CBD，所以225cos1sin5CBDCBD=−=.【小问2详解】解法一：由（1）可知，π25sinsincos25ABDCBDCBD=−==，因为ABD为锐角，所以

25cos1sin5ABDABD=−=，所以()sinsinADBAABD=+sincoscossinAABDAABD=+525sincos55AA=+，在ABD△中，由正弦定理得sinsinABBDADBA=，所以5sinsin2cossins

inADBAAABAA+==21tanA=+，1sin2ABDSABBDABD=122521512tan5tanAA=+=+，因为()πADBABDA=−+，且ABD△为锐角三角形，所以()

π0π2π02ABDAA−+，所以ππ22ABDA−，所以πtantan2AABD−πsincos12πsin2cos2ABDABDABDABD−===−，所以10

2tanA，所以2115tanA+，即15ABDS△，所以ABD△的面积的取值范围为()1,5.解法二：由（1）可知，25sinsincos25πABDCBDCBD=−==，因为ABD为锐角，所以5cos5

ABD=，tan2ABD=，如图，作1ADAB⊥于1A，作2ADBD⊥于D，交BA于2A，所以125sin525ADBDABD===，15cos515ABBDABD===，所以112112ABDS==△，又2ta

n5225ADBDABD===，所以2125552ABDS==△.由图可知，仅当A在线段12AA上（不含端点）时，ABD△为锐角三角形，所以12ABDABDABDSSS△△△，即15ABDS△.所以ABD△面积的取值范围为()1,5.19.如图，AB

是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PC⊥平面ABC，3AC=，22PCBC==，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为BD，D在圆O上.（1）在图中作出交线BD（说明画法，不必证明），并求三棱锥DACE−的体积；（2）若点M满足()12BMBDBP=+R，且CM

与平面PBD所成角的正弦值为105，求的值.【答案】（1）答案见解析，36（2）12=或110=−【解析】【分析】（1）由线线平行即可找到直线BD，由等体积法即可求解体积，（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解线面角，进

而可求解.【小问1详解】过点B作BDAC∥交圆O于点D，（E，F分别为PA，PC的中点，所以//EFAC,又BDAC∥，所以//EFBD,故BD为平面BEF与平面ABC的交线）因为AB是圆O的直径，所以90ADBACB==

，BDAC∥，所以18090CBDACB=−=，所以四边形ACBD为矩形，因为3AC=，1ADBC==，所以133122ACDS==△，因为PC⊥平面ABC，E为PA的中点，所以点E到平面ACD

距离为12PC，所以11133132326DACEEACDACDVVSPC−−====△【小问2详解】以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向作为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则()3

,0,0A，()0,1,0B，()0,0,0C，()3,1,0D，()002P,,，所以()0,1,0CB=，()0,1,2BP=−，()3,0,0BD=，13,,222BMBDBP=+=−，3,1,22CMCBBM=+=−

设平面PBD的法向量为(),,nxyz=，则0,0,nBDnBP==即30,20xyz=−+=，不妨取1z=，得()0,2,1n=因为CM与平面PBD所成角的正弦值为105，的所以2210cos,575254CMnCMnCMn===

−+所以220810−−=，所以12=或110=−20.某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行n次(),2nnN科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为()01pp，若第

k次()1,2,,1kn=−执行科考任务能成功返航，则执行第1k+次科考任务且能成功返航的概率也为p，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为X万元的科考数据，且“X0=”的概率为0.8，“200X=”的

概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为Y万元.（1）若0.5p=，2n=，求Y的分布列；（2）求()EY（用n和p表示）.【答案】（1）分布

列见解析（2）()4011nppp−−【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算公式即可求解，（2）由独立重复事件的概率公式，结合期望公式以及期望的性质即可求解.【小问1详解】若0.5p=，2n=，则Y的所有取值为0，200，400，记一艘该型号飞艇第

i次执行科考任务能成功返航为事件iA，获得价值为200万元的科考数据为事件iB，()1,2i=.则()()()()111211220PYPAPABAPABAB==++()10.810.80.80.86ppppp=−+−+=，()()()()11221121122200PYPAB

ABPABAPABAB==++()0.20.80.210.80.20.13pppppp=+−+=，()()12214000.20.20.01PYPABABpp====所以Y分布列为Y0200400

P0.860.130.01【小问2详解】解法一：iZ取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第i次科考任务且在此次任务中获得价值200万元的科考数据，则200iZ=，否则0iZ=，()1,2,3,,in=.因为iZ分布列为iZ0200P10.2ip−0.2ip所以()()010.22

000.240iiiiEZppp=−+=因为12nYZZZ=+++，所以()()()()21nEYEZEZEZ=+++()()2401401nnpppppp−=+++=−解法二：（2）因为X的分布

列为X0200P0.80.2所以()00.82000.240EX=+=，记一艘该型号飞艇共可成功返航Z次.则Z的全部取值为0,1,2,,n，且Z的分布列为Z012…n1−nP1p−()1pp−()21p

p−…()11npp−−np所以()()()()()()2101112111nnEZpppppnppnp−=−+−+−++−−+()()21121nnpppnpnp−=−+++−+的的所以()()()()23111221nnnpEZpppnpnpnp−

+=−+++−+−+，所以()()()()()2311111nnnpEZpppppnpnpp−−=−++++−−+−所以()()2311nnnEZppppnpnp−=++++−−+()23111nnnpppppppp−−=+++++=−

，所以()()()()4011nppEYEXEZp−==−.21.已知R是圆M：()2238xy++=上的动点，点()3,0N，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MSNL∥，动点L的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若过点()2,0P−的直

线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.【答案】（1）()22102xyy−=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得点L在以M，N为

焦点，22为实轴长的双曲线上，且焦距为23，从而可求出曲线C的方程；（2）由条件可设l：2xmy=−，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当()1,0Q−时，可求得0AQBQkk+=，则AQB的平分线为定直线=1x−，从而可得结论.【小问1详解】圆M的圆心为()3,0M−，半径22r=，

因为MSNL∥，所以MSRLNR∽△△，又因为MRMS=，所以LRLN=，所以2223LMLNLMLRMRrMN−=−====，所以点L在以M，N为焦点，22为实轴长的双曲线上，设双曲线的方程为()22222210,0,xyabcabab−==+，则222a=，

223c=.所以2a=，3c=，1b=又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为()22102xyy−=.【小问2详解】在x轴上存在定点()1,0Q−，使得QAB的内心在一条定直线上.证明如下：由条件可设l：2xmy=−.代入2212xy−=，得()222420mymy−−+=，设()11,Axy，

()22,Bxy，则22220Δ168(2)0mmm−=−−，得22m，所以121222420,022myyyymm+==−−所以12122yymyy+=，取()1,0Q−，则11222121112121AQBQyyyykkxxmymy+=+=+++−+−+()()()

1212122011myyyymymy−+==−−又A，B都在x轴上方，所以AQB的平分线为定直线=1x−，所以在x轴上存在定点()1,0Q−，使得QAB的内心在定直线=1x−上.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，

考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关键是取()1,0Q−，通过计算0AQBQkk+=，可得定直线为=1x−，考查数学计算能力，属于较难题.22.已知函数()e2exxfxa−=++与()21gxxx=−

+的图象有公切线1ymx=+.（1）求实数m和a的值；（2）若12ee3xx+=，且()()()12123fxfxxxk++，求实数k的最大值.【答案】（1）1m=−，2a=−（2）2532ln1082−【解析】【分析】（1）先利用函数(

)gx与直线相切求出m，再利用函数()fx与直线相切结合导数的几何意义求出a；（2）化简()()()12123fxfxxxk++得121210e6exxxx+++−()123xxk++，令12xx

t+=，则32ln2t，构造函数()10e363etthttk=+−−−，利用导数法研究函数最值即可求解.【小问1详解】将1ymx=+代入21yxx=−+，得()210xmx−+=，由()2Δ10m=+=，得1m=−，所以切线方程为1yx=−+，因为()e2exxfx

−=−，设曲线()yfx=与切线相切于点()00,1Axx−+，则()01fx=−，所以002ee20xx+−=，解得0e1x=或0e2x=−（舍去），所以00x=，又因为()001fxx=−+，即()01f=，即31a+=，所以2a=−，所以1m=−，2a=−.

【小问2详解】因12ee3xx+=，所以()()12121222e2e2eexxxxfxfx=+−+−()()12112212122222e11e11e2e2e2e2eeeexxxxxxxxxx−

+−+−+−+==为()()()()121212222e1e1e1e11eexxxxxx−−+−+−+=()1212112212222eeee1e2e1e2e11eexxxxxxxxxx−+++−++−++=()()()12121212

1222ee31ee2ee2ee3eexxxxxxxxxx−+++−−++=()()12121212121222ee292ee63e6e10eeexxxxxxxxxxxx+++−+−−+−+==121210e6exxxx++=+−，因为1212123ee2ee2exxxxxx+=+=

，所以1290<e4xx+，所以1232ln2xx+，仅当123ln2xx==时，等号成立，令12xxt+=，则32ln2t，因为()()()121233fxfxxxk++，所以当32ln2t时，10e3630etttk+−−−恒成立，令()10e363etthttk=+−−−，

3,2ln2t−，则()10e3etth=−−在3,2ln2−上单调递增，所以()32ln02hth.所以()ht在3,2ln2−上单调递减，所以()min32

532ln6ln302362hthk==−−，所以2532ln1082k−，所以k的最大值为2532ln1082−.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求

函数单调性、最值是解决问题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com