【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.208 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中2019—2020学年度第二学期第一次质量检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设1i2i1iz−=++，则

||z=A.0B.12C.1D.2【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：()()()()1i1i1i2i2i1i1i1iz−−−=+=++−+i2ii=−+=，则1z=，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要

考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知某

地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.100，20B.200，20C.100，10D.200，

10【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++=，其中高中生人数为20002%40=，高中生的近视人数为4050%20=，故选B.【

考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.3.已知0a，且1a，则“函数xya=在R上是减函数”是“函数3(2)yax=−在R上是增函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】【分析】若函数()xfxa=在R上是减函数，则01,a这样函数()()32gxax=−在R上单调递增；若函数()()32gxax=−在R上是增函数，则20,2.aa−故选A.【考点定位】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定

，从基础知识出发，通过最简单的指数函数()xfxa=入手，结合熟知的三次函数()3txx=设计问题，考查了综合解决问题的能力【详解】请在此输入详解！4.已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：x01234y2.24.3t4.86.7且回归方程是ˆ0.952.6yx=+，

则t=（）A.2.5B.3.5C.4.5D.5.5【答案】C【解析】由题意得，根据表中的数据，可知0123425x++++==，且2.24.34.86.71855tty+++++==，所以180952265t+=+，解得4.5t=，故选C.5.已知命题1p：函数22xxy−=−在R为增函数，

2p：函数22xxy−=+在R为减函数，则在命题1q：12pp，2q：12pp，3q：()12pp−和4q：()12pp−中，真命题是A.1q，3qB.2q，3qC.1q，4qD.2q，4q【答案】C【解析】1p是真命题，2p是假命题，∴1q：12pp，4q：()

12pp是真命题.选C.6.对任意非零实数，定义的算法原理如下侧程序框图所示．设a为函数2sincosyxx=−的最大值，b为双曲线221412xy−=的离心率，则计算机执行该运算后输出的结果是（）A.75B.74C.73D.72【答案】B【解析】【分析】根据三

角函数的性质和双曲线的性质求得a、b的值，再模拟程序的运行过程，即可求得ab的值.【详解】解：函数12sincos2sin22yxxx=−=−，最大值是15222a=+=，双曲线221412xy−=的离心率41222b+==，模拟程序的运行过程是：5,22ab=

=，且ab，5117224aabb++===.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质与双曲线的性质，也考查了程序框图的应用问题，是基础题.7.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能

性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A8.设1F、2F是椭圆E：22221(0)xyabab+=的左、右焦点

，P为直线32ax=上一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，21FPF是底角为30的等腰三角形，则有1

221221,30FFPFPFFFPF===所以2260,30PFAFPA==，所以22322322PFAFacac==−=−又因为122FFc=，所以，232cac=−，所以34cea==所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质

.9.从区间[]0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，nx，1y，2y，…，ny，构成n个数对()11,xy，()22,xy，…，(),nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【

答案】C【解析】此题为几何概型．数对(,)iixy落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41mPn==，所以4mn=．故选C．10.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C

.24种D.36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A=种．故选D.11.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次

函数图像的一部分，则函数的解析式为（）A.3131255yxx=−B.3241255yxx=−C.33125yxx=−D.3311255yxx=−+【答案】A【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函

数过原点，故可设该三次函数为32()yfxaxbxcx==++，则2()32yfxaxbxc==++，由题得：(5)2f−=，(5)2f=−，(5)0f=即1252552{125255275100abcabcabc−+−=++=−++=，解得1125{035abc===−，

所以3131255yxx=−，故选A.考点：函数的解析式.12.设函数()()()000fxRxxfx的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.()()0,xRfxfxB.()0xfx−−是的极小值点C.()0

xfx−−是的极小值点D.()0xfx−−−是的极小值点【答案】D【解析】【分析】【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的()fx−是将()fx的图象关于y轴对称，所以0x−是其极大值点,错误；对于C中的()fx−是

将()fx的图象关x轴对称，所以0x才是其极小值点，错误；而对于D中的()fx−−是将()fx的图象关原点对称，故0x−是其极小值点，正确.故选D.13.设双曲线22221xyab−=（0a，0b）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两

点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若OPmOAnOB=+（m，nR），且29mn=，则该双曲线的离心率为（）A.322B.355C.324D.98【答案】C【解析】试题分析：由题意可知(,)bcAca,

(,)bcBca−，代入OPmOAnOB=+得：((),())bcPmncmna+−，代入双曲线方程22221xyab−=整理得：241emn=，又因为29mn=，即可得到324e=，故选C．考点：1、双

曲线的简单几何性质；2、向量的运算．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，属于中档题．本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OPmOAnOB=+求出点((),())bcPmncmna+−，因为点P在双曲线上，及cea=，代入整理及

得241emn=，又已知29mn=，即可求出离心率324e=．离心率问题关键寻求关于a，b，c的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围．14.给出定义：如果函数()fx在,ab上存在1x、()212xaxxb，满足()()()1fbf

afxba−=−，()()()2fbfafxba−=−，则称实数1x、2x为,ab上的“对望数”，函数()fx为在,ab上的“对望函数”.已知函数()3213fxxxm=−+是0,m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）A.3,32B.()

2,3C.3,232D.()2,23【答案】A【解析】【分析】由题意分析得出方程22123xxmm−=−在区间()0,m上有两个解，令()22123gxxxmm=−−+，()0,xm，利用二次函数零点分布可得出关于实数m的不等式

组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】()3213fxxxm=−+，由题：()()2013fmfmmm−=−，()22fxxx=−，根据题意函数()3213fxxxm=−+是0,m上的“对望函数”，即22

123xxmm−=−在区间()0,m上有两个解，令()22123gxxxmm=−−+，()0,xm，由题意可知，函数()ygx=在区间()0,m有两个不等的零点，()()2224440311003203mmmgmmgmmm

=+−=−+=−，解得332m.故选：A.【点睛】本题考查函数的新定义，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查了导数的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.15.在二

项式11(1)x−的展开式中，系数最小的项的系数为______.【答案】462−【解析】【分析】【详解】11(1)x−展开式的通项为：()111111rrrrTCx−+=−，系数的绝对值等于二项式系数，第六项与第七项的二项式系数相等且最大，第六项为负，即第六项的系数最小为51

1462C−=−.故答案为：462−.【点睛】本题考查了二项展开式中系数的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的

二等品件数，则DX=____________．【答案】1.96【解析】【分析】根据二项分布()~100,0.02XB，由公式得到结果.【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布()~100,0.02XB，1000.020.981.96DXnpq===,填1.96【点睛】本题考查离

散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.设12,FF分别为椭圆22+13xy=的左,右焦点，点,AB在椭圆上.若125FAFB=,则点A的坐标是______.【答案】(01)，【解析】【

分析】【详解】椭圆23x+y2=1焦点在x轴上，a=3，b=1，c=2.∴焦点坐标F1（﹣2.，0）F2（2.，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则1FA=（x1+2.，y1），2FB=（x2﹣2

.，y2），∵125FAFB=，12121212622552.555xxxxyyyy+=+=−==，由点A，B在椭圆上，22112122113625135xyxy+=++=解得：x1=0，y1=±

1，∴点A的坐标是（0，±1，）．故答案为（0，±1）．18.设30xaxb++=，其中,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）①3,3ab=−=−；②

3,2ab=−=；③3,2ab=−；④0,2ab==；⑤1,2ab==.【答案】1，3，4，5【解析】令3()fxxaxb=++，求导得2'()3fxxa=+，当0a时，'()0fx，所以()fx单调递增，且至少存在一个数使()0fx，至少存在一个数使()0

fx，所以3()fxxaxb=++必有一个零点，即方程30xaxb++=仅有一根，故④⑤正确；当0a时，若3a=−，则2'()333(1)(1)fxxxx=−=+−，易知，()fx在(,1),(1,)−−+上单调递增，在[1,1]−上单调递减，所以()=(1)132

fxfbb−=−++=+极大，()=(1)132fxfbb=−+=−极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320fxfbb−=−++=+极大或者()=(1)1320fxfbb=−+=−极小，解得2b−或2b，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.考点：1函数零

点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.三、解答题：共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间

的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育

迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．2()PKk0.050.01k3.8416.635附22112212211212(),nnnnnKnnnn++++−=【答案】见解析【解析】【分析】【详解】由频率分步直方图可知，在

抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)1003.030752545

5533nnnnnnnnnK++++−−===++因为3.0303.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分步直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaaaaaababababababbb=（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中ia表示男性，1,2,3.i=jb表示女性，1,2.j=由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可

能的.用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则11122122313212,,,,,,,,,,,,,Aababababababbb=（）（）（）（）（）（）（）事件A由7个基本事件组成，因此7()10PA=【点睛】本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法以及线性相关问题.第

二问求概率关键是把“从“超级体育迷”中任意选取2人”的所有情况找清楚20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作

AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【答案】(1)见解析；(2)333．【解析】【详解】【分析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所

以MN∥平面ABCD.(2)解:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DABD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥ABPA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点

,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角AMNQ的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN

=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,

得cos∠AEQ==.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.21.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，Nn）

的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（

单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【答案】（1）()1080,16N80,16nnynn−=；（2）①分布列详见解析，()

76EX=，()44DX=；②都有道理，理由详见解析.【解析】【分析】（1）利润y关于当天需求量n的函数是分段函数，考查了分类讨论思想；（2）①X可取60，70，80，进而求得X的分布列、数学期望及方差；②花店一天应购进16枝还是17枝玫瑰取决于哪个利润更大，在利

润相同的情况下，需要再比较方差，方差小的说明其更稳定.【详解】（1）当日需求量16n时，利润80y=.当日需求量16n时，利润1080yn=−.所以y关于n的函数解析式为()1080,16N80,16nn

ynn−=.（2）①X可能的取值为60，70，80，并且()600.1PX==，()700.2PX==，()800.7PX==.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为()600.1700.2800.776EX=++=.X的方差

为()()()222()60760.170760.280760.744DX=−+−+−=.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为Y55657585P0.10.2

0.160.54Y的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4EY=+++=.Y的方差为()()()()2222()5576.40.16576.40.27576.40.168576.40.54112.04DY=−+−+−+−=由以上的计算结果可以

看出，()()DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然()()EXEY，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那

么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4EY=+++=.由以上的计算结果可以看出，()()EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16

枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【点睛】本题考查的是概率相关知识，是随机变量的概率分布的综合题.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：判断取值、探求概率、写分布列、求期望值.22.如图，已知抛物线2xy=.点A113

9-2424B，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求·PAPQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716

.【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，2114122xkxx−==−+，因为1322x−，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)−．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kxykxkyk

−++=+−−=解得点Q的横坐标是22432(1)Qkkxk−++=+．因为|PA|=211()2kx++=21(1)kk++，|PQ|=222(1)(1)1()1Qkkkxxk−++−=−+，

所以3(1)(1)kkPAPQ−−+=．令3()(1)(1)fkkk=−−+，因为2'()(42)(1)fkkk=−−+，所以f(k)在区间1(1,)2−上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k=12时，||||PAPQ取得最大值2716．【点睛

】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA与||PQ的长度，通过函数3()(1)(1)fkkk=−−+求解||||PAPQ的最大值．23.已知函数()()32113fxxaxx=−+

+．（1）若3a=，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．【答案】（1）f（x）在（–∞，323−），（323+，+∞）单调递增，在（323−，323+）单调递减．（2）见解析.【解析】分析：（1）将3a=代入，求导得2()63fxxx=−−，令()0f

x求得增区间，令()0fx求得减区间；（2）令321()(1)03fxxaxx=−++=，即32301xaxx−=++，则将问题转化为函数32()31xgxaxx=−++只有一个零点问题，研究

函数()gx单调性可得.详解：（1）当a=3时，f（x）=3213333xxx−−−，f′（x）=263xx−−．令f′（x）=0解得x=323−或x=323+．当x∈（–∞，323−）∪（323+，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（323−，323+）时

，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，323−），（323+，+∞）单调递增，在（323−，323+）单调递减．（2）由于210xx++，所以()0fx=等价于32301xaxx−=++．设()gx=3231xaxx−++，则g′（x）=()()2222231xxxxx+++

+≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=221116260366aaa−+−=−−−，f（3a+1）=103

，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()fx的定义域；②求导数()fx；③由()0fx（或()0fx）解出相应的x的取值范围，当()0fx时，()fx在相应区间上是增函数；当()0fx时，(

)fx在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()gx有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.