【文档说明】黑龙江省绥化一中2020-2021学年高一第二学期第一阶段考试数学试卷 含答案.doc，共(21)页，1.012 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高一数学试题一．填空题（每题5分）1、已知{*|3}Axx=N，2|40Bxxx=−，则AB=（）A．{1,2,3}B．{1,2}C．(0,3]D．(3,4]2、z是12

i1iz+=−的共轭复数，则z的虚部为()A．32i−B．32iC．32−D．323、已知p：“函数221yxax=++在(1,)+上是增函数”，q：“2a−”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4、已知函数212()log(23)fxx

x=−−的单调递减区间是（）A．(,1)−B．(,1)−−C．(3,)+D．(1,)+5、设sin46a=，cos47b=，tan48c=，则下列结论成立的是（）A．cabB．bacC．abc

D．bca6、P为ABC所在平面内一点，当PAPBPC+=成立时，点P位于（）A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部7、将函数()2sin26fxx=+

的图象向左平移12个单位长度后得到函数()gx的图象，则函数()gx的单调递增区间是（）A．(),36kkkZ−++B．(),63kkkZ−++C．()44k,kkZ−++

D．()5,1212kkkZ−++8、点A、B、C为直线l上互异的三点，点Pl，若PAxPByPC=+（0,0xy），则19xy+的最小值（）A．16B．17C．18D．199、已知3sin65+=

，,2，则tan12−=（）A．17−B．-7C．43−D．34−10、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，O为ABC的外心，D为BC边上的中点，4c=，6AOBC=−，sinsin

4sin0CAB+−=，则cosA=（）A．32B．12C．14D．2811、已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A．B．C．D．12、已知平面向量a满足34a=，1e、2e

为不共线的单位向量.且12334aeke−+恒成立，则1e、2e夹角的最小值为（）A．6B．3C．23D．56二．填空题（每题5分）13、设mR，复数22(21)(23)zmmmmi=+−

+−++，若z为纯虚数，则m=_____.14、若如图，在ABC中，13ADAB=，点E为CD的中点.设CAa=，CBb=，则AE=______（用a，b表示）.15、将函数()sin2cos2fxxx=+的图象向左移动个单位长度，得到图象关于y轴对称，则的最小正

值是__________.16、定义在上的偶函数，当时，,若关于的方程恰好有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．三．解答题（17题10分，18题---22题12分）17、已知平面向量()1,ax=，()23,bxx=+−，xR.（1

）若ab⊥，求x的值；（2）若//ab，求2ab+.18、设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2coscoscbBaA−=．（1）求角A的大小；（2）若1a=，求ABC周长的最大值．1

9、已知()23sin,2cosaxx=，()cos,cosbxx=，()()1fxabxR=−.（1）求函数()fx的最大值，及此时x的取值；（2）在三角形ABC中角的对边,,ABC分别为,,abc，若()1fB=，1c=，3b=，求三角形ABC的面积.20、已知

函数()21axbfxx+=+的定义域为1,1−，且满足以下两个条件：①是奇函数；②()112f−=−（1）求常数a，b的值；（2）求证：函数()fx在1,1−上是增函数；（3）若()3110ft−，求t的取值范围.21、如图

，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距202海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45+（其中1tan,0455=）且与观测站A相距513海里

的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．θ北CBAE22、已知函数()4sincos122xxfx=+，其中常数0．（1）()yfx=在3,4

4−上单调递增，求的取值范围；（2）若4，将函数()yfx=图象向左平移3个单位，得到函数()ygx=的图象，若对任意的,612ππx−，不等式()()210gxmgx−−恒成立，求实数m的取值范围。2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高一

年级数学学科试题学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单项选择（注释）1、已

知{*|3}Axx=N，2|40Bxxx=−，则AB=（）A．{1,2,3}B．{1,2}C．(0,3]D．(3,4]【答案】A【解析】解不等式集合,AB，再由交集定义运算．详解：因为{*|3}1,2,3Axx==N，2|40|04Bxxx=x

x=−，所以1,2,3AB=.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．2、【答案】Cz是12i1iz+=−的共轭复数，则z的虚部为()A．32i−B．32iC．32−D．323、已知

p：“函数221yxax=++在(1,)+上是增函数”，q：“2a−”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先求出命题p对应的a的取值范围，

利用集合的包含关系即可判断.详解：由函数221yxax=++在(1,)+上是增函数，因为221yxax=++的对称轴为xa=−，开口向上，所有1a−，即1a−，1aa−2xa−，p是q的充分不必要条件.

故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）若p是q的充分

必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）若p是q的既不充分又不必要条件，则q对应的集合与p对应集合互不包含．4、已知函数212()log(23)fxxx=−−的单调递减区间是（）A．(,1)−B．(,1)−−C．(3,)+D．(1,)+【答案】C【解析】

先求函数的定义域，再根据复合函数单调性之间的关系判断即得.详解：由2230xx−−，得3x或1x−，()fx的定义域为()(),13,−−+.令()222314txxx=−−=−−，则函数t在(),1−−上单调递减，在()3,+上单调递增.又函数12logyt

=在()0,+上是减函数，由复合函数单调性之间的关系可得，函数212()log(23)fxxx=−−的单调递减区间是()3,+.故选：C.5、设sin46a=，cos47b=，tan48c=，则下

列结论成立的是（）A．cabB．bacC．abcD．bca【答案】B【解析】()cos47cos9043sin43b==−=且sin43sin461，即1ba，又tan48tan451c==，因此，bac.故选：B.6、为ABC所在平面内一点，当P

APBPC+=成立时，点P位于（）A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部【答案】D【解析】分析：利用向量加法的平行四边形法则，判断选项.详解：PAPBPC+=，如图，根据平行四边形法则

，可知点P在ABC的外部．故选：D7、将函数()2sin26fxx=+的图象向左平移12个单位长度后得到函数()gx的图象，则函数()gx的单调递增区间是（）A．(),36kkkZ−++B．(),63kkkZ−++C．()44k,kkZ

−++D．()5,1212kkkZ−++【答案】D【解析】将函数()2sin26fxx=+的图象向左平移12个单位长度后得到函数()gx的图象，所以()2sin22sin

2663gxxx=++=+，由()222232kxkkZ−+++可得()51212kxkkZ−++，即函数()gx的单调递增区间是()5,1212kkkZ

−++.故选：D.8、点A、B、C为直线l上互异的三点，点Pl，若PAxPByPC=+（0,0xy），则19xy+的最小值（）A．16B．17C．18D．19【答案】A【解析】分析：根据题中条，由三点共线，先得到1xy+=，再利用

基本不等式，即可求出结果.详解：因为点A、B、C为直线l上互异的三点，所以存在实数t，使得()1ABtACt=，又点Pl，所以()PBPAtPCPA−=−，则()1tPAtPCPB−=−，因此111tPAPCPBtt=−−−，又PAxPByPC=+，

所以1111txytt+=−=−−，所以()1919919102916yxxyxyxyxy+=++=++++=，当且仅当9yxxy=，即1434xy==时，等号成立.故选：A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式

求最值，涉及三点共线的向量表示，属于常考题型.9、已知3sin65+=，,2，则tan12−=（）A．17−B．-7C．43−D．34−【答案】B【解

析】由三角函数的基本关系式，求得4cos65+=−，3tan64+=−，再结合两角和的正切公式，利用tantan1264−=+−，即可求

解.详解：因为,2，可得27,636+，所以24cos1sin665+=−−+=−，则3tan64+=−，由t

antan64tantan712641tantan64+−−=+−==−++.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角差的正切函数的化简求值，其中解答中熟练三角恒等变换的公式

，以及角的合理配凑是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，O为ABC的外心，D为BC边上的中点，4c=，6AOBC=−，sinsin4sin0CAB+−=，则cosA=（）A．32B．12C．14D．28【答案】C【解析】详

解：∵D是BC的中点，∴ODBC⊥，即ODBC0=，∴ADBC=（ODAO+）BC=AOBC+ODBC=﹣6，又ADBC=（11ABAC22+）？（ACAB−）=12（22ACAB−）=12（b2﹣16），∴﹣6=1

2（b2﹣16），解得b=2，∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，∴a=4b﹣c=4，由余弦定理得cosA=2222bcbca+−=14．故选C．【点睛】本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问

题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解.11、已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析

：函数在区间上零点的个数函数的图象与的图象交点个数,根据奇偶性与周期性画出图象，利用数形结合思想求解即可.详解：函数在区间上零点的个数函数的图象与的图象交点个数，因为，所以，可得是周期为的函数，且是偶函数，由时，，作出与图象如图，可知每个周期内有个交点，所以函数，在区间上零点的个数为，

故选D.点睛：判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象

，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题12、已知平面向量a满足34a=，1e、2e为不共线的单位向量.且12334aeke−+恒成立，则1e、2e夹角的最小值为（）A．6B．3C．23D．56【答案】B【解析】求得()22211

2323cos,3keekkee−=−+，由12334aeke−+恒成立得出21332kee−，化简得知212323cos,04kkee−+对任意的kR恒成立，由0可求得1e、2e夹角的取

值范围，由此可得出结果.详解：()2222221212112323323cos,3keekekeeekkee−=−+=−+，由12334aeke−+得()()()2221221213233aekeaakeekee−+=+−+−22121219393cos,331

6216keeakeekee=+−−+−，212133cos,32keeakee−−−，由题意可得21332kee−，212323cos,04kkee−+对任意的kR恒成立，21212co

s,30ee=−，解得1211cos,22ee−，120,ee，122,33ee.因此，1e、2e夹角的最小值为3.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角最值的求解，考查二次不等式恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.1.评卷人得分二、填空

题（注释）13、设mR，复数22(21)(23)zmmmmi=+−+−++，若z为纯虚数，则m=_____.【答案】12【解析】直接由纯虚数的定义，得出z实部为0且虚部不为0，从而求得实数m的值．详解：解：复数22(21)(23)

zmmmmi=+−+−−−为纯虚数，22210230mmmm+−=−−−，解得：12m=．故答案为：12．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题．14、如图，在ABC中，13ADA

B=，点E为CD的中点.设CAa=，CBb=，则AE=______（用a，b表示）.【答案】1263ba−.【解析】利用向量加法的平行四边形法则得到()12AEACAD=+，然后利用向量减法，可得结果.详解：因为点E为CD的中点，所以()12AEACAD=

+，又13ADAB=且ABCBCA=−所以()1123CEBCAAAC+−=化简可得：1263CABECA−=即1263bAaE−=故答案为：1263ba−【点睛】本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.15、若将函

数()sin2cos2fxxx=+的图象向左移动个单位长度，得到图象关于y轴对称，则的最小正值是__________.【答案】8【解析】函数()sin2cos22sin(2)4fxxxx=+=+，向左平移

个单位，可得2sin(22)4yx=++要使所得图象关于y轴对称，即函数2sin(22)4yx=++在0x=时取到最值所以2sin(2)24+=242k+=+，即182k=+，()kZ当0k=时

，可得的最小正值为8．故答案为：8．16、定义在上的偶函数，当时，,若关于的方程恰好有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：绘制函数图象，令，将关于的方程，转化为关于的方程，根据函数的图象规律，确定关于的方程两个根

的范围，进而确定实数的取值范围.详解：函数为定义在上的偶函数，且时，绘制函数图象如下：当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值；要使关于的方程恰好有6个不相等的实数根，令，转化为如图所示，当或时，方程没有实数根，当时，方程有1个实数根，当时，方程有4个实数根，当时，方程有2个实

数根，则方程必有两个根、，且，，又由韦达定理得，，，即.故答案为.点睛：本题考查分段函数的应用，利用换元法结合函数的图象与性质，转化为一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.评卷人得分三、解答题（注释）17、已

知平面向量()1,ax=，()23,bxx=+−，xR.（1）若ab⊥，求x的值；（2）若//ab，求2ab+.【答案】（1）x的值为1−或3；（2）25ab+=或5.试题分析：（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于x的方程，解此方程，即可得解；（2）根据向量的坐标运算

，结合向量平行的坐标公式，可求出x的值，进而得到2ab+，利用向量模的坐标运算即可得解.详解：（1）ab⊥，则()()()()1,23,1230abxxxxxx=+−=++−=，即2230xx−−=，解得1x=−或

3x=.所以，x的值为1−或3.（2）若ab，则()()1230xxx−−+=，即()240xx+=，解得0x=或2x=−，当0x=时，()1,0a=，()3,0b=，()25,0ab+=，25ab+=，当2x=−时，()1,2a=−

r，()1,2b=−r，()21,2ab+=−，()222125ab+=+−=.故25ab+=或5.【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1

）利用坐标进行求解，(),axy=r，则22||axy=+；（2）利用性质进行求解，2aa=，结合向量数量积进行求解.【解析】18、设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2coscoscbBaA−=．（1）求角A的

大小；（2）若1a=，求ABC周长的最大值．详解：解：（1）．co2scosaAcbB−=，()2coscoscbAaB−=，sinsinsinABcabc==，()2sinsincossincosCB

AAB−=，2sincossincossincosCABAAB−=，()2sincossinsinCAABC=+=，在ABC中，sin0C．1cos2A=，3A=．（2）sinsin2sin3Ba

BAb==，2sin3cC=，()()()223111sin122233sinsinsinsincoslabcBCBBBAB=++=++=+++=++12sin6B=++．又20,3B

，5,666B+，1sin,162B+，(2,3l，故ABC周长的最大值3，另解：2222cosabcbcA=+−得()2222113132bcbcbcbcb

c+=+−+=++，化简得2bc+，又ABC的周长1labcbc=++=++．故ABC周长的最大值3.【点睛】此题正余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于中档题19、已知()23sin,2cosaxx=，()cos

,cosbxx=，()()1fxabxR=−.（1）求函数()fx的最大值，及此时x的取值；（2）在三角形ABC中角的对边,,ABC分别为,,abc，若()1fB=，1c=，3b=，求三角形ABC的面积.【答案】(1)函数()fx的最大值为2，此时,6xkkZ=+.(2)32.试题分

析：（1）化简()()1fxabxR=−可得：()2sin(2)6fxx=+，利用正弦函数的性质列方程2262xk+=+可得：,6xkkZ=+时，()fx取得最大值为2，问题得解．（2）由()1fB=可得：3B=，由余弦定理可求得：2a=，

再利用三角形面积公式计算得解．详解：（1）由题可得：2()23sincos2cos1fxxxx=+−，化简得：()2sin(2)6fxx=+，当2262xk+=+，即,6xkkZ=+时，此时()fx取得最大值为2.（2）由()1fB=得：1sin(2)62B+=，(0

,)B3B=.1,3cb==，222cos32acbac+−=2a=1312sin232ABCS==【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式、二倍角公式及数量积的坐标运算，还考查了三角函数

的性质及余弦定理，考查了方程思想、计算能力及三角形面积公式，属于中档题．【解析】20、已知函数()21axbfxx+=+的定义域为1,1−，且满足以下两个条件：①是奇函数；②()112f−=−（1）求常数a，b的值；（2）求证：函数()fx在1,1−上是增函数；（3）若()

3110ft−，求t的取值范围.【答案】（1）1a=，0b=（2）证明见解析（3）423t试题分析：（1）由题意可得，(0)0fb==，1(1)2f−=−，代入即可求解a，b；（2）由（1）可求(

)fx，然后结合单调性的定义即可判断；（3）由13()310f=，结合（2）的单调性即可求解．详解：（1）由题意可得，(0)0fb==，1(1)22af−−==−，故1a=，0b=，（2）由（1）可得2()1x

fxx=+，设1211xx−剟，则2121212122221221()(1)()()11(1)(1)xxxxxxfxfxxxxx−−−=−=++++，因为1211xx−剟，所以120xx−，1210x

x−，2212(1)(1)0xx++，故21121222()(1)0(1)(1)xxxxxx−−++，即12()()fxfx，故函数在[1−，1]上单调递增；（3）由13()310f=，故原不等式可转化为113t−，且111t−−剟，解可得423

t…．故原不等式的解集4(3，2]．【点睛】本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．21、如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距202海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位

于观测站A北偏东45+（其中1tan,0455=）且与观测站A相距513海里的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货

船是否有触礁的危险？试说明理由．22、已知函数()4sincos122xxfx=+，其中常数0．（1）()yfx=在3,44−上单调递增，求的取值范围；（2）若4，将函数()yfx=图象向左平移3个单位，得到函

数()ygx=的图象，若对任意的,612ππx−，不等式()()210gxmgx−−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）203；（2）433；（3）83m．详解：解（1）由题意，有()2sin()1fxx=+，又0则最小正周期2T=由正弦函数的性

质，当2πx=−，函数取得最小值，2x=函数取得最大值∴,22−是函数2sinyx=的一个单调递增区间若函数()2sin0yx=在3,34ππ−上单调递增，则23ππ−−且324ππ解得203

（2）∵由（1）：()2sin1fxx=+∴将函数()yfx=图象向左平移3个单位，得到函数()2sin13πygxx==++的图象∵()gx的图象过,16πP．∴()2si

n11663ππf=++=，可得：sin02=，解得：2k=，kZ，即：2k=，kZ，∵04∴2=，可得()gx的解析式为：()22sin213πgxx=++()2,3gx，设()21ttmt=−−，

2,3t∵()()()maxmax2,30t=即可只需要()()2030解得83m综上所述83m