【文档说明】福建省厦门第一中学2021—2022学年高三上学期12月考试数学试题+PDF版含答案.pdf，共(29)页，1.278 MB，由小赞的店铺上传

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厦门一中2022届高三上12月月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1．设UR=，已知两个非空集合P，Q满足()UCPQR=则A．PQ=B．PQC．QPD．

PQR=2．设复数z满足(1i)2iz+=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z=A．1i−+B．1i−−C．1i+D．1i−3．已知数列na的前n项和为nS，若1a=1，()131nnaSn+=，则4S等于A．85B．255

C．64D．2564.已知函数()2sinxxfxeex−=−−，则关于x的不等式2(3)(2)0fxfx−+的解集为A．(3,1)−B．(1,3)−C．(−，3)(1−，)+D．[1−，3]5．如下表，根据变量x与y之间的对应数据可求出ˆ0.32yxb=−+.

其中8y=.现从这5个样本点对应的残差中任取一个值（残差为ˆiiyy−），则残差不大于0的概率为x1015202530y111086A．15B．25C．35D．456．已知椭圆221222:1(0),,xyCabFFab+=为C的左､右焦点，(

,)(0,0)Pmnmn为C上一点，且12PFF的内切圆半径为1，若12PFF的面积为2b，则n的值为A．35B．43C．83D．37．设n是偶数，nN，i为虚数单位，,ab分别表示()21inx++的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么A．ab=B．1ab=+

C．1ab=−D．2ab=+8．函数22,0()sin(),03logxxxfxxx−=+−有且仅有2个零点，则正数的取值范围是A．47(,]33B．47[,)33C．47(,)33D．47[,]33二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四

个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则A．12EFAB=B．34AFABAD=−+C．34BEABAD=−+D．229()()16

BEAFABAD=−10．关于函数()tan(||)4fxx=+，则A．()fx的图像关于y轴对称B．()fx的最小正周期为C．()fx在区间(0,)4上单调递增D．()fx的图像关于点3(4，0)对称11．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均

为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则A．CP的最小值为32B．当P在直线AE上运动时，三棱锥DBPF−的体积不变C．PDPF+的最小值为22−D．三棱锥ADCE−的外接球

表面积为312．观察如下数阵：该数阵特点：在第n行每相邻两数之间都插入它们的和得到第1n+行的数，*.nN设第n行数的个数为na，第n行的所有数之和为nS，则A．121nnaa+=−B．133nnSS+=−C．23[(1

)1]nSn=−+D．121nk−=−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2sin80sin20cos20−的值为▲．14．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1℃，空气温度为0℃，

则t分钟后物体的温度（单位：℃）满足：()010kte−=+−．若常数0.05k=，空气温度为30℃，某物体的温度从120C下降到40℃，大约需要的时间为▲．（参考数据：ln31.1）15．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过这3所大学

A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为▲；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为▲．16．双曲线2222:1(0,0)xyCaba

b−=的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，2ABF是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足23BQAF=，则C的离心率为▲.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角、、所对的边长分别为、、，

，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，90ADC=，//,,2,ADBCABACABA

CE⊥==点在AD上，且2AEED=.（1）已知点F在BC上，且2=CFFB，求证：平面PEF⊥平面PAC.（2）当二面角−−APBE的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？19.(12分)已知各项均为正数

的数列{}na，{}nb满足12a=，14b=，且na，nb，1na+成等差数列，nb，1na+，1nb+成等比数列．（1）求证：数列nb为等差数列；（2）记111nnncaa+=+，记{}nc的前n项和为nS，若1101kS，求正整数k的最小值．20.（12分）已知

过点(2,0)P−的直线l与抛物线2:2(0)ypxp=相切于点0(Tx，2)．（1）求p，0x；（2）设直线1:(0)2myxtt=+与相交于点A，B，射线PA，PB与的另一个交点分别为C，D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．ABCABC

abc1ba=+2ca=+2sin3sinCA=ABCaABCa21.（12分）某地一对夫妻打算购房，对该市30个楼盘均价进行了统计，得到如频数分布表：均价X（单位：千元）[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)[9，10]频数22111041（1）若同一组中

的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一个楼盘的均价X，假定2~(,)XN，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率．（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦

台阶送优惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台

阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束．（ⅰ）设客户乙站到第(06,)nnnN个台阶的概率为nP，证明：当15n时，数列1{}nnPP−−是等比数列．（ⅱ）若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠

幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动．参考数据：取1.251.12=，52()0.133=．若2~(,)N，则()0.68P−+，(22)0.95P−+，(33)0.997P−+．22．（12分）已知2(

)fxxalnx=−，aR．（1）讨论()yfx=的单调性；（2）若()yfx=有两个零点1x，212()xxx，0x是()yfx=的极值点，求证：12034xxx+．厦门一中2022届高三上12月月考数学试卷答案一、选择题：答案：1~8BDCACCBB9.AC10.A

C11.BD12.ABD8.解：0x时，2()log2fxxx=−，114()222xlnfxxlnxln−=−=，令()0fx=，14xln=，()fx在1(0,)4ln递增，在1(4ln，)+递减．1(0,1)4ln，而

(0,1)x时，()0fx，()fx的最大值为1()04fln，0x时，()fx无零点．0x，()fx有两个零点，23−−+−，4733．三、填空题：13.314.4415.71;91816.716.如

图所示，由题意可得12||2FFc=，因为213FAQB=，所以12FAF△∽1FBQ△，所以2||4FQc=，在等边三角形2ABF中，设22||||||AFBFABm===，则||3BQm=，1||2mAF=，由双曲线的定义可得21||||2AFAFa−=

，所以22mma−=，即4ma①，因为2ABF是等边三角形，所以2260FBQABF==，在2FBQ△中，2222222||||||cos2||||BFBQFQFBQBFBQ+−==2229161232mmcmm+−=，化简可得22716mc=②，由①②可得

227ca=，所以e7=.17.（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.18.（1）由,2ABACABAC⊥==，即△ABC为等腰直角三角形，又AB

CD是直角梯形且90ADC=，且//ADBC，所以，45CADACB==，因为90ADC=，故ACD△为等腰直角三角形，所以，cos451ADDCAC===，2BC=，又2AEED=，2=CFFB，∴2233AEA

D==，1233FBBC==，又//ADBC，即//AEFB，∴AEFB为平行四边形，则//EFAB，又ABAC⊥，故EFAC⊥，由PA⊥底面ABCD，EF面ABCD，则PA⊥EF，又PAACA=，∴EF⊥面P

AC，而EF面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.2sin3sinCA=()2223caa=+=4a=5b=6c=2221cos28abcCabC237sin1cos8CC=−=1137157sin452284ABCSabC==

=△cbaABCC()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++13a−0<<3a12aaa+++1aaZ2a=（2）直线PC与平面PAB所成角的平面角为45CPA=，则tan1ACCPAAP==，∴2AP=.

如下图，构建以A为原点，,,AMADAP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴2(0,0,0),(1,1,0),(0,,0)3ABE−，(0,0,2)P，∴25(0,,2),(1,,0)33PEBE=−=−，若(,,)mabc=是面PBE的一个法向量，则

2203503PEmbcBEmba=−==−=，令3b=有(5,3,2)m=，由上易知：(1,1,0)AC=是面PAB的一个法向量，∴822cos,3||||236ACmACmACm===.∴当二面角−−APBE的余弦值为

223时，直线PC与平面PAB所成的角为45.19.【解答】证明：（1）各项均为正数的数列{}na，{}nb满足na，nb，1na+成等差数列，则：12nnnbaa+=+；由于nb，1na+，1nb+成等比数列．所以211nnnabb++=，由于12a=，14b=，所以26a=，

29b=；所以2112()nnnnnbbbbb−+=+，(2)n，整理得112nnnbbb−+=+，所以数列nb为等差数列．（2）由（1）得121(1)()nbbnbb=+−−，整理得2(1)nbn=+；进一步求出(1)nann=+，得：11111111111(1)(1)(2)11

22nnncaannnnnnnnnn+=+=+=−+−=−+++++++；故1111111113111...32435112212nSnnnnnn=−+−+−++−+−=−−−++++，由于函数311()

212fxxx=−−++在(0,)+上单调递增，由于1110311212kSkk=−−++，当3k=时，331121245201110S=−−=，当4k=时，431134256301110S=−

−=故k的最小值为4．它法：解不等式3111121210nn−−++即224110nn−−，解得4n.20.解：（1）由题意可设切线l的方程为：(2)ykx=+，联立22(2)ypxykx=

=+，化为：2222(42)40kxkpxk+−+=，则△224(42)160kpk=−−=，化为：24pk=，又022kx=+，042px=，解得：12k=，1p=，02x=．（2）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立2122yxtyx=+=，化为：2440yyt−+=，

△16160t=−，解得1t．124yy+=，124yyt=，射线PB的方程为：22(2)2yyxx=++，(2)x−，射线PA的方程为：11(2)2yyxx=++，(2)x−，联立2112(2)2yxyyxx=

=++，化为：2111(24)40yyxyy−++=，14Cyy=，14Cyy=，218Cxy=，可得218(Cy，14)y．同理可得228(Dy，24)y，直线CD的方程为：1221122

124448()88yyyxyyyy−−=−−，化为：21148()2tyxyy−=−，211442ttyxyy=−+，即21142ytyxyy=−+，化为：12tyx=+，直线CD经过定点(0,1)．19.解：（1）221110414.55.

56.57.58.59.57303030303030x=+++++=，222222222111041(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)(8.57)(9.57)1.253030303

03030s=−+−+−+−+−+−=．7x==，21.25s=，1.12s==，~(,1.12)XN，0.950.68(8.129.24)0.1352PX−=．（2）()i证明：客户

开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，①客户乙先到第2n−格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP−，②客户乙先到第1n−格

，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP−，121233nnnPPP−−=+，则1122()3nnnnPPPP−−−−=−−，当15n时，数列1{}nnPP−−是首项为1023PP−=−，公比为23−的等比数列．()ii由()i知，当15n时，12()3nnnPP−−=−，所以2301

0211222222()()()()()()()()[1()]333353nnnnnPPPPPPPP−−=−+−++−=−+−+−++−=−−−，整理得322()553nnP=+−，所以55322()0.548553P=+−=，且5642222()0.452

3553PP==−−=．设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y千元，则56()0.330.30.54830.4521.5204EYPP=+=+=（千元），1.52041.4，该对夫妻应参与

蹦台阶活动．20.解：（1）()fx的定义域是(0,)+，22()2axafxxxx−=−=，①0a时，()0fx，()fx在(0,)+单调递增，②0a时，2()()22()aaxxfxx+−=，令()0fx，解得：2ax，令()0fx，解得：02ax，故()

fx在(0,)2a递减，在(2a，)+递增，综上：0a时，()fx在(0,)+单调递增，0a时，()fx在(0,)2a递减，在(2a，)+递增；（2）证明：2()gxxalnx=−，(2)(2)()20axaxagxxxx+

−=−==，可得02ax=，当(0,)2ax，()0gx，(2ax，)+，()0gx，所以()gx在(0,)2a上单调递减，(2a，)+上单调递增，而要使()gx有两个零点，要满足0()0gx，即2()()0222aaagaln=−，可得

2ae，因为102ax，22ax，令21(1)xttx=，由22121122()()gxgxxalnxxalnx=−=−，即22221111121alntxalnxtxalntxxt−=−=−，而221201134(31)22(31)8x

xxtxatxa+++，即22(31)81alnttat+−，由0a，1t，只需证22(31)880tlntt+−+，令22()(31)88httlntt=+−+，则1()(186)76httlnttt=+−++，令1()

(186)76nttlnttt=+−++，则261()18110(1)tntlnttt−=++，故()nt在(1,)+上递增，()ntn（1）0=，故()ht在(1,)+上递增，()hth（1）0=；12034xxx+．它法：由221

21122()()gxgxxalnxxalnx=−=−，即222121lnlnxxaxx−=−，而22211201221234(38l)8nlnxxxxxxxaxx−++=−，即2221120212128()34lnl()n3xxxxxxxxx−+

−+，令21(1)xttx=，即证明：228(1)()ln0(13)tFttt−=−+，下略；它法：0112204343xxxxxx−+（又10043xxx−）1204(())3fxxxf−即只需证明1104))3((xxxff−，设004(()(

)),3xxxFxfxfx−=−（下略）它法：1212322xxxx++，故只需证明1202xxx+即为标准版极值点偏移问题，下略。厦门一中2022届高三上12月月考数学试卷解析版注意事项：1．答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1．设U＝R，已知两个非空集合P，Q满足（∁UP）∪Q＝R则（）A．P∩Q＝∅B．P⊆QC．Q⊆PD．P∪Q＝R2．设复数z满足(1)2izi+=，其中i为虚数单位，则

z的共轭复数(z=)A．1i−+B．1i−−C．1i+D．1i−【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1)2izi+=，得22(1)2(1)11(1)(1)2iiiiiziiii−−====+++−，

1zi=−．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知数列na的前n项和为nS，若1a=1，()131nnaSn+=，则10S等于（）A．104-13B．104-1C．94D．10

4【详解】因为()131nnaSn+=，所以14nnSS+=，而110S=，所以0nS，故14nnSS+=，故nS为等比数列且首项为1，公比为4，故9104S=，故选：C.4（2021秋•江苏期中）已知函数()2sinxxfxeex−=−−，则关于x的不等式2(3)(2

)0fxfx−+的解集为()A．(3,1)−B．(1,3)−C．(−，3)(1−，)+D．[1−，3]【分析】根据函数()fx的奇偶性和增减性解不等式即可．【解答】解：()2sinxxfxeex−=−−，()2sinxxfxeex−−=−+，()()fx

fx=−−，故函数()fx为奇函数．()2cos22cos0xxfxeexx−=+−−，则()fx在R上为增函数．则2(3)(2)0fxfx−+，化简得2(3)(2)fxfx−−，即2(3)(2)fxfx−−，又()fx为增函数，232xx−−，解得3

1x−．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析()fx的单调性，属于基础题．5．如下表，根据变量x与y之间的对应数据可求出ˆ0.32yxb=−+.其中8y=.现从这5个样本点对应的残差中任取一个值，

则残差不大于0的概率为（）x1015202530y111086A．15B．25C．35D．45【来源】专题10.3《统计、统计案例与复数》单元测试卷2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）【答案】C【分析】计

算20x=，y的最后一个数据为5，带入回归方程得到14.4b=，计算每个样本点对应残差，得到概率.【详解】由表中的数据可知，1015202530205x++++==，设y的最后一个数据为n，则11108685yn++++==，5n=，将x，y代入ˆ

0.32yxb=−+得14.4b=，这5个样本点对应的残差分别为：()11110.321014.40.2ˆyy=−−+=−−，()22ˆ100.321514.40.4yy−=−−+=，()3380.3220.ˆ1440yy=−−+=−，()4460.322514.40ˆ.4yy−−−+=−

=，()5550.323014.4ˆ0.2yy−−+=−=，所以残差不大于0的概率为35.故选：C.6．已知椭圆221222:1(0),,xyCabFFab+=为C的左､右焦点，(,)(0,0)Pm

nmn为C上一点，且12PFF△的内心(,1)Is，若12PFF△的面积为2b，则n的值为（）A．35B．43C．83D．3【详解】由题意可得，12PFF△的内心(,1)Is到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，121212122,(22)122PFFPFPFFFacS

acacb++=+=+=+=.又(1),2aeceab+==，2222222(1),2aeabcaea+=++=，即222(1)44,5230eeee++=+−=，解得35e=或1−（舍），34,55caba==.又1212

133,255PFFSFFncnaaan==+=，解得83n=.故选：C.7．设n是偶数，nN，i为虚数单位，a､b分别表示()21inx++的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（）A．a

b=B．1ab=+C．1ab=−D．2ab=+【来源】上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题【答案】B【分析】根据二项式定理结合i的幂的性质得展开式中系数为实根的项数，并确定正负项的个数，得出结论．【详解】展开通项公式通项公式为21121irn

rrrnTCx+−++=，因此当r为偶数时，项的系数为实数，其1n+项，又4421,1kkii+==−，kZ，n是偶数，所以正的项0,4,8,,2rn=有12n+，负的项2,6,10,,22rn=−有2n项．即12na=+，2

nb=，所以1ab=+．故选：B．8．（5分）（2021秋•江苏期中）函数22,0()sin(),03logxxxfxxx−=+−有且仅有2个零点，则正数的取值范围是()A．47(,]33B．47[,)33C．47(,)33D．47[,]33

【分析】分析函数图像，判断0x时无零点；0x−时，满足两个零点的条件为，23−−+−．【解答】解：0x时，2()log2fxxx=−，114()222xlnfxxlnxln−=−=，令()0fx=，14xln=，()fx在1(0,

)4ln递增，在1(4ln，)+递减．1(0,1)4ln，而(0,1)x时，()0fx，()fx的最大值为1()04fln，0x时，()fx无零点．0x，()fx有两个零点，23−−+−，4733．故选：B．【点评】本题考查了函数的零

点与方程根的关系，综合性较强，考查学生解决问题的能力，属于中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分

，有选错的得0分．9．（5分）（2021秋•江苏期中）如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是()A．12EFAB=B．34AFABAD=−+C．34BEA

BAD=−+D．229()()10BEAFADAB=−【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算即可求解．【解答】解：:AF，E分别是靠近C，D的四等分点，12EFAB=，A正确，:BF是靠近C的四等分点，3344AFADDFADDCABAD=+=+=+，B错误，:CE是靠近

D的四等分点，3344BEBCCEADCDABAD=+=+=−+，C正确，22339:()()4416DBEAFABADABADADAB=−++=−，D错误，故选：AC．【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中

档题．10．（5分）（2021秋•江苏期中）关于函数()tan(||)4fxx=+，则下列判断正确的有()A．()fx的图像关于y轴对称B．()fx的最小正周期为C．()fx在区间(0,)4上单调

递增D．()fx的图像关于点3(4，0)对称【分析】利用偶函数的定义、正切函数的性质逐项判断即可．【解答】解：显然()tan(||)tan(||)()44fxxxfx−=−+=+=，故()fx是偶函数，故A正确

；因为()tan42f−=不存在，而3()()tan044ff−+===，显然3()()44ff−，故B错误；(0,)4x时，()tan()4fxx=+满足442x+，因为tanyx=在(,)42上单调递增，故原函数()fx在区间(0,)4

上单调递增，故C正确；因为31()23313f+−==−−−，3()tan2312f+=，结合22tan312tan631()12tan==−解得tan2312=−，因为3()()0323ff−++，故()fx的图像不关于点3(4，0)对称，故D错误．故选

：AC．【点评】本题考查正切函数的图像和性质，属于中档题．11．（5分）（2021秋•苏州期中）如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则(

)A．CP的最小值为32B．当P在直线AE上运动时，三棱锥DBPF−的体积不变C．PDPF+的最小值为22−D．三棱锥ADCE−的外接球表面积为3【分析】由题可知22CPDPCD=+，可判断A；根据条件可知PBF的面积不变，D

到平面PBF的距离也不变，可判断B；将ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D．【解答】解：对于A，连接DP，CP，易得222161122CPDPCDDP=+=++=，故A错误；对于B，P在直线AE上运动时，PBF

的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥DBPF−的体积不变，故B正确；对于C，如图，将ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，PDPF+取得最小值2222()(1)2222++=+，故C错误；对于D，将该几何体补

成正方体，则外接球半径为32，外接球表面积为3，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．12．（5分）（2021秋•如皋市期中）观察如下数阵：该数阵特点：在第n行每相邻两数之间都插入它们的

和得到第1n+行的数，*.nN设第n行数的个数为na，第n行的所有数之和为nS，则()A．121nnaa+=−B．133nnSS+=−C．23[(1)1]nSn=−+D．121nk−=−【分析】观察、分析前后两行的数据，找出na与nS的关系，进行求解．【解答】解：A项：由数

阵可知，第1行：2个数，有1个间隔个数，第2行：第1行2个数加上1个间隔个数，此时有3个数，2个间隔个数，第3行：第2行3个数加上2个间隔个数，此时有5个数，4个间隔个数，以此类推：第n行：第1n−行1na−个数加上11na−−个间隔

个数，此时有na个数，1na−个间隔个数．121nnaa+=−，故A项正确；B项：1nS+包含nS，因为nS相邻两个数的和为1212nS−−−，所以133nnSS+=−，故B项正确；C项：415473857242S=++++++++=，不满足C选项，故C项错误；D项：121nn

aa+=−，112(1)nnaa+−=−，{1}na−是等比数列，首项111a−=，公比2q=，112nna−−=，121nna−=+，由数阵可知，k比na少2个，121nk−=−，故D项正确；故选：ABD．【

点评】本题考查归纳推理的能力，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.（2021秋•江苏期中）2sin80sin20cos20−的值为()A．1B．2C．3D．2【分析】根据两角和的正弦公式即可求

出．【解答】解：原式2sin(6020)sin203cos20sin20sin203cos20cos20+−+−===．故选：C．【点评】本题考查了两角和的正弦公式，考查了运算求解能力，属于基础题．14．著名数学家、

物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1℃，空气温度为0℃，则t分钟后物体的温度（单位：℃）满足：()010kte−=+−．若常数0.05k=，空气温度为30℃，某物体的温度从120C下降到40℃，大约需要的时间为（）（参考数据：ln31.1）A．36分钟B．

39分钟C．40分钟D．44分钟【来源】江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高一上学期期中数学试题【答案】D【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.【详解】由题知030=，1120=，40=，0.054030(12030)te−=+−，

0.0519te−=，10.05ln9t−=，0.05ln92ln3t==，2ln340ln3440.05t==.故选：D.15．（5分）（2021秋•如皋市期中）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“

强基计划“招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为1418；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为．

【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率111522218Pxyxy=+−=，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得xy的最小值，进而求出该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概

率最大值．【解答】解：该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率1111115(1)(1)22222218Pxyxyyxxyxy=+−+−=+−=，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为111111571(1)(1)222222

189xyxyxy−−−=++−=+=，由111522218xyxy+−=得，59xyxy+−=，529xyxyxy+=+，即5209xyxy−+，解得19xy或259xy，又01x，01y，01xy，19xy，该同学恰好通过A，B两所

大学招生考试的概率为12xy，最大值为118．故答案为：79，118．【点评】本题主要考查了独立事件概率乘法公式，考查了基本不等式的应用，是基础题．16．双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点

分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，2ABF是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足23BQAF=，则C的离心率为___________.【详解】如图所示，由题意可得12||2FFc=，因为213FAQB=，所以12FAF△∽1FBQ△，所以2||4FQc=

，在等边三角形2ABF中，设22||||||AFBFABm===，则||3BQm=，1||2mAF=，由双曲线的定义可得21||||2AFAFa−=，所以22mma−=，即4ma①，因为2ABF是等边三角形，所以2260FBQABF==，

在2FBQ△中，2222222||||||cos2||||BFBQFQFBQBFBQ+−==2229161232mmcmm+−=，化简可得22716mc=②，由①②可得227ca=，所以e7=.故答案为：7.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（

10分）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定

理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，ABCABCabc1ba=+2ca=+2sin3sinC

A=ABCaABCa15742a=23ca=abcsinBCcos0Ca2sin3sinCA=()2223caa=+=4a=5b=6c=，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得

，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.18.(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，90ADC=，//,,2,ADBCABACABACE⊥==点在AD上，且2AEED=.（1）已

知点F在BC上，且2=CFFB，求证：平面PEF⊥平面PAC.（2）当二面角−−APBE的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？【来源】湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（1）由,2ABACABAC⊥==，即△

ABC为等腰直角三角形，又ABCD是直角梯形且90ADC=，且//ADBC，所以，45CADACB==，因为90ADC=，故ACD△为等腰直角三角形，所以，cos451ADDCAC===，2BC=，又2AEED=，2=CFFB，∴2233AEAD==，1233FBBC==，又/

/ADBC，即//AEFB，∴AEFB为平行四边形，则//EFAB，又ABAC⊥，故EFAC⊥，由PA⊥底面ABCD，EF面ABCD，则PA⊥EF，又PAACA=，∴EF⊥面PAC，2221cos28a

bcCabC237sin1cos8CC=−=1137157sin452284ABCSabC===△cbaABCC()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++13a−0<<3a12aa

a+++1aaZ2a=而EF面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.（2）直线PC与平面PAB所成角的平面角为45CPA=，则tan1ACCPAAP==，∴2AP=.如下图，构建以A为原点，,,AMADAP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴2(0,0,0),(1,1,0),(0

,,0)3ABE−，(0,0,2)P，∴25(0,,2),(1,,0)33PEBE=−=−，若(,,)mabc=是面PBE的一个法向量，则2203503PEmbcBEmba=−==−=，令3

b=有(5,3,2)m=，由上易知：(1,1,0)AC=是面PAB的一个法向量，∴822cos,3||||236ACmACmACm===.∴当二面角−−APBE的余弦值为223时，直线PC与平面PAB所成的角为45.19.（12分）19.已知各项均为正数的数列

{}na，{}nb满足12a=，14b=，且na，nb，1na+成等差数列，nb，1na+，1nb+成等比数列．（1）求证：数列nb为等差数列；（2）记111nnncaa+=+，记{}nc的前n项和为nS，若1101kS，求正整数k的最小值．【分

析】（1）直接利用数列的递推关系式和等差中项的应用求出数列nb为等差数列；（2）利用（1）求出数列{}na，{}nb的通项公式，进一步利用裂项相消法和函数的单调性的应用求出k的最小值．【解答】证明：（1）各项均为正数的数列{}na，{}nb满足na，n

b，1na+成等差数列，则：12nnnbaa+=+；由于nb，1na+，1nb+成等比数列．所以211nnnabb++=，由于12a=，14b=，所以26a=，29b=；所以2112()nnnnnbbbbb−+=+，(2)n，整

理得112nnnbbb−+=+，所以数列nb为等差数列．（2）由（1）得121(1)()nbbnbb=+−−，整理得2(1)nbn=+；进一步求出(1)nann=+，得：11111111111(1)(1)(2)1122

nnncaannnnnnnnnn+=+=+=−+−=−+++++++；故1111111113111...32435112212nSnnnnnn=−+−+−++−+−=−−−++++，由于函数311()212fxx

x=−−++在(0,)+上单调递增，由于1110311212kSkk=−−++，当3k=时，331121245201110S=−−=，当4k=时，431134256301110S=−−=故k的最小值为4．【点评】本题考查

的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，函数的单调性，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（12分）（2021秋•海安市期中）已知过点(2,0)P−的直线l

与抛物线2:2(0)ypxp=相切于点0(Tx，2)．（1）求p，0x；（2）设直线1:(0)2myxtt=+与相交于点A，B，射线PA，PB与的另一个交点分别为C，D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出

定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）1p=，02x=．（2）直线CD经过定点(0,1)．【考点】直线与抛物线的综合【专题】数形结合；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算【分析】（1）由题意可设切线l的方程为：(2)ykx=+，与抛物

线方程联立化为：2222(42)40kxkpxk+−+=，可得△0=，结合斜率计算公式、及其点在抛物线上即可得出．（2）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立2122yxtyx=+=，化为：2440yyt−+=，△0，可得根与

系数的关系．射线PB的方程为：22(2)2yyxx=++，射线PA的方程为：11(2)2yyxx=++，分别与抛物线方程联立，进而得出CD坐标，进而得出方程及其定点坐标．【解答】解：（1）由题意可设切线l的方程为：(2)ykx=+，联立22(2)ypxykx

==+，化为：2222(42)40kxkpxk+−+=，则△224(42)160kpk=−−=，化为：24pk=，又022kx=+，042px=，解得：12k=，1p=，02x=．（2）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立2122yxtyx=+

=，化为：2440yyt−+=，△16160t=−，解得1t．124yy+=，124yyt=，射线PB的方程为：22(2)2yyxx=++，(2)x−，射线PA的方程为：11(2)2yyxx=++

，(2)x−，联立2112(2)2yxyyxx==++，化为：2111(24)40yyxyy−++=，14Cyy=，14Cyy=，218Cxy=，可得218(Cy，14)y．同理可得228(Dy，24)y，直线CD的方程为：1221122124448

()88yyyxyyyy−−=−−，化为：21148()2tyxyy−=−，211442ttyxyy=−+，即21142ytyxyy=−+，化为：12tyx=+，直线CD经过定点(0,1)．【点评】本题考查了直线与抛

物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.（12分）某地有一对夫妻打算购房，对该城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如频数分布表：均价X（单位：千元）[4，5)[5，6)[6，

7)[7，8)[8，9)[9，10]频数22111041（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一个楼盘的均价X，假定2~(,)XN，求均价恰在8.12千元到9

.24千元之间的概率．（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出

一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束．（ⅰ）设客户乙站到第

(06,)nnnN个台阶的概率为nP，证明：当15n时，数列1{}nnPP−−是等比数列．（ⅱ）若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动．参考数据：取1.251

.12=，52()0.133=．若2~(,)N，则()0.68P−+，(22)0.95P−+，(33)0.997P−+．【答案】（1）0.135．（2）

()i证明详见解析．()ii该对夫妻应参与蹦台阶活动，理由详见解析．【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据频数分布表的数据，分别计算出平均值和方差

，再结合正态分布的对称性，即可求解．（2）()i客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种

，分别为客户乙先到第2n−格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP−，客户乙先到第1n−格，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP−，可得121233nnnPPP−−=+，再结合配凑法和等比数列的性质，即可求证

．()ii由()i知，当15n时，12()3nnnPP−−=−，故23010211222222()()()()()()()()[1()]333353nnnnnPPPPPPPP−−=−+−++−=−+−+−++−=−−−，整理得322()553nnP=+−，分别求出5P，6P的值，并结合期望公式

，即可求解．【解答】解：（1）221110414.55.56.57.58.59.57303030303030x=+++++=，222222222111041(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)(8.57)(9.57)1.2530303030

3030s=−+−+−+−+−+−=．7x==，21.25s=，1.12s==，~(,1.12)XN，0.950.68(8.129.24)0.1352PX−=．（2）()i证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客

户乙迈上第一个台阶，其概率为13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，①客户乙先到第2n−格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP−，②客户乙先到第1n−格，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP−，121233nnnPPP−−=+，则1122()

3nnnnPPPP−−−−=−−，当15n时，数列1{}nnPP−−是首项为1023PP−=−，公比为23−的等比数列．()ii由()i知，当15n时，12()3nnnPP−−=−，所以23010211222222()()()(

)()()()()[1()]333353nnnnnPPPPPPPP−−=−+−++−=−+−+−++−=−−−，整理得322()553nnP=+−，所以55322()0.548553P=+−=，且5642222()0.4523553PP==−−=．设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y千

元，则56()0.330.30.54830.4521.5204EYPP=+=+=（千元），1.52041.4，该对夫妻应参与蹦台阶活动．【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，以及等比数列通项公式的求解

和期望公式的应用，需要学生很强的综合能力，属于难题．22．（12分）（2021秋•浙江期中）已知2()fxxalnx=−，aR．（1）讨论()yfx=的单调性；（2）若()yfx=有两个零点1x，212()xxx，0x是()yfx=的极值点，求证：12034xx

x+．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，令21(1)xttx=，问题转化为证22(31)880tlntt+−+，令22()(31)88httln

tt=+−+，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）()fx的定义域是(0,)+，22()2axafxxxx−=−=，①0a时，()0fx，()fx在(0,)+单调递增，②0a时，

2()()22()aaxxfxx+−=，令()0fx，解得：2ax，令()0fx，解得：02ax，故()fx在(0,)2a递减，在(2a，)+递增，综上：0a时，()fx在(0,)+单调递增，0a时，()fx在(0,)2a递减，在(2a，)+递增；（2）证明

：2()gxxalnx=−，(2)(2)()20axaxagxxxx+−=−==，可得02ax=，当(0,)2ax，()0gx，(2ax，)+，()0gx，所以()gx在(0,)2a上单调递减，(2

a，)+上单调递增，而要使()gx有两个零点，要满足0()0gx，即2()()0222aaagaln=−，可得2ae，因为102ax，22ax，令21(1)xttx=，由22121122()()gxgxxalnxxalnx=−=−，即22221111121aln

txalnxtxalntxxt−=−=−，而221201134(31)22(31)8xxxtxatxa+++，即22(31)81alnttat+−，由0a，1t，只需证22(31)880tlntt+−+，令22()(3

1)88httlntt=+−+，则1()(186)76httlnttt=+−++，令1()(186)76nttlnttt=+−++，则261()18110(1)tntlnttt−=++，故()nt在(1,)+上递增，()ntn（1）0=，故()ht在(1,)+上递增，()h

th（1）0=；12034xxx+．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．