【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，913.280 KB，由envi的店铺上传

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铁人中学2024级高一上学期月考数学试卷试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟.2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.一、单项选择题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.

设命题2:Z,23pmmm−，则p为（）A.2Z,23mmm−B.2000Z,23mmm−C2000Z,23mmm−D.2Z,23mmm−【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原

结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为2000Z,23mmm−.故选：B2.已知集合13Axx=−Z，22Bxx=，则AB=（）A.1,2−B.1,0,1−C.1

,0,1,2−D.2,3−【答案】B【解析】分析】先解不等式，再求交集即可.【详解】由13Axx=−Z，可得1,0,1,2,3A=−，由22Bxx=，可得22Bxx=−，所以1,0,1A

B=−.故选：B3.已知,,,abcdR，则下列结论不正确的是（）A.若ab，cd，则adbc−−B.若0ab，0cd，则acbdC.若ab，则22acbcD.若0ab，则20232

023bbaa++.【【答案】C【解析】【分析】对于AB，利用不等式的性质，即可判断；对于C，通过取特殊值，即可判断；对于D，利用作差法判断.【详解】对于A，由cd，得dc−−，而ab，则adbc

−−，正确；对于B，由0ab，0cd，得acbd，正确；对于C，若ab，当0c=时，则22acbc=，不正确；对于D，因0ab，由()()20232023020232023abbbaaaa−+−=+

+，可得20232023bbaa++，正确.故选：C.4.下列各组函数是同一个函数的是（）A.()2fxx=与()()4gxx=B.()2()1fxx=−与()1gxx=−C.()1fx=与()0gxx=D.32()1xxfxx+=+与()gxx=【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用

同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，函数()2fxx=的定义域为R，()()4gxx=的定义域为)0,+，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，

所以A不符合题意；对于B，函数()2()11fxxx=−=−，()1gxx=−，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；对于C，函数()1fx=的定义域为R，()0gxx=的定义域为(,0)(

0,)−+，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意；对于D，由函数32()1xxfxxx+==+与()gxx=的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意.故选：D5.“14a−”是“方程2xxa+=有实数解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充

分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义求解.【详解】当14a=−时，此时的方程为2104xx+=+，即2012x+=无解，所以14a−2xxa+=有实数解；因为0x，所以2211024axxx=+=+−

，即140aa−，所以方程2xxa+=有实数解14a−；所以“14a−”是“方程2xxa+=有实数解”的必要不充分条件．故选：B.6.已知关于x的不等式²0axbxc++的解集为()(),23

,−+，则（）A.0aB.不等式0bxc+的解集是|6xx−C.0abc++D.不等式0bxa+的解集为1|3xx−或12x【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集可判断A；利

用韦达定理可得5,6baca=−=，代入BCD依次判断即可.【详解】对A，由不等式²0axbxc++的解集为()(),23,−+可知0a，A错误；对B，又2和3是方程²0axbxc++=的两

根，由韦达定理可得56baca−==，即5,6baca=−=，所以0560560bxcaxax+−+−+，解得65x，B错误；对C，5620abcaaaa++=−+=，C正确；对D，050510bxaaxax

+−+−+，解得15x，D错误.故选：C.7.存在三个实数123,,aaa，使其分别满足下述两个等式：（1）1232aaa=−（2）1230aaa++=其中M表示三个实数123,,aaa中

的最小值，则（）A.M的最大值是2−B.M的最大值是2−C.M的最小值是2−D.M的最小值是2−【答案】B【解析】【分析】由已知得，123,,aaa中必有2个正数，1个负数，设30a，120,0aa，则3Ma=，根据基本不等式及不等式的性质即可求解．【详解】由已知得，123,,

aaa中必有2个正数，1个负数，设30a，120,0aa，则3Ma=，因为1230aaa++=，所以312aaa−=+，所以312122aaaaa−=+，即23124aaa，所以331234aaaa，由1232aaa=−得，3324a−，即33

8a−，所以32a−，故选：B．8.一般地，若函数()fx的定义域为,ab，值域为,kakb，则称,ab为()fx的“k倍跟随区间”；特别地，若函数()fx的定义域为,ab，值域也为,ab，则称,ab为

()fx的“跟随区间”.下列结论不正确的是（）A.函数()fxx=存在跟随区间B.若0,b为()2fxx=的跟随区间，则1b=C.函数()11fxx=+存在跟随区间D.二次函数()212fxxx=−+存在“2倍跟随区间”【答案】C【解析】【分析】根据函数“

跟随区间”的定义，结合选项中每个函数的单调性和自变量的取值范围，可列出相应的方程组，如果解得存在区间符合题意，则判断该选项正确，如果解得方程的解不符合题意，可判断该选项错误.【详解】对于A，因为()fxx=在R上单调递增，所以对于,xab，其值域为,ab，由“跟随区间”的定义可知函数

()fxx=存在无数个跟随区间，故A正确；对于B，若0,b为()2fxx=的跟随区间，且()2fxx=的对称轴为0x=，所以2bb=，解得1b=或0b=（舍），故B正确；对于C，假设()11fxx=+存“跟随区间”[,]ab，因为1()1fxx=+在单调区间()(),0,0,

−+上均单调递减，则有()()fabfba==，解得152152ab−=+=，此时在[,]ab内包含0，0x=时函数无意义，故()11fxx=+不存在跟随区间，故C错误；对于D，若函数()212fxxx=−+

存在2倍跟随区间，设定义域为[,]ab，值域为[2,2]ab，当1ab时，函数在定义域上单调递增，则()2()2faafbb==，则,ab是方程2122xxx−+=的两个不相等的实数根，解得0x=或2x=−，故存在

定义域[02]−，使得值域为[40]−，，D正确.在为故选：C.【点睛】关键点点睛：解决这类给出函数新定义的题目时，关键是要正确准确地理解定义的含义，并能根据该定义去进行解答.二、多项选择题（本题包括个3小题，每小题6分，共1

8分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡上）9.已知函数2()1xfxx+=+，则关于函数()fx正确的说法是（）A.函数()fx的定义域为1xx−B.

函数()fx在(0,)+单调递减C.函数()fx值域为{y2}yD.不等式()2fx的解集为(1,0)−【答案】ABD【解析】【分析】根据分式函数有意义求解定义域判断A，利用分离常数法结合反比例函数的单调性判断B，根据分离常数法求解值域判断C，解分式不等式判断D.【详解】由21()111xf

xxx+==+++，要使函数()fx有意义，则10x+，解得1x−，则函数()fx的定义域是1xx−，值域为4yy，故A正确；1yx=向左平移一个单位，得到11yx=+，再向上平移1个单位，得到1()11fxx=++，因为函

数1yx=在(0,+∞)上为减函数，所以函数()fx在(1,)−+单调递减，函数()fx在(0,)+单调递减，故B正确；由1x−，知10x+，101x+，所以1()111fxx=++，所以函数()fx值域为1yy，故C错误；不等式()2fx即2200111xxxxxx+−

+++，所以()10xx+，所以10x−，所以不等式()2fx的解集为(1,0)−，故D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的有（）A.函数22122yxx=+++的最小值为2B.已知1x，

则4211yxx=+−−的最小值为421+C.若正数,xy满足23xyxy+=，则2xy+的最小值为3D.设0,0xy，22xy+=，则1323xyxy+++的最小值为85【答案】BCD【解析】【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为1

2133yx+=，妙用“1”可判断C；将已知变形为()()23310xyxy+++=，然后根据“1”的妙用可判断D.【详解】对A，令222tx=+，则1ytt=+，因为1ytt=+在)2,+上单调递增，所以min132222y=+=，A错误；对B，()44212

1128142111yxxxx=+−=−+++=+−−，当且仅当()4211xx−=−，即21x=+时，等号成立，所以B正确；对C，由23xyxy+=得12133yx+=，所以()12522542233333333xyxyxyyxyx+=++=+++=，当且仅当1xy==

时，等号成立，所以C正确；对D，由22xy+=得()()23310xyxy+++=，所以()13113233231023xyxyxyxyxyxy+=++++++++()()()3332118101061023105xyxyxyxy++=

+++=++，当且仅当()()33322322xyxyxyxyxy++=+++=，即21xy==时，等号成立，所以D正确.故选：BCD11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享

有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx=称为高斯函数，如[3.2]3=，[1.6]2−=−.若()[]fxxx=−

，()1xgxx+=，则下列说法正确的是（）A.当20232024x时，()2023fxx=−B.(1)()1fxfx+−=C.函数()fx的值域为[0,1)D.当1x时，函数()gx的值域为(1,2【答案】ACD【解析】【分析】对于A，直接由高斯函数定义

来验证即可；对于B，注意到,xkRZ，使得1kxk+，即可运算判断；对于C，由B选项可得()fx的周期，故只需讨论()fx在)0,1上的值域即可；对于D，分别求出每一段的值域，再求并集即可.【详解】对于A，当2

0232024x时，()2023fxxxx=−=−，正确；对于B，因为,xkRZ，使得1kxk+，此时112kxk+++，从而()()()()1110fxfxxkxk+−=+−+−−=，错误；

对于C，由B选项分析可知，函数()fx是以1为周期的周期函数，故只需讨论()fx在)0,1上的值域即可，当)0,1x时，)()00,1fxxxxx=−=−=，即函数()fx的值域为[0,1)，正确；对

于D，当)1,2x时，(12()1,2xgxxx+==，当)2,3x时，133()1,2xgxxx+==，当)3,4x时，144()1,3xgxxx+==，依次类推，当)(),1Nxnnn+时，111()1,xnngxxx

n+++==，取并集得函数()gx的值域为(1,2，正确.故选：ACD.三、填空题（本题包括个3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡中的横线上）12.已知函数()fx的定义域[0,6]，则函数(2)()1fxgxx=−的定义域为______

.【答案】[0,1)(1,3]【解析】【分析】根据题意，得出不等式组02610xx−，解不等式组即可求得函数()gx的定义域.【详解】由函数()fx的定义域[0,6]得要使函数(2)()1fxgxx=−有意义，则满足02610x

x−，解得01x或13x，即函数()gx的定义域为[0,1)(1,3].故答案为：[0,1)(1,3].13.我们用符号max,,abc表示,,abc三个数中较大的数，若231R,()

max3,,4322xfxxxxx=−++−+，则()fx的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数()fx的图象，数形结合即可得解.【详解】解：联立33122yx

yx=−+=+，解得12xy==，联立2343yxyx=−+=−+，解得03xy==或30xy==，联立2312243yxyx=+=−+，解得1254xy==

或58xy==，作出函数231()max3,,4322fxxxxx=−++−+的图象如图：由图可知，则()fx的最小值为()12f=.故答案：2.14.已知()224,232,34xxxfxxxx−+=

+，()1gxax=+，若任给12,4x，存在22,1x−．使得()()12fxgx=，则实数a的取值范围是______．【答案】77,,42−−+【解析】【分析】根据已知可推得()fx在2,4上的值域为()gx在

2,1−上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出()932fx.进而分0a，0a=，0a三种情况，得出()gx的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由任给12,4x，存在22,1

x−．使得()()12fxgx=，可知，()fx在2,4上的值域为()gx在2,1−上的值域的子集.根据二次函数的性质可知，当23x时，()24fxxx=−+单调递减，且()222424f=−+=，()233433f=−+=，所以，()34fx；当34x时，()2

22xfxxxx+==+.(34,3,4xx，且34xx，则()()34343422fxfxxxxx−=+−+()()3434342xxxxxx−−=.因为(34,3,4xx，且34xx，为所以349xx，340xx−，3420xx−，所以，()()340fxf

x−，()()34fxfx，所以，()fx在(3,4上单调递增.又()294442f=+=，所以，()11932fx.综上所述，当24x时，()932fx.当0a时，()1gxax

=+单调递增，所以()211agaa−++.所以有213912aa−++，解得72a；当0a=时，()1gx=不满足；当0a时，()1gxax=+单调递减，所以()121agaa+−+.所以有13

9212aa+−+，解得74a−.综上所述，74a−或72a.故答案为：77,,42−−+.四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤.）15.已知集合24120A

xxx=−−，132Bxaxa=−+.（1）当1a=时，求()ABRð；()BARð；（2）若ABB=，求实数a的取值范围.【答案】（1）()20ABxx=−Rð或56x，()BA=Rð（2）34(,][1,]2

3−−−【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求解集合A，然后求出RAð，当1a=时，求出集合B和BRð，然后利用交集运算求解即可.（2）由ABB=，得BA，然后按照B=和B分类讨论，分别列不等式组求解即可.【小问1详解】由2

4120xx−−得26x−，所以26Axx=−，所以2Axx=−Rð或6x，当1a=时，05Bxx=，0Bxx=Rð或5x，所以()20ABxx=−Rð或56x，()BA=Rð.【小问2详解】由ABB=，得BA，由

（1）知，26Axx=−，当132aa−+，即32a−时，B=，满足BA，因此32a−；当132aa−+，即32a−时，B，为使得BA，需满足12326aa−−+，解得413a−

，因此413a−，综上，32a−或413a−，即实数a的取值范围34(,][1,]23−−−.16.已知函数()21xfxbxa+=+经过()1,2−−，15,22两点.（1）求函数()fx的解析式；（2）判断函数()fx在()0,1上的单调

性并用定义进行证明；（3）若()fxm对任意11[,]43x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1()fxxx=+（2）()fx在()0,1上单调递减，证明见解析（3）174mm【解析】【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；（2）利用单调性的定义证明即可；（3）将

问题转化为max()mfx，然后利用单调性求解最值即可得解.【小问1详解】()12f−=−，1522f=，22554122baba=−−+=+，解得01ab==，()1fxxx=+.【小问2详解】()fx在(0

,1)上单调递减，证明如下：任取()12,0,1xx，且12xx，则()()()121212121212111xxfxfxxxxxxxxx−−=+−+=−，()12,0,1xx，且12x

x，120xx−，1201xx，∴1210xx−，()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在(0,1)上单调递减.【小问3详解】由()fxm对任意11[,]43x恒成立得max()mfx，由（2）知()

fx在(0,1)上单调递减，函数()fx在11[,]43x上的最大值为11744f=，174m，所求实数m的取值范围为174mm.17.已知函数()fx对任意x满足：()()324fx

fxx−−=，二次函数()gx满足：()()24gxgxx+−=且()14g=−.（1）求()fx，()gx的解析式；（2）若Ra，解关于x的不等式()()()()2143axaxgxfx+−+−−.【答案】（1）()1

fxx=+，()223gxxx=−−（2）答案见解析【解析】【分析】（1）用方程组法求()fx，用待定系数法求()gx；（2）先将不等式化为()()110xax−−，根据a分类求解即可.【小问1详解】()()324fxfxx−−=①，用

2x−代替上式中的x，得()()3284fxfxx−−=−②，联立①②，可得()1fxx=+；设()()20gxaxbxca=++，所以()()()222(2)24gxgxaxbxcaxbxcx+−=++++−−−=，即4424axabx++=所以44420

aab=+=，解得1a=，2b=−，又()14g=−，得3c=−，所以()223gxxx=−−.【小问2详解】因为()()()()2143axaxgxfx+−+−−，即()2110axax−++，化简得，()()110xax−−，①当0a=时，()10x−−，不等式的解为1xx

；②当11a，即10aa−，即01a时，不等式的解为1xxa或1x；③当11a，即10aa−，即1a或0a，当1a时，不等式的解为1xxa或𝑥>1}，当0a时，不等式的解为11xxa，④当11a=，即1a=时，2(1)

0x−，解得Rxx且1x，综上所述，当0a时，不等式的解为11xxa；当0a=时，不等式的解为1xx；当01a时，不等式的解为1xxa或1x；当1a=时，不等式的解为R

xx且1x；当1a时，不等式的解为1xxa或𝑥>1}.18.已知函数()()()211fxmxmxm=+−+R，（1）若函数()fx在(0,)+上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若()0fx

对任意xR恒成立，求实数m的取值范围；（3）设函数()2()gxfxmx=−在1,2x上的最小值为()hm，求函数()hm的表达式.【答案】（1）10mm−（2）222222mm−+（3）()22,21,24452,4mmmhmmmm−=−+−【解

析】【分析】（1）按照1m=−和1m−分类讨论，当1m=−时，根据一次函数判断，当1m−时，根据二次函数性质列不等式组求解即可.（2）当1m=−时，根据一次函数性质判断，当1m−时，根据二次不等式恒成立列不等

式组求解即可.（3）动轴定区间问题，按照12m、122m、22m分类讨论求解最值即可.【小问1详解】因为函数()fx在(0,)+上单调递增，∴当10m+=，即1m=−时,()1fxx=+，满足函数()fx在(0,)+单增，所以1m=

−；当1m−时，若()fx在(0,)+上单调递增，则需满足1002(1)mmm+−−+，解得10m−，综上：10m−.∴所求实数m的取值范围为10mm−.【小问2详解】当1m=−时，()1fx

x=+，由()0fx得1x−，不符合题意；当1m−，为使得()0fx恒成立，则需满足()210Δ4(1)0mmm+=−−+，即1222222mm−−+，解得222222m−+

；综上：222222m−+∴实数m的取值范围为222222mm−+.【小问3详解】二次函数()22()1gxfxmxxmx=−=−+的对称轴为2mx=.当12m，即2m时，()gx在[1,2]上单调递增，此时min()()(1)112hmgx

gmm===−+=−；当122m，即24m时，()gx在[1,]2m上单调递减，在[,2]2m上单调递增，此时22min()()()()112224mmmmhmgxgm===−+=−+；当22m，即4m时，()gx在[1,2]上单调

递减，此时2min()()(2)22152hmgxgmm===−+=−．综上，()22,21,24452,4mmmhmmmm−=−+−.19.问题：正实数a，b满足1ab+=，求12ab+的最小值.其中一

种解法是：()12121babababa+=++=+22322ab+++≥，当且仅当2baab=且1ab+=时，即21a=−且22b=−时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足1xy+=，求23xy+的最小值；（2）若实数a，b，x，

y满足22221xyab−=，求证：()222abxy−−；（3）求代数式352Mmm=−−−的最小值，并求出使得M最小的m的值.【答案】（1）526+（2）证明见解析（3）136m=时，M取得最小值63．【解析】【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值

；（2）利用已知，222222222222222222()1()()()xybxayabababxyabab−=−=−−=+−+，然后由基本不等式进行放缩：2222222bxayxyab+，再利用不等式的性质得出大小．并得出等

号成立的条件．（3）令35xm=−，2ym=−，构造22221xyab−=，即以2231xy−=，即221113xy−=，然后利用（2）的结论可得．【小问1详解】因为0,0xy,1xy+=，所以3

232()()5525232326xyxyxyyxxxyxyy=+=+++=+++，当且仅当32xyyx=，即62,36xy=−=−时取等号，所以xy+的最小值是526+．【小问2详解】22222222222222

2222()1()()()xybxayabababxyabab−=−=−−=+−+，又22222222222222bxaybxayxyabab+=，当且仅当222222bxayab=时等号成立，所以22222222()bxa

yxyab+−+2222222()xyxyxyxyxy+−+−=−，所以222()abxy−−，当且仅当222222bxayab=且,xy同号时等号成立．此时,xy满足22221xyab−=.【小问3详

解】令35xm=−，2ym=−，由35020mm−−得2m≥，()()22352230xymmm−=−−−=−，又0,0xy，所以xy，构造22221xyab−=，由2231xy−=，可得221113xy−=，因此2211,3ab=

=，由（2）知352Mmm=−−−2216133xyab=−−=−=，取等号时，22133xy=且,xy同正，结合2231xy−=，解得66,26xy==，即6352m−=，136m=．所以136m=时，M取得最小值63．【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：

“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用222222222222222222()1()()()xybxayabababxyabab−=−=−−=+−+，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数

学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．