【文档说明】四川省宜宾市2022届高三下学期第二次诊断性测试（3月）（二模） 数学（理）(答案).docx，共(9)页，582.816 KB，由管理员店铺上传

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宜宾市高2019级二诊考试数学（理工类）参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视

影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空

题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案ABCBCDCADADA二、填空题13．6910xy−−=14．2−15．1316．121n−三、解答题12．解：设PCm=，BCn=，过P作P

DAC⊥，由题意，当三棱锥PABC−的体积最大时，必定有面PAC⊥面ABC，即PD就是三棱锥的最大高，在PAC中，1112sin30222APCSmmACPD===，又2222222cos30234ACmmm=+−=−+，2234mmPDACm==−+，又12sin302

2ABCnSn==，221112333232234234PABCABCnmmmVSPDmm−−===−+−+221(234)46234mm−+−=−−+令2234mt−+=，由22234(3)1[12

3,)02mmmt−+=−+=，21414()66PABCtVttt−−=−=−−在[1,2)上单调递减，当1t−时，即3m=时，max141()(1)612PABCV−=−−=17．解（1）由题意：x的取值为：1,2,3,4,5，3x=，1(12.713.11

4.014.915.3)145y=++++=，…………………………………2分55115222222252211()()5112.7213.1314414.9515.35314ˆ1234553()5iiiiiiiiiixxyyxyxybxxxx====−−−++++−

===++++−−−12.726.24259.676.521070.714916254510++++−===++++−………………………………………5分ˆ140.7311.9a=−=，…………………

……………………………………………6分0.711.9yx=+，……………………………………………………………………7分2022年的营业里程数为0.7611.916.1+=（万公里）…………………………8分（2）在12.7,13.1,14.0,14.9,15.3五个数中，有2个超过14万公里

，有3个没有超过14万公里，设取得的两个数中，至少有一个超过14万公里为事件A，则由题意知：211223251237()1010CCCPAC++===，即所求概率为710．……………………………12分18．选择①解：（1）由)2)(1(21+−=naSnn有当1=n时，)

21)(1(21111+−==aSa，解得31=a…………………………………1分当2n≥时，)1)(1(2111+−=−−naSnn，………………………………………………2分所以)1)(1(21)2)(1(211

1+−−+−=−=−−nanaSSannnnn，即1)1(1++=−nnanna，两边各项同除以)1(+nn得111)1(111+−=+=−+−nnnnnanann，…………………………………………………4分2)23()21()1()1(111232211aaanananana

nananannnnnnn+−++−−−+−−+−+=+−−−−−23)3121()1121()111()111(+−++−−−+−−++−=nnnnnn112112112321++=+−=+−+=nn

nn12+=nan……………………………………………………………………6分（2）由（1）知12+=nan，已知)2)(1(21+−=naSnn)2()2)(112(21)2)(1(21+=+−+=+−=nnnnnaSnn)211(21)2(11+−=+=nn

nnSn……………………………………………………8分)]211()1111()4121()3111[(2111121+−++−−++−+−=+++=nnnnSSSTnn)2(21)1(2143)21112111(21+

−+−=+−+−+=nnnn…………………………………9分43)2(21)1(2143+−+−=nnTn…………………………………………………10分另一方面，nT是关于n的增函数，131131114

2(11)2(12)4463nTT=−−=−−=++≥综上有：1334nT≤．……………………………………………………………12分选择②解：（1）由222(21)(2)0nnSnnSnn−+−−+=有0)1)](2([2=++−nnSnnS

…………………………………………………………1分所以nnSn22+=或1−=nS0na，所以1−=nS舍去nnSn22+=………………………………………………………………………3分当1=n时，3121211=+==Sa，当2n≥时，12)1(2)1(22

21+=−−−−+=−=−nnnnnSSannn，当1=n时，符合上式，12+=nan…………………………………………………………………………6分（2）由（1）知nnSn22+=)211(21)2(11+−=+=nnnnSn……………………

………………………………8分)]211()1111()4121()3111[(2111121+−++−−++−+−=+++=nnnnSSSTnn)2(21)1(2143)21112111(21+−+−=+−+−+=nnnn………………………………9分43

)2(21)1(2143+−+−=nnTn………………………………………………10分另一方面，nT是关于n的增函数，1311311142(11)2(12)4463nTT=−−=−−=++≥综上有：

1334nT≤．……………………………………………………………12分19.解：（1）连接EB，由题意，2PE=，222BEABAE=+=，M是PB中点，MEPB⊥．已知MEPC⊥，PCPBP=，ME⊥面PBC，则BCME⊥……………………2分在BCE△中，

2CE=，2BE=，π4CEBAECAEB=−=，由余弦定理得：2BC=，BCBE⊥．MEBEE=，则BC⊥面BEM，于是PEBC⊥．…………4分PEAE⊥，AE与BC相交，PE⊥面ABCE，EC面AB

CE，PEEC⊥．………………………………………………………………………6分（2）连BN，MN，设ENt=，由（1）知PE，EA，EC两两垂直，故分别以EA，EC，EP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，由题意，则(,0,0)Nt，(1,1,0)B，112(,,)222

M，取面PCE的法向量(1,0,0)m=，设面BMN的法向量(,,)nabc=，则112112(,,)(,,)0222222(,,)(1,1,0)(1)0nBMabcabcnBNabcttab=−−=−−+=

=−−=−−=，令1a=，则1bt=−，2tc=，即(1,1,)2tnt=−……………………………………………………………………8分设面BMN与面PCE的二面角为，则：2222(1,0,0)(1,1,)112cos332422()1(1)22332ttttttt−===−+−++

−+，…………………11分当23t=时，max3cos2=，即EN长为23时，所求锐二面角最小．………12分20．解：（1）解：(0,1)GQ，12(,0),(,0)FcFc−，1(,1)FGc=uuur，2(,1)FGc=−uuur……１分21212FGFG

c=−=−uuuruuur，2231ca==−24a=………………………………3分E：2214xy+=………………………………………………………………………４分（2）设ABl:1ykx=，CDl:2ykx=，11(,)Axy（1

0x），22(,)Cxy（20x）由22144xyykx+==联立得：221(41)4kx+=，得121214xk=+，同理222214xk=+6分又2111OAkx=+……………………………………………

………………………7分点C到ABl的距离212211xkkdk−=+……………………………………………………8分所以21221112122114421221AOCxkkSSOAdkxxxkkk−===+=−+

………9分221212122222212121288()2141414()16()kkkkkkkkkkkk−+−==+++++2222121222222212128()24()214()(161)()(4)4kktkktkktkkt+−

+−==++++++………………………………11分当21424tt+=−即14t=−时，四边形ACBD的面积为定值4.……………………12分21．解：（1）当1a=时，()ln(1)1fxxx=−−−，1

2()111xfxxx−=−=−−，………1分()fx的定义域为(1,)+，()012fxx，()02fxx，()fx在(1,2)单调递增，()fx在(2,)+单调递减，………………………………3分m

ax()(2)ln(21)123fxf==−−−=−．……………………………………………5分（2）法一：]1ln)1[ln(e)()()(−+−−=−=axaxfxgxFx)0,1(ax)1(1e)(−−=xxaxFx)1()1(e)(2−+=xxaxFx)0(a0)

1(e)(2−+=xaxFx，1e)(−−=xaxFx在），（+1单调递增，…………6分取1++aeax，且)ln(aex+则0)(e1e)(+−−−=aexaxFxx取12++aeax，且)ln(2aex+则0)(e

1e)(2+−−−=aexaxFxx可见，),1(0+x，使得01e)(000=−−=xaxFx，即1e00−=xax，0e)1(0xxa−=当),1(0xx时，0)(xF，)(xF单调递减当

)(0+，xx时，0)(xF，)(xF单调递增]1ln)1[ln()()(00min0−+−−==axaexFxFx……………………………………8分依据题意有：0)(0xF即0]1)1(eln)1)[ln(1(ee0x00x000−−+−−−xxxx01)1()

1ln(200000−−−+−xxxxx令)0(10−=txt)0(11ln2)(2−−++=tttttth01122)(2+++=tttth)(th在),0(+单增，………………………………

………………………………10分又发现0)1(=h，则)1,0(有0)(th，),1(+有0)(th10t，即210x令xxxe)1()(−=）（21x0e)(=xxx，即)(x单调递增2e)2()()1(0==x2e0a……………………

………………………………………………………12分（2）法二：由题意，lnln(1)0exxaaaxax−−−−++恒成立，即lnlne(1)0xaaaxa−−−+对任意(1,)x+恒成立，1lnln(e1)10xaxa−−−+对任意(1,

)x+恒成立，ln1lnln(1)10eexaax−−−+对任意(1,)x+恒成立，ln(ln)ln()10e1xaxaxx−+−−−−+对任意(1,)x+恒成立，ln(ln)e(1)ln(1)xaxaxx−+−−+−对任意(1,)x

+恒成立，lnln(1)ee(ln)ln(1)xaxxax−−+−+−对任意(1,)x+恒成立，……………………7分令()exhxx=+，显然()hx在R上单调递增，原题lnln(1)xax−−对任意(1,)x+恒成立，即lnln(1)axx−−对任意(1,)x+恒

成立，………………………………………8分又由（1）知：()ln(1)13fxxx=−−−−≤，ln(1)2xx−−≥2ln2elna=，2ea……………………………………………………………10分又由()fx的解析式知0aa的取值范围为：2(0,e)．…………………………………………

………………12分22解：（1）设(,)Q，11(,)P，由已知得11sin2=−，18=，1π2=+………………………………………………………3分则8πsin()22−=−,曲线C的极坐标方程为4cos

=（０）……………5分（2）法一：l的直角坐标方程为yx=C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx−+=由22(2)4(0)yxxyx=−+=得点A的直角坐标为(2,2)……………………………６分

由已知可设B的直角坐标为(22cos,2sin),(π,π)+−,则B到0lxy−=：的距离|2cos22sin|π|22sin()|42d−==−−+……………７分1π||2|2sin()2|24AOBSOAd

==−−…………………………………………8分当ππsin()1,44−=−即＝-时AOB面积有最大值为222+…………………９分这时点B的直角坐标为(22,2)+−………………………………………………10分（2）法二：由已知得22A=,,4cosB

=B设点Ｂ（）,(-,],则22７分1ππsin()42sin()cos244AOBABS=−=−π222sin(2)42=−−……8分ππ(,]22−Q8=−时，AOB面积的最大值为222+.………………9

分这时点B的直角坐标为(22,2)+−………………………………………………10分23.解：（1）法一：,,abc+RQ，3abc++=2(111)abc+++++(3)211211211abcabbcac=++++++++++++.………………2分621121

1211abbcac=+++++++++6(2)(2)(2)18abbcac+++++++++=≤………………………………………4分11132abc+++++≤（当且仅当1abc===时取等）111abc++++

+的最大值为32.………………5分（1）法二：柯西不等式2(111)[(1)(1)(1)](111)18abcabc++++++++++++=≤11132abc+++++≤（当且仅当1abc===时取等）……………………5分（2）法一：2222

22222acbacbacabbcbcabca+++++++≥Q……………………………7分又Q222()4acabcbaabcbc+=+≥,同理：224abbcbca+≥,224acbccba+≥…………8分2222()6acabbcabcbca++++=≥,,2222226acbacbbca+

++++≥…………10分（2）法二：柯西不等式（2）222222222222()()()acbacbabcbacbcababcca+++++=+++++Q222()()()abbaabba+++≥，22()()ababba++≥（当且仅当ab=时取等）………7分同理可得：

22()()bcbccb++≥（当且仅当bc=时取等）…………………………8分22()()cacaac++≥（当且仅当ca=时取等）………………………………………9分222222222222+()()()2()6acbacbabcbacabcbcababcca+++

+=+++++++=≥（当且仅当abc==时取等）………………………………………………………10分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com