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专练52离散型随机变量及其分布列、均值与方差授课提示：对应学生用书109页[基础强化]一、选择题1．设随机变量X的分布列如下：X1234P161316p则p为()A．16B．13C．23D．12答案：B解析：由分布列的性质可知16＋13＋16＋p＝1.

∴p＝13.2．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于()A．13B．14C．12D．23答案：D解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝

13，∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－13＝23.3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝14，P(X＝a)＝34，E(X)＝74，则D(2X－1)＝()A．25B．34C．35D．56答案：B解析：由题意知：1×14＋a×34＝74，∴a＝2.∴

D(2X－1)＝4D(X)＝4[(1－74)2×14＋(2－74)2×34]＝34.故选B.4．设随机变量ξ的分布列为Pξ＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P110<ξ<710等于()A．35B．4

5C．25D．15答案：C解析：由题意知，分布列为ξ152535451Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.所以P110<ξ<710＝Pξ＝15＋Pξ＝

25＋Pξ＝35＝115＋215＋315＝25，故选C.5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m23k，k＝1，2，3，则m的值是()A.1736B．2738C.1719D．2719答案：B解析：由题意得，m23＋49＋827＝1，∴m＝27

38.6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为()答案：A解析：由题可知P(X＝0)＝C23C27＝321＝17，P(X＝1)＝1－P(X

＝0)＝1－17＝67.7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝()A．19B．16C．13D．14答案：C解析：由分布列的性质可知，12a＋22a＋32a＝62a＝1，得a＝3，P(X＝2)＝22a＝13.8．节日

期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜花以每束16元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束，则利润的均值为()A.7060元B．6900元

C.7540元D．7200元答案：A解析：E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×50＋160×16)－500×25＝7060.故选A.9．[2024·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发

球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为()A.0，12B．0，712C.

12，1D．712，1答案：A解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>52或p<12.由

p∈(0，1)，得p∈0，12.故选A.二、填空题10．已知离散型随机变量X的分布列如下：X01P9C2－C3－8C则常数C＝________．答案：13解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝13或C＝23

，又当C＝23时，9C2－C＝9×49－23>1，不合题意，当C＝13时符合题意．∴C＝13.11．设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________．答案：512解析：由分布列的性质知13＋m＋14＋16＝1，得m＝14.P(|X

－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝16＋14＝512.12．[2024·山东德州模拟]随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________．答案：1解析：∵随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，

∴设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝0.8－a，0≤a≤0.8.则E(X)＝0×0.2＋a＋2(0.8－a)＝1.6－a.又D(X)＝(a－1.6)2×0.2＋(a－0.6)2a＋(a＋0.4)2(0.8－a)

＝0.4，整理得a2－0.2a－0.24＝0，解得a＝0.6或a＝－0.4(舍)，∴E(X)＝1.6－0.6＝1.[能力提升]13．设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0，1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)

先减小后增大答案：D解析：由题意可得，E(X)＝13(a＋1)，所以D(X)＝（a＋1）227＋（1－2a）227＋（a－2）227＝6a2－6a＋627＝29a－122＋34，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.14．(多选)[2024·山东聊城

模拟]随机变量ξ的分布列为ξ012Pab2b2其中ab≠0，则下列说法正确的是()A.a＋b＝1B.E(ξ)＝3b2C.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值答案：ABD解析：根据分布列的性质得a＋b2＋b2＝1，即a＋b＝1，故A正

确；根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×b2＋2×b2＝3b2，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝0－3b22×a＋1－3b22×b2＋2－3b22×b2＝－94b2＋52b＝

－94b－592＋2536，因为0<b<1，所以当b＝59时，D(ξ)取得最大值2536，故C不正确，D正确．故选ABD.15．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X012

3P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案：乙解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y

)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.因为E(Y)<E(X)，所以乙技术好．16．设随机变量ξ的分布列如表所示，ξ123456Pa1a2a3a4a5a6其中a1，a2，…，a6构成等差数列，则a1·a6的最大值为________．答案：136解析：方

法一因为a1，a2，…，a6构成等差数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1，所以a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝13，即a6＝13－a1，a1∈[0，13]，所以a1·a6＝a1(13－a1)＝－a21＋13a1＝－(a1－16)2＋136，a1∈[

0，13]，所以当a1＝16时，a1·a6取得最大值136.方法二因为a1，a2，a3，a4，a5，a6成等差数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1，所以a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝13，且a1，a6≥0，所以a1a6≤(a1＋a62)2＝13

6，当且仅当a1＝a6＝16时取等号，所以a1a6的最大值为136.