【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，759.549 KB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年（下）期中学业质量联合调研抽测高二数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从A处

到达他所在的班级B处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为图1A.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】【分析】可把最短路程归结为6步中有2个横步的不同走法的总数即可.【详解】从A到B共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，故最短路程的不同走法数为2615C=，

故选C．【点睛】本题考查组合数的应用，注意利用对应关系把实际问题转化为组合问题（如本题中的走法与横步和竖步的组合的对应），此类问题属于基础题.2.()61x+展开式中含2x项的系数为（）A.30B.24C.20D.15【答案】D【

解析】【分析】利用二项式通项求解即可.【详解】()2166CCrrrrrTxx+==，令22r=，解得4r=，所以含2x项的系数为46C15=.故选：D3.若函数32()36fxxaxx=++−在3x=−时取得极值，

则=a（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】求出导函数()fx，由(3)0f−=，解得a值，并确定3−是极值点即可得．【详解】对函数()3236fxxaxx=++−求导可得，()2323fxxax=++，∵()3236

fxxaxx=++−在3x=−时取得极值，所以(3)05.fa−==此时2()3103(3)(31)fxxxxx=++=++，3x−时，()0fx，133x−−时，()0fx，3−是极值点．故选：D.4.已知nS是等差数列na的前n项和，且满足244,22aS=

=，则5S=（）A.65B.55C.45D.35【答案】D【解析】【分析】由等差数列的基本量法及前n项和定义求得公差d，然后计算出3a，再由等差数列的性质求得5S.【详解】设数列的公差为d，则()()()44444222,3Sdddd=

−+++++==，()15325357,5352aaaadSa+=+====．故选：D5.在()()621xx−+展开式中，含4x的项的系数是（）A.220B.-220C.100D.–100【答案】D【解析

】【分析】利用多项式乘法法则将x，1分别与()62x−展开式的3x，4x项相乘即可计算作答.【详解】()62x−展开式的通项为66166C2()(1)2C,N,6rrrrrrrrTxxrr−−+=−=−，于是得3333346(1)2C160Txx=−=−，4244456(1)2C6

0Txx=−=，则()()621xx−+展开式中含4x的项是45xTT+，所以含4x的项的系数是1(160)160100−+=−.故选：D6.设()fx，()gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，()fx，()gx为其导函数，当0x时，()()()()0fxgxfxgx+且(

)30g−=，则使不等式()()0fxgx成立的x的取值范围是（）A.()(),03,−+B.()()3,03,−+C.(),3−D.()()0,36,+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()()hxfx

gx=，由题意可得该函数的奇偶性与单调性，结合函数性质计算即可得解.【详解】因为()fx，()gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以()()fxfx−=−，()()gxgx−=，令()()()hxfxgx=，则()()()()()()hxfxgxfxgxhx

−=−−=−=−，故()()()hxfxgx=为R上的奇函数，因为当0x时，()()()()0fxgxfxgx+，即0x时，()()()()()0hxfxgxfxgx=+，所以()()()hxfxgx=在区间(),0−上

单调递减，所以奇函数()hx在区间()0,−上也单调递减，又()30g−=，所以()03g=，所以()()330hh−==，所以当()()3,03,x−+时，()()()0hxfxgx=.故选：B.7.已知()ln,0e4ln,exxfxxx=−，若()()()fafb

fc==且abc，则416ebac+的取值范围是（）A.(0,17)B.121e2,1e6−+C.)12e1,7e61−+D.[12,17)【答案】D【解析】【分析】设()()()fafbfct===，可知01t，求得eta−=，etb=，4etc−=，可得出42e161

6eettbac+=+，构造函数()216eettgt=+，利用导数求出函数()gt在(0,1]上的值域，即为所求.【详解】设()()()fafbfct===，作出函数()yfx=和yt=的图象如下图所示：由图象可知，当01t时，函数()y

fx=和yt=的图象有三个交点，且401eeabc，由已知可得lnln4lnabct−==−=，所以，eta−=，etb=，4etc−=，所以，4424e16e1616eeeetttttbac+−+=+=+，令()216eettgt=+，其中01t，则()

()231622ee8eettttgt=−=−，令()0gt=，可得ln2t=，列表如下：t()0,ln2ln2()ln2,1()gt−0+()gt减极小值增所以，函数()gt在()0,ln2上单调递减，在()ln2,

1上单调递增，则()()minln212gtg==，因为()017g=，()2161eeg=+，故()()10gg，所以，函数()gt在(0,1]上的值域为)12,17，因此，416ebac+取值范围是)12,17.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于通过

设()()()fafbfct===，将a、b、c用含t的代数式加以表示，再将所求代数式的取值范围转化为关于t的函数值域问题，结合导数法求解.8.已知函数2()5ln3fxaxax=−，2()gxxb=−，若两曲线()yfx=，

()ygx=有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当(0,)a+时，b的最大值为A.3552eB.3232eC.352eD.3532e【答案】A【解析】【分析】由题意得2200020053532alnxaxxbaaxx−=−−=，解

得220,45lnxabaaa==−，设()2245lnhaaaa=−，利用导数得到函数的单调性，即可求解函数的最值.【详解】设公切点为()00,xy，由题意得2200020053532alnxaxxbaaxx−=−−=，解得220,

45lnxabaaa==−，设()2245lnhaaaa=−，则()310lnhaaaa=−，当3100,ae时，()0ha；当310,ae+时，()0ha，故()333310555max35422haheeee==−=

，即b的最大值为3552e，故选A.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中题设条件转化为等式，转化为函数()2245lnhaaaa=−，利用导数求得函数的单调性，求解函数的

最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.的9.给出下面几个问题，其中是组

合问题的有（）A.由1，2，3，4构成含有2个元素的集合个数B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数C.由1，2，3组成两位数的不同方法数D.由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数【答案】AB【解析】【分析】要判断是不是组合问题，关键是注意区分组合问题与排列问题

，只选不排为组合，既选又排为排列，即看问题中需不需要考虑顺序，而对于一些没有明显的表明排序的字词时，我们可以改变所选元素的顺序，如果得到的新组合与旧组合在问题中是两个不同的组合，则是排列问题，反之，如果新组合与旧组合在问题中是一样的组合，则为组合问题.【详解】A选项中集合的元素可以是无序的

，即：集合1,2与集合2,1是相同的集合，故A选项为组合问题；B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；C选项中如选1，

2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；D选项与C选

项类似，故D选项为排列问题.故选：AB.10.已知X的分布列为X012P1314a则下列说法正确的有（）A.5(2)12PX==B.2(0)3PX=的C.()1EX=D.(0)(2)PXPX==【答案】ABD【解析】【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值.【详解】由随机变量分

布列的性质可知11134a++=，即512a=，∴5(2)12PX==，故A正确；2(0)(1)(2)1(0)3PXPXPXPX==+==−==，故B正确；()11513012341212EX=++=，故C不正确；15(0)(2)312PXPX====，故D正确.故选：ABD11.已知数

列na满足21111,2nnnaaaa+++==，则下列说法正确的是（）A.20242023aaB.21na为递增数列C.211414nnnaaa++−=D.220241013a【答案】ACD【解析】【分析】利用作差

法由数列单调性可求得数列na为递增数列，可得A正确；再根据10na以及复合函数单调性可判断B，化简整理可判断C正确，由关系式可得22112nnaa+−，再利用累加法可判断D正确.【详解】因为22111022nnnnnnn

aaaaaaa+−+++−=−=，即1nnaa+，所以数列na为递增数列，可得20242023aa，选项A正确；因为数列na为递增数列且10na，则21na为递减数列，选项B错误；因为2112nnnaaa++

+=，可得2121nnnaaa+−=+，两边平方整理得211414nnnaaa++−=，选项C正确．因为211414nnnaaa++−=，整理得1114nnnaaa++=−，两边平方得22211211111622nnnnaa

aa+++=+−−，即22112nnaa+−，可得222222202420232023202221111,,,222aaaaaa−−−，累加可得22202411(20241)1011.52aa−−=，即2202411011.5a−

，所以220241012.51013a，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：再判断D选项时，关键要对表达式整理变形后进行合理放缩可得22211211111622nnnnaaaa+++=+−−，即22112nnaa

+−，再利用累加法即可作出判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()exfxx=的图象在0x=处的切线方程为______.【答案】0xy−=【解析】【分析】根据切点处切线的斜率等于切点处函数的导数即可求解.详解】∵()()1exfxx=+，∴()01f=，()0

0f=，∴函数()exfxx=在0x=处的切线方程为yx=.故答案为:yx=.13.曲线2cosyxx=+在点()0,2处的切线方程为__________．【答案】20xy−+=【解析】【分析】根据2cosyxx=+求导得到点()0,2处切线的斜率，再利

用点斜式即可得到切线方程，转化成一般式即可.【详解】解：2sin1yx=−+02sin011xky===−+=，【则曲线2cosyxx=+在点()0,2处的切线方程为()210yx−=−，即20xy−+=，故

答案为：20xy−+=.14.已知k为常数，函数31,02(),01xxfxxxx=−，若关于x的方程()1fxkx=+有且只有2个不同的解，则实数k的取值范围是__________．【答案】3(,4)2−−【解析】【分析】画

出()yfx=及1ykx=+的图像，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数31,02yxx=的图像相切或与,011xyxx=−的图像有两个公共点，从而可得实数a的范围．【详解】因为关于x的方程()1fxkx=+有且只有2个不同的解，所以()yfx=的图像与直线1ykx=+有两个不

同的交点，又()yfx=及1ykx=+的图像如图所示：当0k时，因()yfx=的图像与直线1ykx=+有两个不同的交点，故直线1ykx=+与31,02yxx=相切，与(),1,1xyxx=+−有一个交点，设切点为3001,2xx，从而300201

1232xkxkx=+=，解得01x=−，32k=．当0k时，因()yfx=的图像与直线1ykx=+有两个不同的交点，故直线1ykx=+与,011xyxx=−有两个公共点，所以方程1,011xkxxx+=−有两个不同的解，即()()1,0,11

kxxx=−−有两个不同的解，即()()11,0,1xxxk−=−，所以1104k−，故(),4k−−，综上，()3,42k−−．故填()3,42−−．【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零

点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列na

的公差0d，且342aa+=，258aa=−，na的前n项和为nS．（1）求na的通项公式；（2）若mS，9a，15a成等比数列，求m的值．【答案】（1）26nan=−；（2）6m=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出25,aa，即可求得数列na

的通项公式.（2）由（1）的结论，求出前n项和为nS，结合已知列出方程，即可求解.【小问1详解】等差数列na中，由342aa+=，得252aa+=，又258aa=−，而0d，即52aa，解得252,4aa=−=，则52252a

ad−==−，于是2(2)22(2)26naandnn=+−=−+−=−所以数列na的通项公式为26nan=−.【小问2详解】由（1）知26nan=−，则2(4265)2nSnnnn−+−=−=，912a=，152

4a=，由mS，9a，15a成等比数列，得2915maSa=，即221224(5)mm=−，整理得2560mm−−=，而Nm，解得6m=，所以6m=.16.已知函数()()212lnR2fxxaxxa=−−．（1）当0a时，讨论函数()fx的单调性；（2）若函数

()fx在区间2,6上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）在280,2aa++上单调递减，在28,2aa+++上单调递增（2）(,1−【解析】【分析】（1）求

出函数定义域与导函数，结合二次函数22yxax=−−的性质讨论函数的单调性；（2）依题意可得当2,6x时，()0fx恒成立，参变分离可得2axx−在2,6x上恒成立，令()2gxxx=−，2,6x，利用导数说明函

数的单调性，求出()mingx，即可得解.【小问1详解】函数()()212lnR2fxxaxxa=−−的定义域为()0,+，又()222xaxfxxaxx=−−=−−，又0a，二次函数22yxax=−−，开口向上，对称轴为02ax=，当0x=时=2y−

，所以关于x的方程220xax−−=异号的两个实数根，解得2182aax++=或2282aax−+=（舍），所以当2802aax++时()0fx，当282aax++时()0fx，所以()fx在280,2aa++

上单调递减，在28,2aa+++上单调递增.【小问2详解】依题意可得当2,6x时，()0fx恒成立，所以20xax−−在2,6x上恒成立，即2axx−在2,6x上恒成立，则min

2axx−.的令()2gxxx=−，2,6x，由()2210gxx=+，知()gx26,上单调递增，从而()()min21agxg==.经检验知，当1a=时，函数()fx不是常函数，所以a的取值范围是(,1−.17.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做

传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲

手中的概率为np，1,2,3,n=.①直接写出1p，2p，3p的值；②求1np+与np的关系式（*Nn），并求np（*Nn）.【答案】（1）分布列见解析（2）①10p=，212p=，314p=；②11122nnpp+=−+，1,2,3n=；()111132nnnp−

−+=【解析】【分析】（1）列出随机变量X的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得；（2）记nA表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得11122nnpp+=−+，1,2,3n=

，再通过构造等比数列求得数列的通项np即得.【小问1详解】X的可能取值为2和3，则()2334C32C4PX===，()3334C13C4PX===所以随机变量X的分布列为：X23在P3414【小问2详解】①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，n次传球后球在甲手中的概

率为np，1,2,3,n=，则有10p=，22112122222p===，3311121222224p===.②记nA表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，111nnnnnAAAAA+++=+所以()()()11111nnnnnnnnn

pPAAAAPAAPAA+++++=+=+()()()()()()111110122nnnnnnnnnPAPAAPAPAAppp++=+=−+=−即11122nnpp+=−+，1,2,3n=，所以1111323nnpp+−=−−，且111033p−=−.

所以数列13np−表示以13−为首项，12−为公比的等比数列，所以1111332nnp−−=−−，所以1111111132332nnnp−−=−−+=−−

即n次传球后球在甲手中的概率是()111132nn−−+.【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题.解题的关键有二，其一，在用nA表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”后，要想到运用全概率公式得到()()()1

1111nnnnnnnnnpPAAAAPAAPAA+++++=+=+，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到11122nnpp+=−+；其二，在此数列递推式两边凑项13−，构造等比数列13np−.18.将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法

抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标ix和区域内该植物分布的数量iy（1i=，2，…，15），得到数组(),iixy．已知()152145iixx=−=，()15218000iiyy=−=，()()151480iiixxyy=−−=．（

1）求样本(),iixy（1i=，2…，15）的相关系数；（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的*kN，寿命为1k+的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比

相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．（ⅰ）求()PXk=（*kN）的表达式；（ⅱ）推导该植物寿命期望()EX的值．附：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−

−．【答案】（1）0.8；（2）（ⅰ）1()0.10.9kPXk−==；（ⅱ）10.【解析】【分析】（1）利用给定数据及相关系数公式计算即得.（2）先根据递推关系得到()PXk=与()1PXk=+的关系，进而利用等比

数列得到通项公式，推导出()PXk=的表达式，最后得到()EX的表达式，应用错位相减法求和即可.【小问1详解】由()152145iixx=−=，()15218000iiyy=−=，()()151480iiixxyy=−

−=，得相关系数()()()()151151522114800.8458000iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−.【小问2详解】（ⅰ）依题意，(1)(1|)0.1PXPXkXk===+=，又(1)(1|)()PXkPXkXkPXk=+=+=，则(1)0.

1()PXkPXk=+=，当2k时，把k换成1k−，则()0.1(1)PXkPXk==−，两式相减，得()(1)0.1()PXkPXkPXk=−=+==，即(1)0.9(2)()PXkkPXk=+==，又(2)0.1(1)0.1(1(1))0.9(1)PXPXP

XPX===−===，于是(1)0.9()PXkPXk=+==对任意*Nk都成立，从而{()}PXk=是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以1()0.10.9kPXk−==；（ⅱ）由定义知，()(1)2

(2)3(3)()EXPXPXPXkPXk==+=+=++=+，而111()0.10.9kkiiiiPXii−====，显然1012110.910.920.9(1)0.90.9kikkiikk−−−==+++−+，于是112110.90.910.

920.9(1)0.90.9kikkiikk−−==+++−+，两式相减得112110.10.910.90.90.90.9kikkiik−−==++++−()110.90.910(10)0.910.9kkkkk−=−

=−+−，因此111()0.10.9100.9100.9kkikkiiiPXiik−=====−−，当k足够大时，0.90kk，100.90k，则1()10kiiPXi==，可认为()10EX=．所以该植物寿命期望()EX的值是10.【点睛】方法点睛：如果数列na

是等差数列，nb是等比数列，求数列nnab的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列nb的公比，然后作差求解．19.组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：0C2nknnk==.小明同学想进一步探

究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.（1）计算：()()()()()()()222222201201232223333CCC,CCCC+++++，并与2346C,C比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；（2）证明：()22220(1)C(1)Cnkknnnnk=−=−（3）利用上

述（1）（2）两小问的结论，证明：()2212124211CC(1)C2nknnnnnnk−−==+−.【答案】（1）()()()22201222224CCCC=++，()()()()22220123333336CCCCC++=+，()()()22201

2CCCCnnnnnn+++=，证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中nx的系数相等可证一般性结论；（2）通过()221nx−的展开式中2nx的系数相等可证结论；（3）结合前两个结论，作差可证结论.【小问1详解】()()()2220122

2422C6C11C4C=++==++，()()()()222201233333361991CCCC20C=+++==+++，规律：()()()222012CCCCnnnnnn+++=，证明如下：()()11nnxx++的展开式中

，nx的系数为011220CCCCCCCCnnnnnnnnnnnn−−++++()()()22201CCCnnnn+=++，同时()()()2111nnnxxx++=+，()21nx+的展开式中nx的系数为2Cnn，所以()()()222012CCCCnnnnnn+++=.【小问2详解】

证明：()221nx−的展开式中2nx的系数为()21Cnnn−，又()()()2222111nnnxxx−=−+，()()2211nnxx−+的展开式中2nx的系数为()21212222022222222222020CCCCCC(1)CC()+1Cnnnnnnn

nnnnkknnnkn−−=−++=−−，所以()22220(1)C(1)Cnkknnnnk=−=−.【小问3详解】证明：由（1）可知()()()22222420221CCCCnnnnnn=+++，由（2）可知()()()()()()()222222212322222

02CCCC1C1Cnnnnnnnnnn−=−+−−++，两式相减可得()()()()()3521222222221224222C2CCCC1Cnnnnnnnnnn−++=+−−+，即()2212124211CC(

1)C2nknnnnnnk−−==+−.【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是构造二项式，利用二项展开式中某项的系数相等得出题中需证的结论.