【文档说明】河南省周口市重点示范高中2020-2021学年高二下学期3月第一次考试理科数学试卷含答案.docx，共(14)页，573.822 KB，由小赞的店铺上传

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1重点高中2020-2021学年度下期高二第一次考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“余弦函数是偶函数，()(

)2cos32fxx=+是余弦函数，因此()()2cos32fxx=+是偶函数”，以上推理A．结论正确B．小前提不正确C．大前提不正确D．全部正确2．用反证法证明命题“设实数a、b、c满足1abc++=，则a、b、c中

至少有一个数不小于13”时假设的内容是A．a、b、c都不小于13B．a、b、c都小于13C．a、b、c至多有一个小于13D．a、b、c至多有两个小于133．以下推理为归纳推理的是A．幂函数在（0，+∞）是单调函数，12yx=是幂函数，故12yx=在（0，+∞

）是单调函数B．平行于同一条直线的两直线平行，已知//,//abbc，则//acC．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”D．由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，得2123(21)nn++++−=（n∈N）4．已知函数()2()lnfxxf

ex=+，则()fe=A．e−B．eC．－1D．15．已知函数()()5ln213fxxx=−+，则()()011limxfxfx→+−=A．1B．0C．43D．5326．函数()yfx=的图象如图所示，则阴影部分的面积是A．10()fxdxB．20()fxdxC．20|()

|fxdxD．1201()()fxdxfxdx+7．已知函数()yfx=的图象如图所示，则其导函数'()yfx=的图象可能是A．B．C．D．8．将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列

如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中A．第404组B．第405组C．第808组D．第809组9．已

知偶函数()()0fxx的导函数为()fx，且满足()10f−=．当0x时，()()2fxxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围为A．(,1)(0,1)−−B．(1,0)(0,1)−C．(1,0)(1,)−+D．(,1)(

1,)−−+10．已知函数2()ln1fxxax=−+在(1,2)内不是单调函数，则实数a的取值范围是A．)2,8B．2,8C．(),28,−+D．()2,8311．已知函数()fx满足(

)()fxfx−=，当0x时，()ln1xxfxe+=，若()1.32af=，()0.64bf=，122log3cf=，则a，b，c的大小关系是A．cabB．cbaC．bcaD．ab

c12．设函数()11fxx=−+，2()ln(31)gxaxx=−+，若对任意的)10,x+，都存在2xR，使得12()()fxgx=成立，则实数a的最大值为A．2B．4C．94D．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数1()si

nsin33fxaxx=+在π3x=处有极值，则a的值是．14．已知函数()2sin1fxxx=+−，则11()fxdx−=．15．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后

公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是______．16．已知aR，函数4()fxxaax=+−+在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是．三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知函数()142xfx=+，（1）分别求()()01ff+，()()12ff−+，()()23ff−+的值；（2）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．418

．（本小题满分12分）已知数列11111447710(32)(31)nn−+，，，，，（1）计算1234SSSS，，，；（2）猜想nS的表达式，并用数学归纳法证明．19．（本小题满分12分）已知函数()3239

2fxxxx=−−+．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间．520．（本小题满分12分）已知函数()xfxxe=．（1）求函数()fx的极值；（2）求函数()fx在[－2

,1]上的最大值和最小值．21．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值

；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．622．（本小题满分12分）已知函数()21ln2fxaxxxax=−−．（1）讨论函数f(x)的导函数的单调性；（2）若对()12,1,xxe，都有(

)()12123fxfxxx−−，求a的取值范围．重点高中2020-2021学年度下期高二第一次考试数学（理科）参考答案1．【答案】B【解析】由于()2()cos32fxx=+不余弦函数，所以小前提不正确．故选：B．2．【答案】B【解析】反证法证明命题时，要假设结论不成立．故

用反证法证明命题“设实数a、b、c满足1abc++=，则a、b、c中至少有一个数不小于13”时的假设是“a、b、c都小于13”．故选：B．3．【答案】D【解析】对于A，符合三段论的形式，是演绎推理；选项B，符合三段

论的形式，是演绎推理是由特殊到一般的推理；对于C，是由特殊到特殊的推理，是类比推理；对于D，是归纳推理．故选：B．4．【答案】C【解析】由题得111()2(),()2(),()fxfefefefexee=+=+=−，所以1()2()ln2()11feefeeee=+=+−=−

．故选：C．5．【答案】A7【解析】由题得52)321fxx=−+（，∴(1)1f=．因为()()011limxfxfx→+−=(1)f，∴()()011limxfxfx→+−=1故选A．6．【答案】C【解析】由图可得阴影部分的面积为()(

)()1222010011()()fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx−+=+=，故选：C．7．【答案】A【解析】由()fx的图象可知：()yfx=在(),0−先单调递增，后单调递减，再单调递增，而在()0,+上单

调递减，故()'yfx=在区间(),0−上先大于0，后小于0，再大于0，在()0,+上()'fx恒小于0．8．【答案】B【解析】正奇数数列1,3,5,7,9的通项公式为21,nan=−则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251

010=个数，共2022404=组．故原数列中的2021位于分组序列中第405组故选：B．9．【答案】B【解析】令2()()fxgxx=，则24()()2()fxxfxxgxx−=3()2()xfxfxx−

=，所以当0x时，()0gx，所以()gx在(0,)+上为减函数，因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，所以22()()()()()fxfxgxgxxx−−===−，所以()gx为偶函数，因为(1)0f

−=，所以(1)0f=，8所以当0x时，()0fx等价于2()0fxx2(1)1f=等价于()(1)gxg所以(||)(1)gxg，又()gx在(0,)+上为减函数，所以||1x，解得11x−，又0x

，所以10x−或01x．故答案为：B．10．【答案】D【解析】函数2()1fxxalnx=−+，定义域{|0}xx，22()2axafxxxx−=−=，当0a时，()0fx，()fx在(0

,)+上是增函数，不符合题意，当0a时，在,2a+上，()0fx，()fx单调递增，在0,2a上，()0fx，()fx单调递减，函数2()1fxxalnx=−

+在(1,2)内不是单调函数，122a，28a，故选：D．11．【答案】D【解析】由题知：()1ln1xxxfxe−−=()0x，设()1ln1hxxx=−−，()2110hxxx=−−，所以()hx在()0,+为减函数

，又因为()10h=，所以()0,1x，()0hx，即()0fx，()fx为增函数，()1,x+，()0hx，即()0fx，()fx为减函数．又因为函数()fx满足()()fxfx−=，所以()fx为偶函数．()()()122222log32log32

log3log3cffff==−==．因为21log32，0.61.21.3422=，即1.30.6224log31，9所以()()0.61.3122log342fff，即abc．故选：D12．【答案】C【解析】设g(x)＝ln(ax2－3x

＋1)的值域为A，因为f(x)＝1－x＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，所以实数a需要满足a≤0或a＞0，Δ

＝9－4a≥0，解得a≤94.所以实数a的最大值为94，故选C.13．【答案】2a=【解析】∵1()sinsin33fxaxx=+，∴()coscos3fxaxx+=，∵函数()fx在π3x=处有极值，∴π0

3f=，即：ππcoscos3033a+=，∴1102a−=，解得2a=．14．【答案】2【解析】()1111221111sin1sin1fxdxxxdxxdxxdx−−−−=+−=+−，而

()1111sincos|0xdxx−−=−=，1211xdx−−表示半圆221(0)xyy+=的面积，即12112xdx−−=，则()1112111sin12fxdxxdxxdx−−−=+−=．15．【答案】丙【解析】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙

第一名，矛盾；若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意．综上所述，这次竞赛中第一名的是丙．16．【答案】9

,2−10【解析】设t＝x＋4x(x∈[1,4])，则t∈[4,5]，原问题转化为当t∈[4,5]，(|t－a|＋a)max＝5时，求a的取值范围，我们只需在数轴上观察．①当a≤4时，满足当t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max＝5，符合题意．

②当a>5时，|t－a|＋a>5，不合题意．③当4<a≤5时，和点a在数轴上的位置有关系，关键点是点92，如图．当4<a≤92，t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max＝5，符合题意；当92<a≤5，t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max>5，不合题意．综上，a的

取值范围是9,2−.17.解：（1）()()11101362ff+=+=；同理()()()()1112,2322ffff−+=−+=………………5分（2）由此猜想()()112fxfx+−=………………7分证明

：()()()()11114142411424242424422224224xxxxxxxxxxfxfx−++−=+=+=+==+++++++．…10分18．解：（1）12341234,,,471013SSSS====………………4分（2）31nnSn=+………………6分证明：①

当n=1时，1113114S==+，结论成立②假设当nk=(kN)时，结论成立，即31kkSk=+………………8分11当1nk=+时，111(34)1(1)(31)1==(31)(34)31(31)(34)(31)(34)(31)(34)3(1

)kkkkkkkkSSkkkkkkkkkk++++++=+=+=+++++++++++∴当1nk=+时结论成立………………11分∴由①②知对于任意的nN+结论都成立………………12分19．解：（1）()32392fxx

xx=−−+，()2369fxxx=−−，()19f=−，………………3分因此()112f=−，所以，曲线()yfx=在点()1,9−处的切线方程为()9121yx+=−−，即123yx=−+；………………6分（2）()269=3xxxf−−，()0fx即

23690xx−−，即2230xx−−，解得1x−或3x；………………8分解不等式()0fx，得23690xx−−，即2230xx−−，解得13x-<<．………………10分因此，函数()yfx=的单调递增区间为(),1−−和()3,+，

单调递减区间为()1,3−．………………12分20．解：（1）函数()fx的定义域为R()(1)xxxfxexexe=+=+，………………1分1x−时，()0fx，1x−时，()0fx………………3分所以1x=函数()fx的极小值点，1()=(1)fxf

e−=−极小值，………………5分无极大值．………………6分（2）()(1)xxxfxexexe=+=+12令()0fx=得1x=−列表如下：x-2(2,1)−−-1(1,1)−1()fx－0＋()fx22e−减1e−增e由上表可知函数()fx在[2,1]−上

的最大值为(1)fe=,最小值为1(1)fe−=−．………………12分21．解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2………………4分(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，∴商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)22(3)10(6)3xxx

=−+−−＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6．………………6分f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4．当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3，4)上递增；………………8分当4<x<

6时，f′(x)<0，函数f(x)在(4，6)上递减………………10分∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42．∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．………………12分22．（1）()()ln1lnfxaxxa

axx=+−−=−，0x，13()()1aaxfxxx−=−=………………1分当0a时，()()0fx，()fx在()0,+递减；………………3分当0a时，若0xa，则()()0fx

，()fx在()0,a递增，………………5分若xa，则()()0fx，()fx在(),a+递减；………………6分（2）设121xxe，则()()112233fxxfxx−−，构造函数()()3hxfx

x=−，1xe，即()hx在()1,e递减．………………7分∴()ln30hxaxx=−−，3lnxax+，………………9分设()3lnxuxx+=，1xe，∴()()23ln1lnxxuxx−−=，又设()3ln1vxxx=−−，1xe，则()2

130vxxx=+，()vx在()1,e递增，………………11分∴()()30vxvee=−，∴()0ux，()ux在()1,e递减，∴()()3uxuee=+，即a的取值范围是(,3e−+．………………12分

法二，设121xxe，则()()112233fxxfxx−−，构造函数()()3hxfxx=−，1xe，即()hx在()1,e递减．………………7分∴()ln30hxaxx=−−，令()ln3gxaxx

=−−，则()axgxx−=………………8分当1a时，()0gx，()gx在()1,e上单调递减，所以()(1)40gxg=−，于是1a；………………9分当ae时，()0gx，()gx在()1,e上单调递增，所以()()

30gxgeae=−−，于是3eae+；………………10分14当1ae时，()gx在(1,)a上单调递增，在(,)ae单调递减，所以()()ln3330gxgaaaaaa=−−−−=−，于是1ae.………………11分综上，a的取值范围是(,3e−+．………………12

分