【文档说明】北京市平谷区2021届高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷含解析.docx，共(15)页，982.230 KB，由小赞的店铺上传

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北京市平谷区2021届高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷解析版2021.3第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小題，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．若集合{|12|{|1}AxxBxx=−=，剟，则

AB等于（）A.|12xx„B.|1xxC.|1xx−…D.|12xx−剟2．设复数z满足(1)1izi−=+，则z等于（）A.i−B.iC.2i−D.2i3.82xx+的展开式中4x的系数是（）A

.28B.56C.112D.2564．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）主（正）视图左（侧）视图俯视图A.3B.8C.12D.145．设P是圆22106250xyxy+−−+＝上的动点，Q是

直线4x=−上的动点，则PQ的最小值为（）A.6B.4C.3D.26．函数()ln(1)fxx=+的图象与函数2()44fxxx=−+的图象的交点个数为（）A.0B.1C.2D.37．已知函数()sin()(0,0,)fxAxA=+R．则“()fx是偶

函数“是“2=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知12(,0)(,0)FcFc−，分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两个焦点，双曲线1C和圆2222:Cxyc+=的一个交

点为P，且213PFF=，那么双曲线1C的离心率为（）A.52B.3C.2D.31+9.已知数列na满足125a=，且对任意*nN，都有11422nnnnaaaa+++=+，那么4a为（）A.1

7B.7C.110D.1010．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间：0t=时，点A与钟面上标12的点B重合，当[0,60]tAB，，两点间的距离为d（单位：cm），则d等于____A.5sin2tB.10sin2tC.5sin30tD.

10sin60t第II卷非选择题（共110分）二、填空題（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．函数()3ln(1)fxxx=−+−的定义域是_________.12．已知抛物线24Cyx=：上一点M到焦点的距离为3，那么点M到y

轴的距离为________.13．已知在直角三角形ABC中，9012AABBC===，，，那么ABBC等于______；若AM是BC边上的高，点P在ΔABC内部或边界上运动，那么·AMBP的最大值是____.14．已知函

数()sin(0)fxx=，在2,43−上单调递增，那么常数的一个取值____.15．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高

铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．根据上述信息，下列结论中正确的是①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到20

13高铁运营里程平均增长率；③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是____.三、解答题（本大題共6小題，共85分．解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤．）16．（本小题满分13分）如图，在四棱维PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，ΔPAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PMMD=．（I）求证：PB平面ACM；（II

）求二面角MBCD−−的余弦值17．（本小题满分13分）在锐角ΔABC中，角ABC，，的对边分別为abc，，，且32sin0cbC−=．（I）求角B的大小；（II）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求ΔABC的面积条件.①332ba==，;条件②：24aA==，.注：如果

选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18．（本小题满分14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（

单位：人次）：（I）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；（II）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；（III）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消

费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）.19．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab+=的离心率为12，并且经过()03P，点.（I）求椭圆C的方程；（I

I）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B＇，直线PB＇交x轴于点M，求证：OMON为定值.满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150

120不满意50303050508020．（本小题满分15分）已知函数21()xaxxfxe++=（I）当0a=时，求函数()yfx=的单调区间；（II）当1a=时，过点1,0)P−(可作几条直线与曲线()yfx=相切？请说明理由．21．（本小题满分15分）已知数列()1

21203nnAaaaaaan：，，，，剠，具有性质P：对任意ij，（1ijn）ijaa+与ijaa−，两数中至少有一个是该数列中的一项，nS为数列A的前n项和.（I）分别判断数列0,1,3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P：（II）证明：102nnn

aaS==，且；（III）证明：当4n=时，35124aaaaa，，，，，成等差数列．平谷区2020-2021学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2021.3第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小題，

每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．若集合{|12|{|1}AxxBxx=−=，剟，则AB等于（）A.|12xx„B.|1xxC.|1xx−…D.|12xx−剟解析：画数轴，选A.2．设复数z满足

(1)1izi−=+，则z等于（）A.i−B.iC.2i−D.2i解析：221(1)121(1)(1)2iiiiziiii++++====−−+，选B.3.82xx+的展开式中4x的系数是（）A.28

B.56C.112D.256解析：26282()284112Cxx==，选C.4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）主（正）视图左（侧）视图俯视图A.3B.8C.12D.14解析：圆柱，底面圆的半径为1，

圆柱的高为3，221+213=8S=表，选B.5．设P是圆22106250xyxy+−−+＝上的动点，Q是直线4x=−上的动点，则PQ的最小值为（）A.6B.4C.3D.2解析：数形结合，圆的圆心(5,3)，半径3，min5436PQ=+−=，选A.6．函数()ln(1)

fxx=+的图象与函数2()44fxxx=−+的图象的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：数形结合，2个交点，选C.7．已知函数()sin()(0,0,)fxAxA=+R．则“()fx是偶函数“是“2=”的（）A.充分不

必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：后推前，sin()cos2AxAx+=，故()fx是偶函数；前推后，举反例，52=时，()fx也是偶函数.故选B.8．已知12(,0

)(,0)FcFc−，分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两个焦点，双曲线1C和圆2222:Cxyc+=的一个交点为P，且213PFF=，那么双曲线1C的离心率为（）A.52

B.3C.2D.31+解析：连接PO，则2POF为等边三角形，可推出1290FPF=，故32cca−=，23131cea===+−，选D.9.已知数列na满足125a=，且对任意*nN，都有11422nnnnaaaa+++=+，那么4a为（）A.

17B.7C.110D.10解析：化简可得1232nnnaaa+=+，则214a=，3211a=，417a=，选A.或者，交叉相乘，11223nnnnaaaa++−=，同除12nnaa+，得11132nnaa+−=，故

1na为等差数列.10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间：0t=时，点A与钟面上标12的点B重合，当[0,60]tAB，，两点间的距离为d（单位：cm），则d等于____A.5sin2tB.10sin2tC.5sin

30tD.10sin60t解析：特值排除，当60t=时，0d=，排除A、B；当30t=时，10d=，排除C，选D.若正常做，圆心角618030tt=，过O作AB得垂线，则3025sin10sin260ttAB==.第II

卷非选择题（共110分）二、填空題（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．函数()3ln(1)fxxx=−+−的定义域是_________.解析：联立30,10,xx−−，解

得函数()fx的定义域为(1,3].12．已知抛物线24Cyx=：上一点M到焦点的距离为3，那么点M到y轴的距离为________.解析：抛物线的定义，312−=.13．已知在直角三角形ABC中，9012AABB

C===，，，那么ABBC等于______；若AM是BC边上的高，点P在ΔABC内部或边界上运动，那么·AMBP的最大值是____.解析：1cos12012()12ABBCABBC==−=−；·3coscos2,,AMBPAMBPAMBPBPAMBP

==，看BP在AM上的射影，故点P在线段BC上时，取最大值那么·AMBP的最大值是0.14．已知函数()sin(0)fxx=，在2,43−上单调递增，那么常数的一个取值____

.解析：223，解得34，又0，故304.取一个该范围内的值即可，如12=.15．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至20

16年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．根据上述信息，下列结论中正确的是①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；③从2010年至2016年，新增高铁运营里程

数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是____.解析：对于①，看2014年，2015年对应的纵坐标之差，小于2-1.5=0.5，①错误；对于②，连线看斜率即可，2013年到2016两点连线斜

率更大，②正确；对于③，看两点纵坐标之差哪组最大，③正确；对于④，看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，④错误；综上，填②③.三、解答题（本大題共6小題，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分13分）如图，在四棱维PABCD−中，

底面ABCD是边长为2的正方形，ΔPAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PMMD=．（I）求证：PB平面ACM；（II）求二面角MBCD−−的余弦值（Ⅰ）证明：连接BD,与AC交于O，在△PBD中，因为O，M分别

为BD，PD的中点，所以//OMBP.…………4分因为BP平面ADE，OM平面CAM，所以//BP平面CAM.…………6分(Ⅲ)因为ABCD是正方形，PAB为正三角形，E是AB的中点，所以PE⊥AB.又因为面PAB⊥底面ABCD，所以⊥PE平面ABCD…………8分过E

作EF平行于CB与CD交于F.以E为原点，分别以,,EBEFEP为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Exyz−，…………9分则()0,0,0E，()1,0,0B，()0,0,3P，()2,01,C，()1,2,0−D．13,1,22−M………10分所以33,1,2

2=−−CM，()0,2,0=BC，设平面CBM的法向量为(),,xyz=n，则3302220=−−+===CMxyzBCynn，0=y,令1=x．则3=z得,03（1，）=n．…………11分因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量()

0,0,1=m，所以3cos|||2==nmn,mn|m．…………12分所以二面角MBCD−−的大小为030…………13分17．（本小题满分13分）在锐角ΔABC中，角ABC，，的对边分別为abc，，，且3

2sin0cbC−=．（I）求角B的大小；（II）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求ΔABC的面积条件.①332ba==，;条件②：24aA==，.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.DABCPEzxyM解（Ⅰ）因为32sin

=0cbC−，由正弦定理3sinC2sinsin=0BC−………….5分所以3sin=2B………….7分所以3B=………….8分（Ⅱ）解法一：因为33,2.ba==根据余弦定理得2222cos=+−bcacaB，………………9分化简为22230−−

=cc，解得126=+c．………………11分所以△ABC的面积1362sin22ScaB+==．………………13分解法二：因为4A=，π3B=，根据正弦定理得sinsin=baBA，……………7分所以sin6sin==aBbA．………………8分因为512CAB=−−=，

………………9分所以562sinsinsin()12464C+==+=，………………11分所以△ABC的面积133sin22+==SbaC．………………13分18．（本小题满分14分）随着人民生活水平的提高，

人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120（I）从样本中任取

1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；（II）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；（III）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接

写结果）.解：(Ⅰ)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,总人次为500人,共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意,所以()3703750050PA==.…………5分(Ⅱ)由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为()45PB=,抽取

青年人满意度的概率为()35PC=,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率()PD，()2124344356(1)(1)55555125PDC=−+−=，所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为56125.…………1

1分(Ⅲ)青年人…………14分19．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab+=的离心率为12，并且经过()03P，点.（I）求椭圆C的方程；不满意503030505080（II）设过点P的直线与x

轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B＇，直线PB＇交x轴于点M，求证：OMON为定值.定值问题解：（Ⅰ）由已知23112==bca解得23==ab所以椭圆C：22143+=xy.…………5分（Ⅱ）证明：由已知斜率存在以下

给出证明：由题意，设直线PB的方程为3(0)=+ykxk,P(0,3),11(,)Bxy，则11(,)−Bxy.………….7分由223412,3,+==+xyykx得22(34)830++=kxkx，………………9分

所以2(83)0=k，1283034+=−+kxk，.128334=−+kxk1283334=−++kyk所以228383(,3)3434−−+++kkBkk即22283-4333(,)3434+−++kkBkk…………11分直线

'PB的方程为2224333383-()34434kkyxkkk−−=−++令0=y得22-433343(34（））−=+kkxk所以22-4333403(34（），））−+kkMk令0=y由3=+ykx得3-=xk所以3(0，）−Nk…………13分所以||||OMON=22-43334

3||||=43(34（））−−+kkkk…………15分法二：设00(,)Bxy，00(,)Bxy−则2200143xy+=…………3分则直线PB的方程为0033(0)yyxx−−=−−…………5分222834333(,)3434’kkBkk−−++令0=y003

3xxy=−所以003N(,03）xy−同理003M(,03）xy+…………9分所以||||OMON=20002000333||||=||333xxxyyy−+−………….12分因为2200143xy+=所以22003412xy+=所以||||OM

ON=220022003124||||433xyyy−==−−………….15分20．（本小题满分15分）已知函数21()xaxxfxe++=（I）当0a=时，求函数()yfx=的单调区间；（II）当1a=时，过点1,0)P−(可作几条直线与曲线()yfx=相切？请说

明理由．零点问题（Ⅰ）因为当0a=时,1()exxfx+=，由'()exxfx−=,令'()0fx=,解得0x=，…………3分则'()fx及()fx的情况如下：x(,0)−0(0,)+'()fx+0−()fx极大值所以函数()fx的递减区间为(0,)+

;递增区间为(,0)−.…………7分（Ⅱ）因为当1a=时,21()exxxfx++=，所以2'()exxxfx−=…………9分设切点为00(,)Axy,则切线方程为:020000()xxxyyxxe−−=−,又因为切线过(1,0)P−,所以020000(1)x

xxyxe−−=−−所以0022000001(1)xxxxxxxee++−−=−−,化简得320010xx++=,…………11分令32()1gxxx=++,所以2()32gxxx=+,则'()gx及()gx的情况如下：x2(,)3−−

23−2(,0)3−0(0,)+'()gx+0−0+()gx极大值3127极小值1所以函数()gx的递减区间为2(,0)3−;递增区间为2(,)3−−,(0,)+.(2)30g−=−231()0327g−=,所

以()gx在(2,0)−有唯一一个零点,………….13分所以方程320010xx++=有唯一一个解.所以过(1,0)P−只能作一条曲线()fx的切线.…………15分21．（本小题满分15分）已知数列()121203nnAaaaaaan：，

，，，剠，具有性质P：对任意ij，（1ijn）ijaa+与ijaa−，两数中至少有一个是该数列中的一项，nS为数列A的前n项和.（I）分别判断数列0,1,3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P：（II）证明：1

02nnnaaS==，且；（III）证明：当4n=时，35124aaaaa，，，，，成等差数列．（Ⅰ）因为134A+=，312A−=，所以数列0,1,3,5不具有性质P；因为02,20+−；04,40+−；06,60+−；24,4

2+−；26,62+−；64,64+−，六组数中，至少有一个属于P，所以数列0,2,4,6具有性质P.…………5分（Ⅱ）∵数列()1212:,,,0,3nnAaaaaaan具有性质P，∴nnaa−与nnaa+中至少有一个属

于A，∵0na，nnnaaa+，故nnaaA+，∴nnaaA−，∴10a=。由A具有性质P可知()1,2,3,,nkaaAkn−=.∴1231nnnnnnnaaaaaaaaaa−−−−−−，∴1nnaaa−=21nnaaa−−=32nnaaa−

−=1nnaaa−=；从而1211()nnnnnaaaaaaa−−++=++，∴nnnnaSS−=，∴2nnnaS=…………10分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，∴542aaa−=,533aaa−=,∴54232aaaa=+=322aaa−=,∴322aa=,423a

a=,524aa=,∴数列12345,,,,aaaaa是以0为首项，共差为2a的等差数列。…………15分