【文档说明】北京市平谷区2021届高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷 答案.docx，共(7)页，379.319 KB，由小赞的店铺上传

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平谷区2020-2021学年度第二学期质量监控高三数学试卷参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABCBACBDAD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分.注：第15题第一空3分,第二空2分

；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其它得3分。11.{|13}xx；12.2；13.-1；0.14.3(0,]4中的一个值；15.②;③.三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16.(本小题满分

13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PMMD=.（I）求证：PB//平面ACM；（II）求二面角MBCD−−的大小（Ⅰ）证明：连接BD,与A

C交于O，在△PBD中，因为O，M分别为BD，PD的中点，所以//OMBP.…………4分因为BP平面，OM平面CAM，所以//BP平面CAM.…………6分(Ⅲ)因为ABCD是正方形，PAB为正三角形，E是AB的中点，所以PE⊥AB.又因为面

PAB⊥底面ABCD，所以⊥PE平面ABCD…………8分过E作EF平行于CB与CD交于F.以E为原点，分别以,,EBEFEP为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Exyz−，…………9分则()0,0,0E，()1,0,0B，()0,0,3P，()2,0

1,C，()1,2,0−D．13,1,22−M………10分ADEAOMPDCBAMDCBPDABCPEzxyM所以33,1,22=−−CM，()0,2,0=BC，设平面CBM的法向量为(),,xyz=n，则3302220=−−+===CMxyzB

Cynn，0=y,令1=x．则3=z得,03（1，）=n．…………11分因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量()0,0,1=m，所以3cos|||2==nmn,mn|m．…………12分所以二面角MBCD−−的大小为030…………13

分17.(本小题满分13分)在锐角△ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，且32sin=0cbC−．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：△ABC的面积．①

②2a=，4A=，解（Ⅰ）因为32sin=0cbC−，由正弦定理3sinC2sinsin=0−BC………….5分所以3sin=2B………….7分所以3=B………….8分（Ⅱ）解法一：因为根据余弦定理得2222cos=+

−bcacaB，………………9分化简为22230−−=cc，解得126=+c．………………11分所以△ABC的面积1362sin22ScaB+==．………………13分解法二：因为4A=，π3B

=，根据正弦定理得sinsin=baBA，……………7分所以sin6sin==aBbA．………………8分33,2.ba==33,2.ba==因为512CAB=−−=，………………9分所以562sinsinsin()12464C+==+=，………………11分所以△ABC

的面积133sin22+==SbaC．………………13分18.(本小题满分14分)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶需求越来越大，品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和和酸奶，在一地区进行了质量满意度调查，现从中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人

酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(Ⅰ)从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶满意的概率；(Ⅱ)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人

，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；(Ⅲ)依据表中三个年龄段的数据，哪部分人对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）解：(Ⅰ)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数

事件为A,总人次为500人,共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意,所以()3703750050PA==.…………5分(Ⅱ)由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为()45PB=,抽取青年人满意度的概率为()35PC=,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率()PD，

()2124344356(1)(1)55555125PDC=−+−=，所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为56125.…………11分(Ⅲ)青年人…………14分19．(本

小题满分15分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，并且经过(0,3)P点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B，直线PB交x轴于M，求证：||

||OMON为定值。解：（Ⅰ）由已知23112==bca解得23==ab所以椭圆C：22143+=xy.…………5分（Ⅱ）证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设直线PB的方程为3(0)=+ykxk,P(0,3),11(,)Bxy，则11

(,)−Bxy.………….7分由223412,3,+==+xyykx得22(34)830++=kxkx，………………9分所以2(83)0=k，1283034+=−+kxk，.128334=−+kxk12

83334=−++kyk所以228383(,3)3434−−+++kkBkk即22283-4333(,)3434+−++kkBkk…………11分直线'PB的方程为2224333383-()34434kkyxkkk−−=−++令0=y得2

2-433343(34（））−=+kkxk所以22-4333403(34（），））−+kkMk令0=y由3=+ykx得3-=xk所以3(0，）−Nk…………13分所以||||OMON=22-433343||||=43(34（））−−+kkkk…

………15分222834333(,)3434’kkBkk−−++法二：设00(,)Bxy，00(,)Bxy−则2200143xy+=…………3分则直线PB的方程为0033(0)yyxx−−=−−…………5分令0=y0033x

xy=−所以003N(,03）xy−同理003M(,03）xy+…………9分所以||||OMON=20002000333||||=||333xxxyyy−+−………….12分因为2200143xy+=所以22003412xy+=所以||||OMON=220022003124||||

433xyyy−==−−………….15分20(本小题满分15分)已知函数21()xaxxfxe++=.（1）当0a=时，求函数()yfx=的单调区间；（3）当1a=时，过点(1,0)P−可作几条直线与曲线()yfx=相切？请说明理由．（Ⅰ）因为当0a=时,1()exxfx+=，

由'()exxfx−=,令'()0fx=,解得0x=，…………3分则'()fx及()fx的情况如下：x(,0)−0(0,)+'()fx+0−()fx极大值所以函数()fx的递减区间为(0,)+;递增区间为(,0)−.…………7分（Ⅱ）因

为当1a=时,21()exxxfx++=，所以2'()exxxfx−=…………9分设切点为00(,)Axy,则切线方程为:020000()xxxyyxxe−−=−,又因为切线过(1,0)P−,所以020000(1)xxxyxe−−=−−所以0022000001

(1)xxxxxxxee++−−=−−,化简得320010xx++=,…………11分令32()1gxxx=++,所以2()32gxxx=+,则'()gx及()gx的情况如下：x2(,)3−−23−2(,0)3−0(0,)+'()gx+0−0+()gx极大值3127极小

值1所以函数()gx的递减区间为2(,0)3−;递增区间为2(,)3−−,(0,)+.(2)30g−=−231()0327g−=,所以()gx在(2,0)−有唯一一个零点,………….13分所以方程320010xx++=有唯一一个解.所以过

(1,0)P−只能作一条曲线()fx的切线.…………15分21(本小题满分15分)已知数列()1212:,,,0,3nnAaaaaaan具有性质P：对任意(),1ijijn，jiaa+与jiaa−两数中至少有一个是该数列中的一项,nS为数列A的前n项和.（Ⅰ）分别判断数列0,1,

3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P；（Ⅱ）证明：10a=，且2nnnaS=；（Ⅲ）证明：当4n=时，12345,,,,aaaaa成等差数列.（Ⅰ）因为134A+=，312A−=，所以数列0,1,3,5不具有性质P；因为02,20+

−；04,40+−；06,60+−；24,42+−；26,62+−；64,64+−，六组数中，至少有一个属于P，所以数列0,2,4,6具有性质P。…………5分（Ⅱ）∵数列()1212:,,,0,3nnAaaaaaan

具有性质P，∴nnaa−与nnaa+中至少有一个属于A，∵0na，nnnaaa+，故nnaaA+，∴nnaaA−，∴10a=。由A具有性质P可知()1,2,3,,nkaaAkn−=.∴1231nnn

nnnnaaaaaaaaaa−−−−−−，∴1nnaaa−=21nnaaa−−=32nnaaa−−=1nnaaa−=；从而1211()nnnnnaaaaaaa−−++=++，∴nnnnaSS−=，∴2nnnaS=…………10分（Ⅲ）证明：由（

Ⅱ）知，∴542aaa−=,533aaa−=,∴54232aaaa=+=322aaa−=,∴322aa=,423aa=,524aa=,∴数列12345,,,,aaaaa是以0为首项，共差为2a的等差数列。

…………15分