【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(21)页，1.404 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中高2021级高三10月考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设1iz=+（其中i为虚数单位），则1=z（）A.11i22+B.11i22−+C.11i22−−D.11i22−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算作答.【详解】依题意，()()111i1i11i1i1i1i2

22z−−====−++−.故选：D2.与向量(12,5)d=平行的单位向量为（）A.125,1313B.125,1313−−C.125,1313或125,1313−−D.125,1313−或125

,1313−【答案】C【解析】【分析】与向量(12,5)d=平行的单位向量为dd，计算得到答案.【详解】与向量(12,5)d=平行的单位向量为13ddd=，即125,1313或125,1313−−

.故选：C.3.若角的终边经过点()2cos60,2sin45P−−，则sin的值为（）A.32−B.12−C.22D.22−【答案】D【解析】【分析】由正弦三角函数的定义可得答案.【详解】()2co

s60,2sin45P−−到原点的距离为()()222cos602sin452OP=−+−=，则2sin452sin22==−−.故选：D.4.若实数,xy满足43600xyxyy++−，则zxy=−的最小值是（）A.2−B.

4−C.2D.6【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值．【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，zxy=−，则yxz=−，z表示直线纵截距的相反数，根据图象知：当直线过点(3,1)，即3x=，1y=时

zxy=−最小为2．故选：C．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键．5.在ABC中，sin:sin:sin3:5:7ABC=，则cosC的值为（）A12B.23C.12−D.23−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余

弦定理计算作答.【详解】在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，sin:sin:sin3:5:7ABC=，由正弦定理得::3:5:7abc=，令3,5,7,0akbkckk===，由余弦定理得：2

22222(3)(5)(7)1cos22352abckkkCabkk+−+−===−.故选：C.6.已知1cos2=，,02−，则sin2=（）A.34B.34−C.1D.32−【答案】D【解析】【分析】由平方

关系求出sin，再由二倍角公式计算．【详解】因为1cos2=，,02−，所以23sin1cos2=−−=−，所以313sin22sincos2222==−=−．故选：D．7.鲁班锁

是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积（容器壁的厚度忽略不计）的最

小值为（）.A.2821B.722C.282D.以上结果都不对【答案】A【解析】【分析】根据题意，可转化为求该几何体外接球的体积，即长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球的体积.【详解】由题意，

该球形容器的体积最小时，该球形容器为长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球，其直径为222428221++=，半径为21，体积为()3421=28213.即该球形容器的体积的最小值为2821.故选：A.【点睛】本题考查长方体的外接球的体积，结合

传统文化，考查学生对实际问题的理解能力，属于中档题.8.已知函数()33fxxxm=−+只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A.22−,B.()(),22,−−+C.()2,2−D.(),22,−

−+【答案】B【解析】【分析】将题目转化为函数33yxx=−+的图像与ym=的图像只有一个交点，利用导数研究函数33yxx=−+的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出m的取值范围.【详解】由函数()33fxxxm=−+只有一个零点，等价于函

数33yxx=−+的图像与ym=的图像只有一个交点，33yxx=−+Q，求导233yx=−+，令0y=，得1x=当1x−时，0y，函数在(),1−−上单调递减；当11x−时，0y，函数在()1,1−上单调递增；当1x时，0y，函数在()1,+上单调递减；故当=1x

−时，函数取得极小值=2y−；当1x=时，函数取得极大值2y=；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m的取值范围是()(),22,−−+故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(

取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后

在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9.将函数()π3cos23fxx=+的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()gx的图象，则下列关于函数()gx的说法不正确的是（）A.最大值为3，图象关于直线π12x=对称B.在π0,2

上单调递增C.最小正周期为πD.图象关于点π,04对称【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换求得()gx，然后根据三角函数的最值、对称性、单调性、最小正周期等知识确定正确答案.【详解】函数()π3cos23fxx=+的图象向左平移π3个单位长

度，得到()()ππ3cos23cos2π33gxxx=++=+.A选项，()gx的最大值是3，π7π2π126+=，所以直线π12x=不是()gx的对称轴，所以A选项错误.B选项，π0,02π,π2π

2π2xxx+，所以()gx在π0,2上单调递增，B选项正确.C选项，()gx的最小正周期2ππ2T==，C选项正确.D选项，ππ3π2ππ422+=+=，所以()gx图象关于点π,04对称，D选项正确.故选：A10.设函数()yfx=是定义在R上奇函数，满足

()()20fxfx−+=．当1,1x−时，()3fxx=，则下列结论中正确的是（）A.函数()yfx=图像关于直线2x=对称B.函数()yfx=在区间7,9单调递减C.当1,2023x−时，()fx有1012个零点D.函数()yfx=的图像关于点()

1,0对称【答案】C【解析】【分析】通过赋值和函数的奇偶性，将()()20fxfx−+=转化为()()2fxfx+=−与()()11fxfx+=−分别求出函数周期和对称轴.【详解】对于()()20fxfx−+=，有()()()()()()()20242fxfxfxfxfxfxfx++=+=−

+=−+=，即()fx周期为4.又对于()()20fxfx−+=，的的有()()()()11011fxfxfxfx++−=+=−−，因()fx是定义在R上的奇函数.则()()11fxfx+=−，故()fx关于1x=对称.又当1,1x−时，()3

fxx=，据此可做出()fx部分图像如下.对于A选项，结合图像可知：()fx图像关于12Zxkk=+，对称，故A错误.对于B选项，因()fx周期为4，故()fx在7,9上单调性与()fx在11−，上保持一致.又当1,1x−时，()3fxx=，()fx在11−，上单调

递增，故B错误.对于C选项，结合图像可知：()fx零点为2Zkk，，则令122023k−解得：01011k，故当1,2023x−时，()fx有1012个零点，故C正确.对于D选项，结合图像可知：()fx图像关于()2,0k对称

，其中Zk，故D错误.故选：C【点睛】结论点睛：本题考查函数奇偶性，周期性，涉及到相关结论有：（1）若对()fx定义域内任意x有()()fmxfmx+=−，则()fx图像关于xm=对称.（2）若对()fx定义域内任意x有()()fxtfx+=−，则()fx周期为2t.11.如图1，在菱形

ABCD中，AC，BD是其对角线，E是BC上一点，且1403BAEBAD==，将BAE沿直线AE翻折，形成四棱锥BAECD−（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（）A.存在某个位置使得BEAE⊥B.存在某个位置使得BEAD⊥C.存在某个位置使得ABAC⊥D.存在某个位

置使得ABCD⊥【答案】B【解析】【分析】选项A，在翻折过程中，BE与AE夹角始终不变，o80BEA=，故A错误；选项B，//ADEC，转化为判断BE和EC是否会垂直，由图观察翻折过程中BE和EC夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程

中AB和AC夹角的变化范围可得解；选项D，由于CD平行于翻折前的AB，故只需观察翻折过程中AB与翻折前的AB的夹角变化范围可得解.【详解】对于选项A，沿BAE翻折，在翻折过程中，BE与AE夹角始终不变，o80BEA

=，故A错误；对于选项B，//ADEC，转化为判断BE和EC是否会垂直，由图观察翻折过程中BE和EC夹角变化范围是()oo20,180，故存在某个位置使得BEAD⊥，故B正确；对于选项C，由图观察翻折过程中AB和AC夹角的变化范围是()oo20,60，故不存在某个位置使得ABAC⊥，故C

错误；对于选项D，由于CD平行于翻折前的AB，故只需观察翻折过程中AB与翻折前的AB的夹角变化范围，由图观察翻折过程中AB与AB的夹角变化范围是()oo0,80，所以不存在某个位置使得ABCD⊥，故D错误.故选：B.12.已知三棱锥−PABC的顶点

都在球O的球面上，,22,ABACBCPB⊥=⊥平面ABC，若球O的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A.473B.5C.873D.83【答案】A【解析】【分析】将三棱锥−PABC放入长方体内，得到PC为球直径，由基本不等式求出4ABAC，从而求出三棱锥的体

积的最大值.【详解】因为,22ABACBC⊥=，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又PB⊥平面ABC，所以PB为三棱锥−PABC的高，则可将三棱锥−PABC放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，34

π36π32PCV==，解得6PC=，又22268PCPBBCPB=+=+=，解得27PB=，2222BCABACABAC=+，所以4ABAC所以三棱锥的体积114727323VABAC=，故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关

键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小

题5分，共20分13.设2120,10MxxxNxax=+−==+=，若MN，则a的值组成的集合为__________.【答案】11,0,34−【解析】【分析】先求出集合M中x的取值,再代入集合N中求a的值,注意当N为空集时也满足MN.【详

解】由题,2120Mxxx=+−=中2120xx+−=解得3x=或4x=−.当3x=时,代入10ax+=得310a+=,13a=−；当4x=−时,代入10ax+=得410a−+=,14a=；当N为空集时,0a=.故答案为11,0,34−.

【点睛】集合AB则集合A中任意元素都能在集合B中找到.特别的,当A=时也成立.14.已知函数22()32xxxfxxxx−=−，若()2fx=−，则x=________【答案】2【解析】【分析】分段函数已知函数值求自变量

，分段代入函数值，讨论即可.【详解】若2x，则2xx−=−，可得x无解；若2x，则232xx−=−，求得2x=或1x=（舍去）.故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，已知函数值求解自变量时，要根据分段情况进行讨论求解，侧重

考查数学运算的核心素养.15.将函数cossinyxx=−的图象先向右平移()0个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的12倍，得到函数cos2sin2yxx=+的图象，则的一个可能取值为_________.【答案】π2（答案不唯一）【解析】【分析】化简函数c

ossinyxx=−、cos2sin2yxx=+的解析式，并求出平移后的函数解析式，可得出关于的等式，由此可得结果.【详解】因为πππcossin2coscossinsin2cos444yxxxxx=−=−=+，将函数π2cos4yx=+的图象先向右平移()0

个单位，可得到函数π2cos4yx=+−的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的12倍，可得到函数π2cos24yx=+−的图象，因为πππcos2sin22cos

2cossin2sin2cos2444yxxxxx=+=+=−，所以，ππ2π44k−=−+，可得()π2π2kk=+N，故的一个可能取值为π2.故答案为：π2（答案不唯一）.16.ABC中，若03,60bB==，则ABC周长最大值

为______．【答案】33.【解析】【详解】分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角A的表达式23sin33lA=++，然后根据角A的取值范围确定最值．详解：由正弦定理2sinsinsinabcRAB

C===32sin60sinsinacAC===，180120CABA=−−=−所以2sin,2sin(120)aAcA==−所以周长2sin2sin(120)3lacbAA=++=+−+312sin2cossin322AA

A=+++3sin3cos3AA=++23sin33A=++因为0120A所以当6A=时，max23333l=+=所以周长最大值为max33l=点睛：本题考查了正弦定理的综合应用，通过边角转化求最值，

关键是把角统一，再利用角的范围求得最大值，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21.题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()

2ππ2sin3cos2123fxxx=−−+（1）求函数()fx的最小正周期，最大值及取到最大值的x的取值集合；（2）已知锐角满足()32f=，求5πcos12−的值

.【答案】17.最小正周期为π；当7ππ,12xxkk=−Z时，最大值为3.18.104【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，即可得到()π12cos26fxx=−+，结合余弦型

函数的性质，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得π1cos264+=−，结合二倍角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】()2ππ2sin3cos21cos23cos212363ππ1fxxxxx=−=−−+=−−−+

ππsin23cos233xx+−+π12cos26x=−+，则函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，令π22ππ6xk+=−，kZ，解得7ππ12xk=−，kZ，即当7ππ,12xxkk=−

Z时，函数()fx的最大值为3.【小问2详解】由于()32f=，即π312cos262−+=，解得π1cos264+=−，则2π112sin124−+=−，解得π10sin124+=，又为锐角，即π02，则

ππ7π121212+，所以πsin012+，即π10sin124+=，所以5πcos12−π10sin124=+=.18.已知函数()32163fxxaxx=++，当3x=时，函数()y

fx=取得极值.（1）若()fx在(),2mm+上为增函数，求实数m的取值范围；（2）若13x时，方程()0fxm+=有两个根，求实数m的取值范围.【答案】（1）(),03,−+（2）149,32−−【解析】【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数

的性质进行求解即可；（2）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点的性质进行求解即可.【小问1详解】由()32163fxxaxx=++，则()226fxxax=++，因为3x=时，()fx取到极值，所以()30f=，解得52a=−.又当52a=−时，()()(

)25623fxxxxx=−+=−−，当2x时，()0fx¢>，函数单调递增，当23x时，()0fx，函数单调递减，当3x时，()0fx¢>，函数单调递增，故当3x=时，函数()yfx=取得极值，符合题意.要使()f

x在(),2mm+上为增函数，则22m+或3m，所以0m或3m.即实数m的取值范围为(),03,−+.【小问2详解】令()()hxfxm=+，由（1）得()3215632fxxxx=−+，且13x，故()3215632hxxxxm=−++，13x，则()()

()25623hxxxxx=−+=−−，当()1,3x时，令()0hx，解得12x，令()0hx，解得23x，所以()hx的递增区间为)1,2，递减区间为2,3，故()max

14()23hxhm==+，而()2316hm=+，()932hm=+，故()()13hh.要使()0hx=有两个根，则()()201493032hmh−−.即实数m的取值范围为149,32

−−.19.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()sinsinsinbcBcCaA−+=．（1）求角A的大小；（2）若D是BC的中点，27cos7B=，且ABC的面积为332，求AD的值．【答案】（

1）π3A=；（2）192【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系得222bcaac+−=，再由余弦定理求角A；（2）由2ABACAD+=，应用向量数量积的运算律可得22||2cbcbAD++=，应用三角形面积公式、正余弦定理求边长，进而求AD的值.【小问1详解】由正弦边角关系

知：()22222bbccabcaac−+=+−=，则2221cos22bcaAac+−==，又(0,π)A，故π3A=.【小问2详解】如下图，222224ABACADABABACACAD+=++=，且π3A=，所以222224||2cbcbcbcbADAD++++=

=，又133sin622bcAbc==①，且22227cos027acbBac+−==，即B为锐角，所以21sin7B=，则7sinsin2ababAB==，且321sinsin()sincoscos

sinsin14CABABABB=+=+=，即cb，所以22223274344877bcbcbc+=+=②，由①②可得：422221648(12)(4)012bbbbb−+=−−==或4，即23b=或2，

当23b=，则21a=，3c=，不合题意；所以2b=，则7a=，3c=，故96419||22AD++==.20.如图一,等腰梯形ABCD,2AB=,6CD=,22AD=,,EF分别是CD的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线AF,BE折起,使得点C和点D重合,记

为点P,如图二.(1)求证:平面PEF⊥平面ABEF.(2)求四棱锥P-ABEF的表面积.【答案】（1）见解析（2）8+3+7【解析】【分析】（1）推导出BE⊥EF，BE⊥PE，从而BE⊥面PEF，由此能证明平面PEF⊥平

面ABEF（2）分别计算四棱锥的各面面积，求和即可.【详解】（1）∵等腰梯形,2,6,22,,ABCDABCDADEF===分别是CD的两个三等分点，∴ABEF是正方形,∴BE⊥EF,∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，∴BE⊥面PEF，又BF⊂平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF．（

2）在等腰梯形中，由（1）知2AFFEDFCE====,2+62==82S梯形（）,即折起后2+62==82PAFPBEABEFSSSS++=正方形梯形（）,PAB中22,2PAPBAB===,128172PABS=

−=,PEF中，2PEPFEF===，34=34PEFS=，表面积8+3+7S=【点睛】本题主要考查了面面垂直、线面垂直的证明，四棱锥的表面积，属于中档题．21.已知函数()exfxax=−，Ra．（1）讨论()fx的单调性；（2）若函数()()()e

22ln=−−++xgxfxaxxa在区间10,2内无零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(,4ln2a−【解析】【分析】（1）求导后根据a正负情况分类讨论求得单调区间；（2）当0a时，()gx递减，抓住()10g=得到()gx在10

,2上无零点；当0a时，根据()gx的极值点2a与12的大小关系分两种情况求实数a的取值范围．【小问1详解】的解：()fx的定义域为R，()exfxa=−．①当0a时，()0fx¢>，则()fx在(),−+上递增．

②当0a时，由()0e0ln−xfxaxa；由()0lnfxxa．∴()fx的单调减区间为(),lna−，单调增区间为()ln,a+．综上，当0a时，()fx的增区间为(),

−+，无减区间；当0a时，()fx的单调减区间为(),lna−，单调增区间为()ln,a+．【小问2详解】解：由已知得，()()()12ln0gxaxxx=−−，则()2gxax=−．①当0

a时，()0gx，则()gx在()0,+上单调递减，由()10g=得10,2x时，()0gx恒成立．∴()gx在10,2内无零点．②当0a时，令()0gx=，得2xa=．若212a，即(0,4a时，则()gx在10,2上递减，又0x→时，

()gx→+．要使()gx在10,2内无零点，只需112ln0222ag=−−，即04ln2a；若212a，即4a时，则()gx在20,a上递减，在21,2a上递增．∴()min2222lngxgaaa==−−．令(

)222lnhaaa=−−，则()2210ahaaa−=−+=，∴()ha在()4,+上递减，()()42ln220=−hah．即()min0gx，∴()gx在10,2上一定有零点，不合题意，舍去．综上，实数a的取值范围是(,4ln2−．【点睛】

本题解题的关键是在（2）中当0a时，抓住函数()gx过定点()1,0；当0a时，要善于利用极值点与区间的位置关系分类讨论，从而探究不同情况下函数的性质，把问题转化成由()mingx求a的范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任

选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数，02π），曲线N的方程为9xy=，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线M，N的极坐标方

程；（2）若射线00π:0,02l=与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且||||12OAOB=，求0.【答案】（1）ππ4cos22=−，2si

n218=（2）0π4=【解析】【分析】（1）先化成直角坐标方程，然后由cossinxy==即可化为极坐标方程.（2）把0=分别代入（1）中所求得的表达式得012||||tanOAOB=，结合已知即可求解.【小问1详解】由题意曲线M的参数

方程为22cos2sinxy=+=（为参数，02π），可得22(2)4xy−+=，即224xyx+=，又由cossinxy==，可得2ππ4cos22=−，

所以曲线M极坐标方程为ππ4cos22=−，由9xy=，可得2cossin9=，即2sin218=，即曲线N的极坐标方程为2sin218=.【小问2详解】将0=代入2sin218=，可得1018||sin2OB=

=，将0=代入4cos=，可得20||4cosOA==则00001812||||4cos2sincostanOAOB==，因为||||12OAOB=，所以0tan1=，又因为0π02，所以0π4=．[选修4-5：不等式选

讲]23.设函数()lg(|1||2|)fxxxa=−+++．（1）当5a=−时，求函数()fx的定义域；（2）设()|1||2|gxxxa=−+++，当[2,1]x−时，()|2|gxxa−成立，求a

的取值范围．【答案】（1）(,3)(2,)−−+；（2）2,13−.【解析】【分析】（1）利用零点分段法解不等式|1||2|50xx−++−可得出函数()yfx=的定义域；（2）由()|2|gx

xa−可得|2|3xaa−+可得出3a−，然后解不等式|2|3xaa−+可得出333axa−+，根据题意得出[2,1][3,33]aa−−+，进而可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范

围.【详解】（1）当5a=−时，要使函数()yfx=有意义，需满足|1||2|50xx−++−.当2x−时，则有1250xx−−−−，即260x−−，解得3x−，此时3x−；当2<<1x−时，则有1250xx−++−，即20−

，不合乎题意；当1x时，则有1250xx−++−，即240x->，解得2x，此时2x.的综上所述，不等式|1||2|50xx−++−的解集为(,3)(2,)−−+.因此，当5a=−时，函数()yfx=的定义域为(,3)(2,)−−+；（2）当[2,1]

x−时，由()|2|gxxa−可得|2|3xaa−+，则30a+，可得3a−由|2|3xaa−+可得323axaa−−−+，解得333axa−+[2,1][3,33]aa−−+，3

23313aaa−−+−，解得213a−.因此，实数a的取值范围是2,13−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com