【文档说明】四川省泸州市泸县五中2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文）试题 含解析.docx，共(21)页，1.409 MB，由小赞的店铺上传

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泸县五中高2020级高三下期开学考试数学（文史类）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(),21Axyyx==−，

(),Bxyyx==，则AB=（）A.B.1C.()1,1D.1,1【答案】C【解析】【分析】解方程组21yxyx=−=可得集合AB.【详解】解方程组21yxyx=−=可得1xy==，因此，()1,1

AB=.故选：C.2.若复数()cossiinzr=+（0r，R），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数31i22z=+的三角形式正确的是（）Acos66isin+B.sincos66i

+C.cos33isin+D.sin33icos+【答案】A【解析】【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断..【详解】复数31i22z=+的模为1，辐角为6，所以复数31i22z=+的三角形式为cos66isin+.故选：A3.已知向量()1,1

a=−，()2,bx=，若()2aab⊥+，则x的值为（）A.2B.-2C.6D.-6【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得()24,2abx+=−，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量()1,1a=−，

()2,bx=，可得()24,2abx+=−，因为()2aab⊥+，则()2420aabx+=+−=，解得6x=.故选：C.4.“2sin2=”是“cos2=0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必

要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由2sin224k==+或32,,4kkZ=+此时cos2=0；但当cos2=02,224kkkZ=+=+

不一定得到2sin2=，故“2sin2=”是“cos2=0”的充分而不必要条件选A5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝S4+S3，且a1＝1，则S10＝（）A.45B.55C.81D.100【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的求和公式求出公差，再利用求和公式即可得出．【详解

】设等差数列{an}公差d，∵S5＝S4+S3，且a1＝1，∴5+542d＝4+432d+3+322´d，解得d＝2．则S10＝10+1092×2＝100，故选：D．6.执行如图所示程序框图，则输出的s=（）A.501B.

642C.645D.896【答案】B【解析】【分析】根据框图，逐一写出各个循环的运算结果，直到s>500，跳出循环，得到输出值.【详解】s=0,m=1;s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；s=10+3×2

3=34,m=3+1=4,s≤500；s=34+4×24=98,m=4+1=5,s≤500；s=98+5×25=258,m=5+1=6,s≤500；s=258+6×26=642，m=6+1=7,s>500；结束循环，输出s=642.的故选:B.【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的

确定，涉及循环结构，根据程序逐行模拟运算即得.7.设mn、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.,,mnmn⊥⊥⊥B.//,,//mnmn⊥⊥C.,,//mnmn⊥⊥⊥D.,,mn

mn⊥=⊥⊥【答案】B【解析】【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案.【详解】对于A，,,//mnmn⊥⊥或与相交但不垂直或⊥，故A不正确；对于B，因为//n，过n作平面

交平面于n，所以//nn，由//，m⊥可得m⊥，所以mn⊥，所以mn⊥，故B正确；对于C，,,////mnmn⊥⊥或m、n相交且垂直或m、n相交但不垂直或m、n异面且垂直或m、n异面但不垂直，故C不正确；对于D，,,//mnmn

⊥=⊥或n或n与相交但不垂直或n⊥.故选：B8.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy−=和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211xy−+−=B.()()22211xy−++=C.()()22211xy++

−=D.()()22311xy−+−=【答案】A【解析】【分析】由题意可设圆心坐标为(),1a，其中0a，利用圆心到直线430xy−=的距离等于圆的半径可求得正数a的值，由此可得出圆C的方程.【详解】由题意可设圆心坐标为(),1a，其

中0a，因为圆C与直线430xy−=相切，则()2243143a−=+−，因为0a，解得2a=，因此，圆C的方程为()()22211xy−+−=.故选：A.9.在三棱柱111ABCABC-中，D为该棱柱的

九条棱中某条棱的中点，若1//AC平面1BCD，则D为（）．A.棱AB的中点B.棱11AB的中点C.棱BC的中点D.棱1AA的中点【答案】B【解析】【分析】根据三棱柱及1//AC平面1BCD，可判断棱11AB的中点为D时满足题意.【详解】如图，当D为棱11AB的中点

时，取AB的中点E，111//,//,AEBDDCECDCBDD=,平面1//ACE平面1BCD，又1AC平面1ACE则1//AC平面1BCD.故选：B10.已知函数()tansincosfxxxx=−，则（）A.()fx的最小正周期为2B.()fx的图象关于y

轴对称C.()fx的图象不关于,02对称D.()fx的图象关于(,0)对称【答案】D【解析】【分析】A用周期性来判断，B用奇偶性来判断，CD选项利用对称性来判断.【详解】()1tansin2

2fxxx=−，A选项，tanyx=和1sin22yx=最小正周期都是，所以()fx的最小正周期是，A选项错误.B选项，tanyx=和1sin22yx=都是奇函数，所以()fx是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.C选项，()111t

ansin2sin2222tan2fxxxxx−=−−−=−，()111tansin2sin2222tan22fxxxxfxx+=+−+=−+=−−，所以()fx的图象关于,02

对称，C选项错误.D选项，()()()11tansin22tansin222fxxxxx−=−−−=−+，()()()()11tansin22tansin222fxxxxxfx+=+

−+=−=−−，所以()fx的图象关于(),0对称，D选项正确.故选：D.【点睛】判断函数图象关于点(),0a对称，则需判断()()faxfax+=−−.11.已知函数()sin(0)fxx=在区间2,33−上单调递增，且|()|1

fx=在区间0,上有且仅有一个解，则的取值范围是（）A.30,4B.33,42C.13,22D.13,24【答案】D的【解析】【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()fx的单调递增区间，结合集合的包含

关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令2,222xkk−+，解得22,22kkx−+，Zk，而函数()

sin(0)fxx=在区间2,33−上单调递增，所以223230−−，解得304，当0,x时，0,x，因为|()|1fx=在区间0,上有且仅有一个解

，所以232，解得1322.综上所述，的取值范围是1324.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求

得的另一个范围.这里要注意，|()|1fx=说明()1fx=，而根据题意，|()|1fx=只有一个解，所以()fx只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()fx只能等于1.如果能够取到1−，那么根据自变量的范围，此时(

)fx肯定也可以取1，所以舍去.12.已知3log15a=，4log40b=，23c=，则（）A.acb＞＞B.cab＞＞C.bac＞＞D.abc＞＞【答案】C【解析】【分析】把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log5log4log2、、的大小，分别与1和3

2比较即可.【详解】3333log15=log3log5=1log5a=++，4444log40=log4log10=1log10b=++，由23c=得，223log31log2c==+.因为353,104,22，所以323log51log2，423l

og101log2，即,acbc＞＞.下面比较a、b的大小关系：32333log5log32=（其中323=335.2），324443log10log8=log4=2，所以34log5log10所以ba＞所以bac＞＞.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（

1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若实数x，y满足约束条件26341400xyxyxy++，则zxy=+的最大值为__________．【答

案】4【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，将目标函数zxy=+化为直线斜截式yxz=−+，截距最大时，maxz.【详解】解：约束条件表示的可行域为如图所示阴影部分：将目标函数zxy=+化为直线斜截式yxz=−+，由图可知当直线经过(

)2,2A时在y轴上截距最大，所以max224z=+=.故答案为：4.14.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现

从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________.【答案】13【解析】【分析】由题设，写出必选《数书九章》的选法、以及所有可能的选法，应用

古典概型的概率求法求概率.【详解】由题意知：必选《数书九章》的选法有15C种，而所有可能的选法有26C种，∴必选《数书九章》的概率为152613CC=.故答案为：13.15.写出一个符合“对12,xxR，当12xx时，()()()12120xxfxfx

−−”的函数()fx=_______________________．【答案】x−（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意可知，满足条件的函数()fx是定义域为R的减函数，即可写出．【详解】设12,xxR，12xx，则()()12fxfx，由单调性的定义

可知，函数()fx是定义域为R的减函数，所以函数()fxx=−满足题意．故答案为：x−．16.定义两条曲线的“正交点”：曲线1l与曲线2l交于点()000,Xxy，且在0X处的切线互相垂直．下列各组曲线存在“正交点

”的是________（填序号）．①3yx=与13yx=；②exy=与yxb=−+，()1,b+；③221xy+=与2yxt=+，()1,1t−【答案】③【解析】【分析】分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解；【详解】解：①

联立得方程组313yxyx==解得11xy==或00xy==或11xy=−=−，设()3fxx=，()13gxx=，则()23fxx=，()3213gxx−=，当01x=时()13f=，()113g=，此时两切线不垂直，当00x=时(

)10f=，()10g=，此时两切线不垂直，当01x=−时()13f−=，()113g−=，此时两切线不垂直，综上3yx=与13yx=不存在“正交点”；②exy=与yxb=−+，()1,b+，所以exy=，因为直线yxb=−+的斜率为1−，所以001|exxxy===解得

00x=，故切点坐标为()0,1，又因为()1,b+，所以点()0,1不在直线yxb=−+上，故不存在“正交点”③221xy+=与2yxt=+，()1,1t−，假设两曲线存在“正交点”，如图设()200,Pxxt+()00x为正交点，直线

1l为圆的切线，直线2l为抛物线的切线，由题意，得直线2l需过原点，对2yxt=+求导，得2yx=，所以220002lxtkxx+==，解得0xt=（负值舍去），所以(),2Ptt，将点P坐标代入221xy+=，得241tt+=，因为

方程241tt+=在()1,1−上有解，所以两曲线存在“正交点”；故答案为：③【点睛】本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若向量()1,2ma=，(),cosnaB=−，且mn⊥（1）求角B（2）若22,

23ba==，求角A【答案】（1）=4B；（2）=3A或23.【解析】【分析】（1）由mn⊥，得到2cos2B=,根据()0,B,求出B的值；（2）在ABC中，利用正弦定理求出sinA，根据30,4A,求出

A的值.【详解】（1）∵向量()1,2ma=，(),cosnaB=−，且mn⊥，∴=2cos0mnaaB−+=,∵0a，∴2cos2B=,∵()0,B,∴=4B.（2）在ABC中，=4B，22,23ba==，由正弦定理

得：sinsinabAB=，∴sin2323sin==2222aBAb=∵π4B=,∴30,4A,∴=3A或23.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从

题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．18.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（

其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和），现已知55118850,2000iiiiixyy====，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利

润w（单位：万元）满足25140wyx=−−，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程ybxa=+$$$，其中515221,iiiiixynxyaybxbxnx==−=−=−【答案】（1）8

560yx=+；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．【解析】【分析】（1）先求得52190,4iixx===，再根据提供的数据求得b，a，写出回归直线方程；（2）由（1）结合25140wyx=−−，得到258580wxx=−+−，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）

由题意得52188502040090,4,859080iixxb=−====−，40085460,a=−=所以8560yx=+．（2）由（1）知，2217112558580524wxxx=−+−=−−+，所以当8x=或9x=时能获得总利润最

大．19.如图，在三棱锥ABCD−中，90BCD=，1BCCD==，ACBACD=．（1）证明：ACBD⊥；（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45，1AC=，求三棱锥ABCD−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）212．

【解析】【分析】（1）取BD中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形性质证明OCBD⊥，利用三角形全等证明AOBD⊥，证得BD⊥平面AOC，即证ACBD⊥；（2）先证明平面BCD⊥平面AOC，确定直线AC与平面BCD所成的角为45ACO=，再利用余弦定理求22AO=证得AOOC⊥

，即知AO⊥平面BCD，利用体积公式13ABCDBCDVSAO−=计算即可.【详解】解：（1）证明：取BD中点O，连接OA，OC，则OCBD⊥，又BCDC=，ACBACD=，ACAC=，所以ABCADC△△，所以ABAD=，所以AOBD⊥．AOCO

O=，AO平面AOC，CO平面AOC，所以BD⊥平面AOC．又AC平面AOC，所以ACBD⊥．（2）由（1）知BD⊥平面AOC，BD平面BCD，所以平面BCD⊥平面AOC，所以CA在平面上的射影是CO，所以ACO为直线AC与平面BCD所成的角，即45ACO=．又因为1222CO

BD==，1AC=，在ACO△中，由余弦定理可知2222cos452AOACCOACCO=+−=，所以222AOOCAC+=，所以AOOC⊥，且平面AOCI平面BCDOC=，所以AO⊥平面BCD．所以111122113326212ABCDBCDVSAOBCCDAO−=

===．【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面

成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.20.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点到直线:lyx=−的距离为28．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，若1,02N−

，直线l与抛物线C相交于,AB两点，与直线l相交于点M，且||||AMMB=，求ABN面积的取值范围．【答案】（1）2xy=；（2）10,4.【解析】【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方

程，解方程可得p的值，即得抛物线的方程；（2）设(,)(0)Mmmm−，直线:()(1)lymkxmk−=+−，()()1122,,,AxyBxy.将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得2km=−.求出点N到直线AB的距离d，根据弦长公式求出A

B，故ABN的面积1||2ABNSABd=，可求面积的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点坐标为0,2p，焦点到直线:lyx=−的距离为28，2212,4822ppp===.抛物线C的方程为2xy=．

（2）由题意可设(,)(0)Mmmm−，直线:()(1)lymkxmk−=+−，将直线l的方程代入抛物线的方程2xy=，消去y，得20xkxkmm−−−=．直线l与抛物线C相交于,AB两点，224()440kkmmkkmm=−−−=++．设()()1122,

,,AxyBxy，则12xxk+=.||||,AMMBM=是线段AB的中点，122,2kxmxm+=−=−，代入2440kkmm=++，解得01m．又1k−，21m−−，12m，102m或112m．直线l的

方程为222ymxmm=−−+.点N到直线AB的距离2222221414mmmmmdmm−+−==++，又2122xxmm=−，()22222121212||14144142ABmxxmxxxxmmm=+−=++−=+−，221||22ABNSABdmmmm==−−．令2tm

m=−，则32ABNSt=．102m或112m，102t3120,4t，即10,4ABNS．ABN△面积的取值范围为10,4．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难的题

目．21.已知函数()lnfxxx=.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1Pf处切线方程；（2）当1a时，求证：存在10,ca，使得对任意的(),1xc，恒有()()1fxaxx−.【答案】（1）10xy−−=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导

数的几何意义进行求解即可；（2）对不等式进行变形，构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，根据构造函数的单调性，结合已知进行证明即可.【详解】（1）由()lnfxxx=，得()ln1fxx=+，∴(1)0,(1)1ff==

，故所求切线方程01(1)yx−=−，即10xy−−=；（2）证明：由()(1)fxaxx−，得ln(1)xxaxx−，考虑到0x，可得ln(1)xax−，设()ln(1)gxxax=−−，则111()axaxagxa

xxx−−=−==−，当10,xa时()0gx，当1,xa+时，()0gx，∴()gx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.由

()gx在区间1,a+内是减函数及(1)0g=，得当1,1xa时，()0gx，①又()()ln10aaaageeaeae−−−−=−−=−，则存在01,axea−即010,xa，使得()00gx=.又()gx在区间01,xa

内是增函数，∴当01,xxa时，()0gx.②由①②可知，存在01,cxa，使()0gx恒成立，为即存在10,ca，使得对任意的(,1)xc，恒有()(1)fxaxx

−.【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为3cos33sinxy==+（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin436+=，射线11:63OM=

与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求OPOQ的范围.【答案】（1）6sin=；（2）1218OPOQ.【解析】【分析】（1）先消去参数得普通方程，然后由cossinxy==可化为

极坐标方程；（2）把1=代入圆与直线的极坐标方程得,PQ点的极径即OP，OQ，计算OPOQ，结合正切函数性质可得结论．【详解】（1）圆C的普通方程是()2239xy+−=，即2260xyy+−=，因为222

xy+=，siny=，所以圆C的极坐标方程为6sin=.（2）由题意知，设()11,P，则有116sin=.设()21,Q，且直线l的极坐标方程是()3sincos43+=，则有433sincos=+，即211

433sincos=+.所以112111243sin24313sincos3tanOPOQ===++，因163，13tan33，所以1218OPOQ.【点睛】本题

考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标的应用．注意极径的绝对值就是对应点到极点（原点）的距离，因此问题只涉及点到原点距离时可考虑用极坐标方程求解．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()

()2fxxxaxR=−−−.（1）当4a=−时，解不等式()1fx；（2）若22xxa−−−对任意xR成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,2−+；（2）0,4.【解析】

【分析】（1）当4a=−时，采用零点分段法求得不等式()1fx的解集.（2）利用绝对值三角不等式化简不等式22xxa−−−的最值，由此解绝对值不等式求得a的取值范围.【详解】（1）当4a=−时，()24fxxx

=−−+，当<4x−时，()61fx=，不等式()1fx无解.当42x−时，()221fxx=−−，解得32x−，所以322x−.当2x时，()61fx=−，不等式()1fx成立.综上所述，不等式()1fx的解集为3,2−+.（2

）由于()()222xxaxxaa−−−−−−=−，而22xxa−−−对任意xR成立，为所以2222204aaa−−−，所以a的取值范围是0,4.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，

考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.