【文档说明】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷（1-4班）含解析【精准解析】.doc，共(14)页，661.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市首师大附中1-4班高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题6分，共48分）.1．设集合A＝{x∈R|x＞1}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）2．在四个函数

①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，在区间[1，2]的平均变化率最大的是（）A．④B．③C．②D．①3．“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列{an

}的通项公式为an＝2n（3n﹣13），则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值是（）A．3B．4C．5D．65．已知函数f（x）＝sinx﹣x（x∈[0，π]），那么下列结论正确的是（）A．f（x）在[0，]上是增函数B．f（x）在[，π]上是

减函数C．∃x∈[0，π]，f（x）＞D．∀x∈[0，π]，f（x）≤6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共

点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．或D．0或7．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a2∈A，则a3∈A；③若a3∈A，则a4∉A．则

集合A＝（）A．{a1，a2}B．{a1，a3}C．{a2，a3}D．{a2，a4}8．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.9．设抛物线y2＝4x的焦点为

F，P为其上的一点，O为坐标原点，若|OP|＝|PF|，则△OPF的面积为．10．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的最小值为．11．各项均为正数的等比数列{{an}的前n项和

为Sn，若a3＝2，S4＝5S2，则a1的值为，S4的值为．12．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．若角β满足sin（α+β）＝，且α+β为第二象限角，则cosβ的值是．13．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A

，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）＝3f（x）．（i）f（6）＝；（ii）若函数F（

x）＝f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n＝．三、解答题.本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（16分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，．（Ⅰ）求△ADC的面积（Ⅱ）若，求AB的长．16．（16分）已知数列{an}的各项均不为0，其前n项和为Sn，且满足a1＝a，2Sn＝anan+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{an}

的通项公式；（Ⅲ）若a＝﹣9，求Sn的最小值．17．（17分）已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．（17分）已知函数f（x）＝（x2﹣x）lnx．（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．参考答案一

、选择题（共8小题，每小题6分，共48分）.1．设集合A＝{x∈R|x＞1}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）解：由题意得，集合A＝{x∈R|x＞

1}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝{x∈R|1＜x≤2}＝（1，2]，故选：C．2．在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，在区间[1，2]的平均变化率最大的是（）A．④B．③C．②D．①解：根据题意，对于①y＝x，在区间[1，2]的平均变化率＝

＝1；对于②y＝x2，在区间[1，2]的平均变化率＝＝3；对于③y＝x3，在区间[1，2]的平均变化率＝＝7；对于④，在区间[1，2]的平均变化率＝＝﹣；在区间[1，2]的平均变化率最大的是y＝x3，故选：B．3．“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＝2时直线y＝﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y＝的斜率是2，满足k1•k2＝﹣1∴a＝2时直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，直线y＝﹣ax+2与y＝垂直

，则﹣a•a＝﹣1，解得a＝±2，“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的充分不必要条件．故选：A．4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n（3n﹣13），则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值是（）A．3B．4C．5D．6解：令an＝2n（3n﹣13）≤0，解得

＝4+，则n≤4，an＜0；n≥5，an＞0．∴数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝4．故选：B．5．已知函数f（x）＝sinx﹣x（x∈[0，π]），那么下列结论正确的是（）A．f（x）在[0，]上是增函数B．f（x）在[，π]上是减函数

C．∃x∈[0，π]，f（x）＞D．∀x∈[0，π]，f（x）≤解：∵函数f（x）＝sinx﹣x（x∈[0，π]），∴f′（x）＝cosx﹣；令f′（x）＝0，得x＝；∴x∈[0，]时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；x∈[，π]时，f′（

x）＜0，f（x）是减函数；∴f（x）在x＝时有极大值，也是最大值f（）．∴选项A、B、C错误，D正确．故选：D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不

同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．或D．0或解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），又f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的函数，又直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图

象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a＝0时，直线y＝x+a变为直线l1，其方程为：y＝x，显然，l1与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；当a≠0时，直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同

的公共点，由图可知，直线y＝x+a与函数y＝f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．由得：x2﹣x﹣a＝0，由△＝1+4a＝0得a＝﹣，此时，x0＝x＝∈[0，1]．综上所述，a＝﹣或0故选：D．7．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条

件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a2∈A，则a3∈A；③若a3∈A，则a4∉A．则集合A＝（）A．{a1，a2}B．{a1，a3}C．{a2，a3}D．{a2，a4}解：若A＝{a1，a2}，则不满足②；若B＝{a1，a3}，则不满足①；若C＝{a2，a3}，则满足题意；若D

＝{a2，a4}，则不满足②；故选：C．8．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）解：由题意，当x≥0时，f（x）＝xex，则f′（x）＝（x+1）ex，令f′（x）＝0，可得x＝﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，在函数f（

x）在（﹣∞，﹣1）单调递减；当x∈（﹣1，0]时，f′（x）＞0，在函数f（x）在（﹣1，0]单调递增；∴当x＝﹣1时，f（x）＝xex取得最小值为．其值域为[，+∞）那么：当x＞0时，二次函数f（x）＝ax2﹣2x的最小

值大于等于．∴a＞0，其对称x＝＞0．则f（x）min＝f（）．即，解得：a≥e故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.9．设抛物线y2＝4x的焦点为F，P为其上的一点

，O为坐标原点，若|OP|＝|PF|，则△OPF的面积为．解：根据对称性可知，当|OP|＝|PF|时，点P的位置有两个，且点P在两个位置上所构成的三角形全等，由抛物线y2＝4x的焦点是（1，0），即点P的横坐标是，∴，即，∴．故答案为：．10．已知函数f（x）＝sinωx+co

sωx（ω＞0）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的最小值为2．解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（x+），由于函数的图象和y＝2两个相邻的交点的距离为π，故函数的最小正周期为，解得：ω＝2．故答案为：2．11．各项均为正数的等比数列{{an}的前n项和

为Sn，若a3＝2，S4＝5S2，则a1的值为，S4的值为．解：若等比数列的公比等于1，由a3＝2，则S4＝4a3＝4×2＝8，5S2＝5×2S3＝5×2×2＝20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3＝2，S4＝5S2，得：，整

理得，解得，q＝±2．因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2．则．故答案为；．12．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．若角β满足sin（α+β）＝，且α+β为第二象限角，则cosβ的值是．解：角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终

边过点．所以cosα＝﹣，sin，满足sin（α+β）＝，且α+β为第二象限角，所以cos（α+β）＝﹣，故cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝．故答案为：．13．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，

圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝6

0°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°＝，可得：＝，即，可得离心率为：e＝．故答案为：．14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）＝3f（x）．（i）f（6）＝3；（ii）若函数F（x）＝f（x）﹣a的

零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n＝6（3n﹣1）．解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时

，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）＝3f（x），∴f（6）＝3f（2），又当x＝2时，f（2）＝2﹣1＝1，∴f（6）＝3×1＝3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此

不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y＝a，a∈（1，3）．则F（x）＝f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分

别为x1，x2，且满足x1+x2＝2×6，依此类推：x3+x4＝2×18，…，x2n﹣1+x2n＝2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n＝4×（3+32+…+3n）＝＝6×（3n﹣1）．三、解答题.本大题共4小题，共66分.解答应写出文字

说明，证明过程或演算步骤.15．（16分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，．（Ⅰ）求△ADC的面积（Ⅱ）若，求AB的长．解：（Ⅰ）…因为∠D∈（0，π），所以，…所以△ACD的面积…（Ⅱ）在△ACD中，AC2＝AD2+D

C2﹣2AD•DC•cosD＝12，所以．在△ACD中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝12…把已知条件代入并化简得：AB2﹣4AB＝0因为AB≠0，所以．AB＝4…16．（16分）已知数列{an}的各项均不为0，其前n项和为Sn，且满足

a1＝a，2Sn＝anan+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式；（Ⅲ）若a＝﹣9，求Sn的最小值．解：（Ⅰ）∵2Sn＝anan+1，∴2S1＝a1a2，即2a1＝a1a2，∵a1＝a≠0，∴a2＝2．（Ⅱ

）∵2Sn＝anan+1，∴当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣1an，两式相减得到：2an＝an（an+1﹣an﹣1），∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1＝2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n＝2k﹣1时，an＝a1+2（k﹣1）＝a+2k﹣2＝a

+n﹣1，当n＝2k时，an＝2+2（k﹣1）＝2k＝n，∴an＝．（Ⅲ）当a＝﹣9时，an＝，∵2Sn＝anan+1，∴Sn＝，∴当n为奇数时，Sn的最小值为S5＝﹣15；当n为偶数时，Sn的最小值为S4＝﹣10，所

以当n＝5时，Sn取得最小值为﹣15．17．（17分）已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．

试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由，得．…依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b＝2，故a＝3．…所以椭圆C的方程是．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x

2，y2），直线AB的方程为x＝my+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（4m2+9）y2+16my﹣20＝0．…所以，．…若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB＝0．…设P（a，0），则

有．将x1＝my1+2，x2＝my2+2代入上式，整理得，所以2my1y2+（2﹣a）（y1+y2）＝0．…将，代入上式，整理得（﹣2a+9）•m＝0．…由于上式对任意实数m都成立，所以．综上，存在定点，使PM平分∠

APB．…18．（17分）已知函数f（x）＝（x2﹣x）lnx．（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．【解答】（本题14分）（Ⅰ）证明：证法1：f（x）＝（x2﹣x）lnx的定义

域为（0，+∞）…（1分）由f（x）＝（x2﹣x）lnx得，…∴f'（1）＝0．…当x＞1时，（2x﹣1）lnx＞0，x﹣1＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增；…当时，（2x﹣1）lnx＜0，x﹣1＜0，∴f'（x）＜0，故f（x）在上单调递减；…（此处为推理说明，若

用列表说明则扣1分）所以1是函数f（x）的极值点．…证法2：（根据极值的定义直接证明）f（x）＝（x2﹣x）lnx的定义域为（0，+∞）…（1分）∵f（x）＝x（x﹣1）lnx，∴f（1）＝0…当x＞1时，x（x﹣1）＞0，lnx＞0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（

1）；…当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，lnx＜0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…根据极值的定义，1是f（x）的极值点．…（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2x﹣1）lnx+x﹣1证法1：，令，∴，故h（x）在（0，+∞）上单调递增．…又，又h（x）在（0，+∞）上连续，∴使得h

（x0）＝0，即g'（x0）＝0，…∴．（*）…g'（x），g（x）随x的变化情况如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗…∴g（x）min＝g（x0）＝（2x0﹣1）lnx0+x0﹣1．…由（*）式得，代入上式得．…令，，故t（x）在上单调递减．…∴t

（x）＞t（1），又t（1）＝﹣1，∴t（x）＞﹣1．即g（x0）＞﹣1∴g（x）＞﹣1．…证法2：g（x）＝（2x﹣1）lnx+x﹣1＝2xlnx﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），令h（x）＝2xlnx，t

（x）＝﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），…h'（x）＝2（lnx+1），令h'（x）＝0得．…h'（x），h（x）随x的变化情况如下：xh'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗∴，即，当且仅当时取到等号．…，令t'（x）＝0得x＝1．

…t'（x），t（x）随x的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）t'（x）﹣0+t（x）↘极小值↗…，∴t（x）min＝t（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，当且仅当x＝1时取到等号．…∴．即g（x）＞﹣1．…