【文档说明】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（1-4班） 含答案.docx，共(10)页，497.810 KB，由小赞的店铺上传

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北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数学（1-4班）2021.7学号班级姓名成绩_________一、选择题：本大题共8小题,每小题6分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合1{|}Axx=R，{|12}Bxx=−R≤≤，则AB=（）

A.[1,)−+B.(1,)+C.(1,2]D.[1,1)−2.在四个函数①yx=、②2yx=、③3yx=、④1yx=中，在区间[1,2]的平均变化率最大的是()A.④B.③C.②D.①3.“2a=”是“直线214ayaxyx=−+=−与垂直”的A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件4.已知数列na的通项公式2(313)nnan=−，则数列的前n项和nS取最小值时，n的值是（）A.3B.4C.5D.65．已知函数1()sin,[0,]2fxxxx=−，那么下列结论正确的是（）A．()f

x在[0,]2上是增函数B．()fx在[,]6上是减函数C．[0,]x，()()3fxfD．[0,]x，()()3fxf6.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有(2)()fxfx+=.当01x时，2()fxx=.若直线y

xa=+与函数()yfx=的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是A.0B.0或12−C.14−或12−D.0或14−7.已知全集1234{,,,}Uaaaa=，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①

若1aA，则2aA；②若2aA，则3aA；③若3aA，则4aA.则集合A=（）A．12{,}aaB．13{,}aaC．23{,}aaD．24{,}aa8.若函数()0,0,22−=xxxaxxexfx的值域为1[,)e−+，则实数a的取值范围是A.(0,e)B.(e,

)+C.(0,e]D.[e,)+二、填空题：本大题共6小题,每小题6分,共36分.把答案填在题中横线上.9.设抛物线24yx=的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若||||OPPF=，则OPF的面积为．10.已知函数

()3sincos(0)fxxx=+的图像与直线2y=的两个相邻交点的距离等于，则的最小值为______.11.各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，若32a=，425SS=，则1a的值为．12.已知角的顶点与原点O重合，始边与

x轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P−−．若角满足5sin()13+=，且+为第二象限角，则cos的值是．13.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于,MN两点.若060MAN=

，则双曲线C的离心率为________.14.定义在(0,)+上的函数()fx满足：①当[1,3)x时，1,12,()3,23,xxfxxx−=−②(3)3()fxfx=.（i）(6)f=；（ii）若函数()()Fxfxa=−的零点从小到大依次记为12,,,,nxxx，则当(1

,3)a时，12212nnxxxx−++++=_____________.三、解答题.本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分16分）如图所示，在四边形ABCD中，2DB

=，且31,3,cos3ADCDB===.（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若23BC=，求AB的长.16.（本小题满分16分）已知数列{}na的各项均不为0，其前n项和为nS，且满足1,aa=12nnnSaa+=.（Ⅰ）求2a的值

；（Ⅱ）求{}na的通项公式；（Ⅲ）若9a=−,请写出nS的最小值.17.（本小题满分17分）已知椭圆:C22221(0)xyabab+=的离心率为53，定点(2,0)M，椭圆短轴的端点是1B，2B，且12MBMB⊥.（Ⅰ）求椭圆C

的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.18.（本小题17分）已知函数xxxxfln)()(2−=.（Ⅰ）求证：1是函数)(xf的极值点;（

Ⅱ）设)(xg是函数)(xf的导函数，求证：1)(−xg.北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（1-4班）参考答案一、选择题：本大题共8小题,每小题6分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案C

BABDDCD二、填空题：本大题共6小题,每小题6分,共36分.把答案填在题中横线上.9.答案：2210.211.1212.166513.【解析】如图，，∵，∴，∴又∵，∴，解得∴14.答案：3；6(31)n−三、解答题.本大

题共4小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（共16分）解：（Ⅰ）因为2DB=，3cos3B=，OAa=ANAMb==60MAN=32APb=222234OPOAPAab=−=−2232tan34bAPOPab==−tanba=223234bbaab=−22

3ab=221231133bea=+=+=所以21coscos22cos13DBB==−=−.………………3分因为(0,π)D，所以222sin1cos3DD=−=.………………5分因为1,3ADCD==，所以△ACD的面积1

122sin132223SADCDD===.…………8分（Ⅱ）在△ACD中，2222cos12ACADDCADDCD=+−=.所以23AC=.………………11分因为23BC=，sinsinACABBACB=，………………13分所以23sinsin(π2)sin22sincos23

sin3ABABABABBBBBBB====−.所以4AB=.……………16分16．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为12nnnSaa+=，所以1122Saa=，即1122aaa=，因为10aa=，所以22a=.---------------

-3分（Ⅱ）因为12nnnSaa+=，所以112nnnSaa−−=，两式相减，得到112()nnnnaaaa+−=−，因为0na，所以112nnaa+−−=，---------------------6分所以212{},{}kkaa−都是公差为2的等差数列，当21nk=−时，12

(1)1naakna=+−=+−,-----------------8分当2nk=时，22(1)2nakk=+−=,-------------------10分所以1,,nnanann+−=为奇数,为偶数.-------------------12分（Ⅲ）当5n=时，nS取得最小值为

15−.-------------16分（当9a=−时，10,,nnnann−=为奇数,为偶数.因为12nnnSaa+=，所以1(10)(1),21(9),2nnnnSnnn−+=−为奇数,为偶数,所以当n为奇数时，n

S的最小值为515S=−，当n为偶数时，nS的最小值为410S=−，所以当5n=时，nS取得最小值为15−.）17.（本小题满分17分）（Ⅰ）解：由222222519abbeaa−===−，得23ba=.………………2分依题

意△12MBB是等腰直角三角形，从而2b=，故3a=.……………4分所以椭圆C的方程是22194xy+=.…………5分（Ⅱ）解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线AB的方程为2xmy=+.…………6分将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得22(49)16200mym

y++−=.………8分所以1221649myym−+=+，1222049yym−=+.……………9分若PF平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以0=+PBPAkk.………10分设(,0)Pn，则有12120yyxnxn+=

−−.将112xmy=+，222xmy=+代入上式，整理得1212122(2)()0(2)(2)myynyymynmyn+−+=+−+−，所以12122(2)()0myynyy+−+=.……………13分将1221649myym−+=+，1222049yym−=+代入上式

，整理得(29)0nm−+=.…………15分由于上式对任意实数m都成立，所以92n=.综上，存在定点9(,0)2P，使PM平分APB.………………17分18．（本题17分）（Ⅰ）证明：证法1：xxxxfln)(

)(2−=的定义域为(0,)+……………1分由xxxxfln)()(2−=得21'()(21)ln()(21)ln1fxxxxxxxxx=−+−=−+−，……………2分'(1)0f=.………………3分当1x时，(21)ln0,10xxx−−，'()0

fx，故()fx在(1,)+上单调递增；………………4分当112x时，(21)ln0,10xxx−−，'()0fx，故()fx在1(,1)2上单调递减；……………5分(此处为推理说明，若

用列表说明则扣1分)所以1是函数()fx的极值点.………………6分证法2：（根据极值的定义直接证明）xxxxfln)()(2−=的定义域为(0,)+……………1分()(1)lnfxxxx=−，(1)0f=……………3分当1x时，(1)0,ln0,()0xxx

fx−，即()(1)fxf；………………4分当01x时，(1)0,ln0,()0xxxfx−，即()(1)fxf；……………5分根据极值的定义，1是()fx的极值点.………………6分（

Ⅱ）由题意可知，1ln)12()(−+−=xxxxg证法1：1'()2ln3,(0,)gxxxx=−++，………………7分令1()2ln3,(0,)hxxxx=−++，222121'()0xhxxxx+=

+=，故()hx在(0,)+上单调递增.………………8分又1(1)20,()1ln4ln024ehh==−=，又()hx在(0,)+上连续，………………9分01(,1)2x使得0()0hx=，即0'()0gx=，0012ln30xx−+=.（*）…………10分'(),()

gxgx随x的变化情况如下：x0(0,)x0x0(,)x+'()gx−0+()gx极小值………………12分min0000()()(21)ln1gxgxxxx==−+−.………………13分由（*）式得0013ln22x

x=−，代入上式得min0000001313()()(21)()122222gxgxxxxxx==−−+−=−−+.………………15分令131()2,(,1)222txxxx=−−+，221(12)(12)'()2022xxtxxx+−=−=，故()tx在1(,1)2上单调递减.……

…………16分()(1)txt，又(1)1t=−，()1tx−.即0()1gx−()1gx−.………………17分证法2：()(21)ln12lnln1,(0,)gxxxxxxxxx=−+−=−+−+，令()2ln,()ln1,(0,)

hxxxtxxxx==−+−+，………………7分'()2(ln1)hxx=+，令'()0hx=得1xe=.………………8分'(),()hxhx随x的变化情况如下：x1(0,)e1e1(,)e+'()hx−0+()hx极小值min12()(

)hxhee==−，即22lnxxe−，当且仅当1xe=时取到等号.………………11分1'()xtxx−=，令'()0tx=得1x=.………………13分'(),()txtx随x的变化情况如下：x(0,1)1(1,)+'()tx−0+()tx极小值………………15分min()(1)0

txt==，即1ln0xx−−，当且仅当1x=时取到等号.………………16分22ln(ln1)1xxxxe+−+−−−.即()1gx−.………………17分