【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第5章 第4节 数系的扩充与复数的引入 含解析【高考】.doc，共(7)页，278.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-数系的扩充与复数的引入[考试要求]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数

的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数(b＝0)，虚数(b≠0)纯虚数(a＝0，b≠0)，非纯虚数(a≠0，b≠0).(3)复数相等a

＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，

b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a

，b，c，d∈R)，则-2-①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(a

d＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)(c＋di)(c－di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即

对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[常用结论](1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(3)z·z＝

|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时

，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材习题衍生1．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A[z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]2．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－

2iB．－1＋2i-3-C．3＋4iD．－3－4iD[∵CA→＝CB→＋BA→＝CB→－AB→＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|等于()A．1B．2C．3D．2A[1＋z1－z＝i，则z＝i－11＋i＝i，∴|z|＝1.]

4．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.2＋i[由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)5＝2－i.∴z＝2＋i.]考点一复数的有关概念解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z

＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d

∈R)．(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z

＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.1．(2020·广州模拟)如果复数z＝2－1＋i，则()A．z的共轭复数为1＋iB．z的虚部为－iC．|z|＝2D．z的实部为－1D[∵z＝2－1＋i＝2(－1－i)(－1＋i)(－1－i)＝－2－2i

2＝－1－i，∴z的实部为－1，故-4-选D.]2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则yx＋i＝()A.1B.2C.3D.5D[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，y

x＋i＝|2＋i|＝5，故选D.]3．如果复数m2＋i1＋mi是纯虚数，那么实数m等于()A．－1B．0C．0或1D．0或－1D[m2＋i1＋mi＝(m2＋i)(1－mi)(1＋mi)(1－mi)＝m2＋m＋(1－m3)i1＋m2，因为此复

数为纯虚数，所以m2＋m＝0，1－m3≠0，解得m＝－1或0，故选D.]考点二复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合

并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．[典例1](1)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论

的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A．－iB．iC．1－iD．1＋i(1)C(2)B[(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；αβ＝1－i1

＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，-5-②正确；αβ＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋a2

＋b2)＋bi＝1＋i，所以a＋a2＋b2＝1，b＝1，解得a＝0，b＝1，所以z＝i，故选B.]点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条

件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.[跟进训练]1．(2020·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－iD．iD[∵z－(1＋i)＝1－i，∴z－＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，∴z＝i，故选D.]2．(

2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.2D．2D[法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D.法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝2×|－1＋i|＝2×2＝2.故选D.]考点三

复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法[典例2](1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()-6-A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·黄冈模

拟)已知i是虚数单位，则复数i－1i＋1在复平面上所对应的点的坐标为()A．(0,1)B．(－1,0)C．(1,0)D．(0，－1)(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1

，＋∞)D．(－∞，－3)(1)C(2)A(3)A[(1)由题意可知z＝x＋yi，所以|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋(y－1)2＝1.∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)∵i－1i＋1＝(i－1)(1－i

)2＝i，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A.(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.]点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对

应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．[跟进训练]1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限-7-D．第四象限D[由已知OA→＝(－2，

－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝_

_______.23[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x21＋y21＝x22＋y22＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝3＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2

)2＝x21＋y21＋x22＋y22＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(3)2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x21＋y21＋x22＋y2

2－2x1x2－2y1y2＝8＋4＝23.]