【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 含解析.doc，共(12)页，441.500 KB，由envi的店铺上传

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平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条

件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2

)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的

坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.[常用结论](1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知P为线段AB的中点，若A

(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．

()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材习题衍生1．已知平

面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)D[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴12a＝12，12，32b＝32，－32，∴12a－32b＝

12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.]2．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2,2)B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)D．(2,2)或(3,1)D[由题意可知P1P2→＝

(3，－3)．若P1P→＝13P1P2→，则P点坐标为(2,2)；若P1P→＝23P1P2→，则P点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则

mn＝________.－12[由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.]4．已知▱ABCD的

顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．(1,5)[设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.]考点一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)

先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[典例1]如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分

点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．[解](1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，

得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b

＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助EC→∥DC→及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以

直接设OE→＝xOD→＋(1－x)·OC→，利用OA→＝12OB→＋12OC→及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的

是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1D[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)

，则λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，

ON上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB→；②12OA→＋13OB→；③34OA→＋13OB→；④34OA→＋15OB→，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内的向量是()A．①②B．①③C．②③D．②④B[由向量共线的充要条件可

得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP→＝uOA→＋vOB→成立，且u＋v＝1.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP→＝uOA→＋vOB→，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.

]考点二平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2](1)向量a，b，c在

正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．1B．2C．3D．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，①求3a＋b－3c；②求M

，N的坐标及向量MN→的坐标．(1)D[以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴－1＝－λ＋6μ，－3

＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.](2)[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15

－3－24)＝(6，－42)．②设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋

(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴MN→＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四

边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，AC→＝(2，－3)，则点D的坐标为()A．(6,1)B．(－6，－1)C．(0，－3)D．(0,3)A[AB→＝(－3，－2)＝DC→，∴AD→＝AC→＋CD→＝AC→－AB→＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]2.如图，在正方形ABCD中，

M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM→＝1，12，BN→＝－12，1，AC→＝(1,1)

，∵AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－12μ，λ2＋μ，∴λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM→＝AB→＋12AD→，BN→＝－12AB→＋AD→，得AC→＝

λAM→＋μBN→＝λ－μ2AB→＋λ2＋μAD→，又AC→＝AB→＋AD→，∴λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三向量共线的坐

标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1]已知a＝(1,0

)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解](1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b

＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C

三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32.点评：熟记两向量a，b共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2]已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)

，则AC与OB的交点P的坐标为________．(3,3)[法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6

)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)

，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC与OB的交点为P”，实际上变

相告知“A，P，C三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a＝(1,3)，b＝2，－12，若c为单位向量，且c∥(a－2b)，则c＝()A.－3

5，－45或35，45B.－35，45或35，－45C.－22，－22，或22，22D.－22，22或22，－22B[由题意可知a－2b＝(－3

,4)，又c∥(a－2b)，∴c＝λ(－3,4)，即c＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c＝－35，45或35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已

知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________．(－3，－6)[设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)．∵AB→∥a，∴x－3＝

2x，即x＝－3.∴B(－3，－6)．]备考技法3共线定理的推广及应用平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP→＝λOA→＋μOB→，当点P不在直线AB上时，可以过点P作直线AB的平行线，且与OA，OB所在的直线分别交

于M，N两点，则由三点P，M，N共线，不难得出：OP→＝xOM→＋yON→，且x＋y＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM→＝kOA→，ON→＝kOB→其中k＝|OM||OA|，则OP→

＝xOM→＋yON→＝kxOA→＋kyOB→，即λ＝kx，μ＝ky，故λ＋μ＝k(x＋y)＝k.把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线

之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过点O时，k＝0；(5)若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数.[技法展示](2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为()A．3

B．22C．5D．2A[如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AFAB＝AB＋BE＋EFAB＝3ABAB＝3，故选A.][评析]应用等和线解题的步骤(1)求k＝

1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．[技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP→＝αAB→＋βAF→(α

，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4][当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈ANAM，ADAM＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝π3，C为弧AB上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x

＋3y的取值范围是________．[1,3][OC→＝xOA→＋3yOB→3，如图，作OB′→＝OB→3，则考虑以向量OA→，OB′→为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是

最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量AP→＝mAB→＋nAF→(m，n为实数)，则m＋n的取值范

围是()A．(1,2]B．[5,6]C．[2,5]D．[3,5]C[随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l

记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)．设AP1→＝mAB→＋nAF→，由等和线结论，m＋n＝AGAB＝2ABAB＝2.此为m＋n的最小值．设AP2→＝mAB→＋nAF→，由等和线结论，m＋n＝AHAB＝5.此为m＋n的最大值．综上可知m＋n∈[2

,5]．]