【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第5章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 含解析【高考】.doc，共(16)页，582.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-平面向量的数量积与平面向量应用举例[考试要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，

会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围

是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·

b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的

性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．-2-结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cos

θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不

同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角

为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．3．a在b方向上的投影为a·b|b|，b在a方向上的投影为a·b|a|.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“

×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·

c)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11C[∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]-3-2．平面向量a与

b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋62B．25C．30D．34D[∵a＝(1,1)，∴|a|＝1＋1＝2.∴a·b＝|a||b|cos45°＝22×22＝2.∴|3a＋b|＝9a2＋b2＋6

a·b＝18＋4＋12＝34.故选D.]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)

·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ＝________，a在b方向上的投影为________．5π6－3[cosθ＝a·b|a|·|b|＝－632×6＝－32.

又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6.a在b方向上的投影为a·b|b|＝－636＝－3.]考点一平面向量数量积的运算平面向量数量积的三种运算方法[典例1](1)(2020·阜阳模拟)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F-4

-分别为AB，BC的中点，则DE→·DF→＝()A．8B．10C．12D．14(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为________．(1)B(2)12[(1)法一：(定义法)根据题意，得DE→·DF→

＝(DA→＋AE→)·(DC→＋CF→)＝DA→·DC→＋DA→·CF→＋AE→·DC→＋AE→·CF→＝0＋2×1×cos0＋2×4×cos0＋0＝10.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，

D(0,2)．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴E(2,0)，F(4,1)．∵DE→＝(2，－2)，DF→＝(4，－1)，∴DE→·DF→＝2×4＋(－2)×(－1)＝10.(2)由两个单位向量a和b的夹角为60

°，可得a·b＝1×1×12＝12，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－12＝12，所以向量a－b在向量a方向上的投影为(a－b)·a|a|＝121＝12.]点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐

标法，定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．[跟进训练]1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则AO→·AB→等于()A.

6B．6C．12D．18-5-D[如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD＝12AB＝3，则AO→·AB→＝(AD→＋DO→)·AB→＝AD→·AB→＋DO→·AB→＝3×6＋0＝18.]2．(2020·成都模拟)在▱ABCD中

，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝________.24[法一：(定义法)AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→

·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24.法二：(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4,6)，M(8,4)．所以AM→＝(8,4)，NM→＝(4，－2)

，所以AM→·NM→＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.]考点二平面向量数量积的应用平面向量的模求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(2)|a±b|＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝

(x，y)，则|a|＝x2＋y2.[典例2－1](1)已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC中点，则|AD→|等于()A．2B．4C．6D．8(2)已知在直角梯形AB

CD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．-6-(1)A(2)5[(1)因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝

4(a2－2b·a＋b2)＝4×3－2×2×3×cosπ6＋4＝4，则|AD→|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则PA→＋3PB→＝(2，

－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|PA→＋3PB→|＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)．当y＝34b时，|PA→＋3PB→|min＝5.]点评：求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解

；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．平面向量的夹角求向量夹角问题的方法[典例2－2](1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π

6B.π3-7-C.2π3D.5π6(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．(1)B(2)－∞，－92∪－

92，3[(1)法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝12，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3，故选B.法二：如图，令OA→＝a，OB→＝b，

则BA→＝OA→－OB→＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝π3，即〈a，b〉＝π3.故选B.(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－

6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b与c反向共线，则2k－32＝－6，解得k＝－92，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是－∞，－92∪－92，3.]点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两

向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．两个向量垂直问题(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两个向量的垂直关系

，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[典例2－3](1)(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b-8-(2)已知向量A

B→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．(1)D(2)712[(1)法一：由题意，得a·b＝|a||b|cos60°＝12.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋

2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b

＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.法二：不妨设a＝12，32，b＝(1,0)，则a＋2b＝52，32，2a＋b＝(2，3)，a－2b＝－32，32，2a－b＝(0，3)，易知，只有

(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.(2)因为AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，所以(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→

－λAB→2＋AC→2＝0，所以(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.]点评：解答本例(2)的关键是BC→的转化，考虑到AP→＝λAB→＋AC

→，且AB→与AC→的夹角为120°，故BC→＝AC→－AB→.从而AP→⊥BC→可转化为AP→·BC→＝0，即(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0.[跟进训练]1．(2020·南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a＋2b与b的夹角是()A.π6B

.5π6-9-C.π4D.3π4A[因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×12×cosπ3＝3，所以|a＋2b|＝3.又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×12×cosπ3＋2×14＝14＋12＝3

4，所以cos〈a＋2b，b〉＝(a＋2b)·b|a＋2b||b|＝343×12＝32，所以a＋2b与b的夹角为π6.故选A.]2．(2020·福州模拟)已知向量|OA→|＝3，|OB→|＝2，OC→＝mOA→＋nOB→，若OA→与OB→的夹角为60°，且OC→⊥AB→，则实数mn

的值为()A.16B.14C．6D．4A[因为向量|OA→|＝3，|OB→|＝2，OC→＝mOA→＋nOB→，OA→与OB→夹角为60°，所以OA→·OB→＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC→＝(OB→－OA→)·(mOA→＋nOB→)＝(m－n)OA→·O

B→－m|OA→|2＋n|OB→|2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以mn＝16，故选A.]3．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.3[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1

＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×－12＝3，∴|a－b|＝3.]考点三平面向量的应用平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关-10

-键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．[典例3](1)设P是△ABC所在平面内一点，若AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP→，且AB→2＝AC→2－2BC→·AP→，则点P是

△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心(2)在△ABC中，AB→＝(3sinx，sinx)，AC→＝(－sinx，cosx)．①设f(x)＝AB→·AC→，若f(A)＝0，求角A的值；②若对任意的实数t

，恒有|AB→－tAC→|≥|BC→|，求△ABC面积的最大值．(1)A[由AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP→，得AB→·(CB→＋CA→－2CP→)＝0，即AB→·[(CB→－CP→)＋(CA→－CP→)]＝0，所以AB→·(PB→＋PA→)＝0.设D为AB的中点，则AB→

·2PD→＝0，故AB→·PD→＝0.由AB→2＝AC→2－2BC→·AP→，得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝－2BC→·AP→，即(AB→＋AC→－2AP→)·BC→＝0.设E为BC的中点，则(2AE→－2AP→)·BC→＝0，则2PE→·BC→＝0，故BC→·PE→＝0.所以P为A

B与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A.](2)[解]①f(x)＝AB→·AC→＝－3sin2x＋sinxcosx＝－3×1－cos2x2＋sin2x2＝sin2x＋π3

－32.∵f(A)＝0，∴sin2A＋π3＝32.又∵A∈(0，π)，∴2A＋π3∈π3，2π＋π3，∴2A＋π3＝2π3，∴A＝π6.-11-②如图，设AD→＝tAC→，则AB→－tAC→＝DB→，即|DB→|≥|BC→|恒成立，∴AC⊥BC.∵|AB→|＝4sin2x

＝2－2cos2x≤2，|AC→|＝1，∴|BC→|＝|AB→|2－|AC→|2≤3，∴△ABC的面积S＝12BC·AC≤32，当且仅当cos2x＝0，即x＝π4＋kπ，k∈Z时等号成立，∴△ABC面积的最大值为32.点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心

(1)|OA→|＝|OB→|＝|OC→|(或OA→2＝OB→2＝OC→2)⇔O是△ABC的内心；(2)OA→＋OB→＋OC→＝0⇔O是△ABC的重心；(3)OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔

O是△ABC的垂心；(4)OA→·AB→|AB→|－AC→|AC→|＝OB→·BA→|BA→|－BC→|BC→|＝OC→·CA→|CA→|－CB→|CB→|⇔O是△ABC的内心．[跟进训练]1．(2020·济南一模)加强体育锻

炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，3≈1.732)A．63B．69C．75D．

81B[设该学生两只胳膊的拉力分别为F1，F2，由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002，|G|＝4003(N)，则该学生的体重约为403＝40×1.

732≈69(kg)，故选B.]2．(2020·华南师大附中模拟)在△ABC中，AB→·BC→＝3，其面积S∈32，332，-12-则AB→与BC→夹角的取值范围为()A.π6，π4B.

π4，π3C.π6，π3D.2π3，3π4C[设AB→与BC→夹角为θ，∵AB→·BC→＝3，∴|AB→||BC→|·cosθ＝3，即|AB→||BC→|＝3cosθ.又S∈32，332，故32≤12|AB→||BC→|

sin(π－θ)≤332，所以32≤32tanθ≤332，即33≤tanθ≤3.又θ∈[0，π]，∴π6≤θ≤π3.故选C.]备考技法4平面向量中的最值(范围)问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量

的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，

即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.数量积的最值(范围)问题[技法展示1]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC

→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1B[法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图1所示，设BC的中点为D，-13-AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有PB→＋PC→＝2PD→，图1则PA

→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→＝2(PE→＋EA→)·(PE→－EA→)＝2(PE→2－EA→2)．而EA→2＝322＝34，当点P与点E重合时，PE→2有最小值0，故此时PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，最小值为－2

EA→2＝－2×34＝－32.法二：(坐标法)如图2，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所

以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，最小值为－32.]图2[评析]设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何

意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AB→·AC→＝AD2－BD2.具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边

长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，-14-实现向量与几何、代数的巧妙结合．[技法应用]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP

→·AB→的取值范围是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)A[AP→·AB→＝|AP→|·|AB→|·cos∠PAB＝2|AP→|·cos∠PAB，又|AP→|cos∠PAB表示

AP→在AB→方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又AC→·AB→＝23×2×cos30°＝6，AF→·AB→＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP→·AB→∈(－2,6)，故选A.]2．在半径为1

的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→的最小值是________．－116[法一：(极化恒等式)如图1，取OB的中点D，连接PD，则OP→·BP→＝PD2－OD2＝PD2－14，即求PD的最小值．图1由图可知，当PD⊥OB时，PD

min＝34，则OP→·BP→的最小值是－116.法二：(坐标法)以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，-15-图2则A0，32，O－12，0，B12，0，可得直线AB的方程

为2x＋233y＝1，设Px，32(1－2x)，则OP→＝x＋12，32(1－2x)，BP→＝x－12，32(1－2x)，所以OP→·BP→＝4x2－3x＋12＝4x－3

82－116，当x＝38时，OP→·BP→的最小值是－116.]模的最值问题[技法展示2](2020·赣州模拟)已知平面向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝1，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为3，则cosθ＝()A．22B．12C．±12D．0B[法一：(

函数法)根据题意，|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为θ，则a·b＝2cosθ，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为3，则|a－λb|2的最小值为3，则|a－λb|2＝a2＋λ2b2－2λa·b＝4＋λ2－4λcosθ＝(λ－2cosθ)2＋4－4cos2θ

，故当λ＝2cosθ时，|a－λb|2取得最小值3，-16-即有4－4cos2θ＝3，即cosθ＝±12，又由λ＞0，则cosθ＝12，故选B.法二：(数形结合法)如图，设OB→＝a，OA→＝λb(λ＞0)，则|a－λb|＝|AB→|，易知当BA⊥OA时|a－λb

|取得最小值3，此时sinθ＝32，cosθ＝12.故选B.][评析]模的最值问题求解方法一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义．前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解．[技法应用]已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝22，a与b的夹角为π4，(c－a)·(c

－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________．2＋1[设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵|a|＝4，|b|＝22，a与b的夹角为π4，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．∵(c－a)

·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆，|c－a|表示点A，C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离．∵圆心到点A的距离为(3－4)2＋(1－0)2＝2，∴|

c－a|的最大值为2＋1.]