【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.5 简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(20)页，1.595 MB，由小赞的店铺上传

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专题8.5简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）1．多面体的侧面积、表面积和体积2．旋转体的侧面积、表面积和体积3．空间几何体表面积与体积的常见求法(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入

公式求解.②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求

体积.(2)求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.4．球的截面(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.(2)球的截面的性质①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满

足关系式：.图形解释如下：在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.5．几何体与球的切、接问题常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案

：【题型1多面体的表面积与体积】【方法点拨】求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的

唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（）(4.873≈115.5)A．231m3B．179m3C．154m3D．77m3【解题思路】设正四棱锥�

�−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，易得𝑃𝑂⊥平面ABCD，∠𝐶𝑃𝑂=45°，再根据高为4.87m求解.【解答过程】解：如图所示：设正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，则𝑃𝑂⊥平面A

BCD，由题可得∠𝐶𝑃𝑂=45°，故𝑃𝑂=𝐶𝑂=√22𝑎，所以√22𝑎=4.87，解得𝑎=4.87×√2，所以该正四棱锥的体积𝑉=13×(4.87×√2)2×4.87=23×4.873≈77(m3).故选：D.【变式1-1】（2023·全国

·模拟预测）如图，已知四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在𝐶𝐶1上且𝐶𝐸=3𝐸𝐶1，则三棱锥𝐷1−𝐴𝐷𝐶与三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的公共部分的体积为（）A．𝑉28B．𝑉21C．3𝑉28D．𝑉7【解题思路】先找到三

棱锥𝐷1−𝐴𝐷𝐶与三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的公共部分，设DE，𝐷1𝐶交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥𝐹−𝐶𝐷𝐺就是三棱锥𝐷1−𝐴𝐷𝐶与三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的公共部分．再推出点F到平面ABCD的

距离是点𝐷1到平面ABCD距离的37，然后根据棱锥的体积公式可得结果.【解答过程】如图，设DE，𝐷1𝐶交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥𝐹−𝐶𝐷𝐺就是三棱锥𝐷1−𝐴𝐷𝐶与三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的公共部分．因为𝐶𝐸=3𝐸𝐶1，所以𝐷1𝐹𝐹𝐶

=𝐷𝐷1𝐶𝐸=43，所以𝐹𝐶𝐷1𝐶=37，设点𝐷1到平面ABCD距离为ℎ，则点F到平面ABCD的距离是37ℎ，又𝑆△𝐶𝐷𝐺=14𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，所以三棱锥𝐹−𝐶𝐷𝐺的体

积为13𝑆△𝐶𝐷𝐺⋅37ℎ=13×14𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷⋅37ℎ=13×14×37𝑉=𝑉28.故选：A．【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱

柱的体积为（）A．30B．15C．10D．60【解题思路】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半.【解答过程】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为𝑆=1

0，高ℎ=𝑃𝐻=3，四棱柱的体积𝑉=10×3=30，则此斜三棱柱的体积为12𝑉=15.故选：B.【变式1-3】（2023秋·江西上饶·高二期末）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称

谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥

称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为𝑉，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为𝑉1，𝑉2，𝑉3，则下列选项不正确．．．的是（）A．𝑉=16B．𝑉1=8C．𝑉2=163D．𝑉3=43【解题思

路】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.【解答过程】𝑉=4×2×2=16，A选项正确.𝑉1=12𝑉=8，B选项正确.𝑉2=13×4×2×2=163，C选项正确.𝑉3=13×(12×2×2)×4=83，D选项不正确.故选：D.【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面

积与体积】【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．20π【解题思路】圆锥的侧

面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.【解答过程】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则圆锥底面圆的半径为𝑟=4π2π=2

，底面圆的面积为π𝑟2=π×22=4π，圆锥的表面积为12×4π×4+4π=12π.故选：C.【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知一个圆柱体积为π，底面半径为√3，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（）A．√3πB．2√3πC．3√3πD．4√3π【解题思路】根据圆柱

圆锥体积公式求出圆锥的高，进而求圆锥的母线长，即可求侧面积.【解答过程】设圆锥的高为ℎ1，所以圆锥的体积为13π𝑟2×ℎ1=π，所以ℎ1=1，所以圆锥的母线𝑙=√ℎ12+𝑟2=2，得圆锥的侧面积为𝑆=𝜋𝑟𝑙=

2√3𝜋，故选：B.【变式2-2】（2022春·河南·高一期中）圆台上､下底面半径分别是1､2，高为√3，这个圆台的体积是（）A．7√33πB．2√3πC．7√3πD．2√33π【解题思路】运用圆台体积公式直接计算.【解答过程】由圆台体积公式知：𝑉=13πℎ(𝑅2+𝑟2+�

�𝑟)=π3×√3×(12+22+1×2)=7√33π；故选：A.【变式2-3】（2023春·河南·高三开学考试）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知𝐴𝐵=9cm,𝐶𝐷=3cm，则该青铜器的表面积为（）（假设上、下底面圆

是封闭的）A．(36√3+81)𝜋2cm2B．(18√3+58)𝜋cm2C．(24√3+81)𝜋2cm2D．(18√3+36)𝜋cm2【解题思路】根据圆柱和圆台的侧面积公式分别求解侧面积，再加上底面积，即可得该青铜器的表面积【解答过程】解：因为𝑆圆柱侧=2𝜋×32×2√3=6√3�

�cm2，𝑆组合体圆台侧=𝜋×(32+92)×√(3√3)2+32+𝜋×(32+92)×√(√3)2+32=(36+12√3)𝜋cm2，所以该青铜器的表面积𝑆=𝜋(32)2+𝜋(32)2+(36+12√3)𝜋+6√3𝜋=(36√

3+81)𝜋2cm2.故选：A.【题型3球的表面积与体积】【方法点拨】计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握球的表面积公式和体积公式中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式

和体积公式得到球的半径.【例3】（2023·高一课时练习）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（）A．√𝑛−1B．√𝑛+1C．√𝑛+2D．√𝑛【解题思路】根据球的表面积公式计算即可直接求解.【解答过程】设原球的半径为𝑟，扩大后为𝑅，则原表面积为4𝜋𝑟2，扩大n

倍后变为4𝑛𝜋𝑟2，所以𝑅=√4𝑛𝜋𝑟24𝜋=√𝑛𝑟，得𝑅𝑟=√𝑛，即半径扩大到原来的√𝑛倍，比原来增加了(√𝑛−1)倍.故选：A.【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高二期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这

两个球的体积之比为（）A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9【解题思路】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算.【解答过程】设两球的半径分别为𝑟1,𝑟2，则4𝜋𝑟1⬚24𝜋𝑟2⬚2=49，∴𝑟1𝑟2=23，所以两球的体积比为�

�1𝑉2=43𝜋𝑟1⬚343𝜋𝑟2⬚3=827；故选：A.【变式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球𝑂的表面积为12𝜋，则它的体积为（）A．4√3𝜋B．4√3C．8√3𝜋D．8√3【解题思路】根据给定条件，求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【解答过

程】球𝑂的表面积为12𝜋，设球O的半径为R，则有4𝜋𝑅2=12𝜋，解得𝑅=√3，所以球𝑂的体积为𝑉=4𝜋3𝑅3=4𝜋3×(√3)3=4√3𝜋.故选：A.【变式3-3】（2023秋·河南安阳·高三期末）圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球�

�的表面积与该圆锥的表面积相等，则球𝑂的体积为（）A．√2π3B．2π3C．√3π2D．3π2【解题思路】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于𝑅的方程，解之即可求得球的体积.【解答过程】依题意，设圆锥的底面半径为𝑟，母线𝑙=2，则圆锥的侧面积为π𝑟�

�=2π，故𝑟=1，所以圆锥的底面积为π𝑟2=π，则圆锥的表面积为2π+π=3π，设球的半径为𝑅，则4π𝑅2=3π，得𝑅=√32，所以球的体积𝑉=4π3𝑅3=√3π2.故选：C.【题型4球的截面问题】【方法点拨】利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的

连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A．8π3B．32π3C．8πD．8√2π3【解题思路】求出截面圆的半径为√𝑅2−𝑙，利用截面圆的面积为π，

可得R2=2，即可求出球的表面积．【解答过程】设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选C.【变式4-1】（2022秋·福建泉州·高二开学考试）已知𝐴𝐵为球𝑂

的一条直径，过𝑂𝐵的中点𝑀作垂直于𝐴𝐵的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（）A．316B．916C．38D．932【解题思路】设球的半径为𝑅，截面圆𝑀的半径𝑟，由球截面性质求得34𝑅2=𝑟2，然后计算球表面积、圆锥表面积，再

计算比值．【解答过程】设球的半径为𝑅，截面圆𝑀的半径𝑟，则𝑅2=14𝑅2+𝑟2，∴34𝑅2=𝑟2，∴𝑆球=4𝜋𝑅2，圆锥的表面积为𝜋𝑟2+𝜋𝑟√(3𝑅2)2+𝑟2=94𝜋𝑅2，则所得圆锥的表面积与球的表面积的比值为94𝜋𝑅24𝜋𝑅2=916，故选：B.

【变式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（）A．932B．916C．38D．316【解题思路】根据垂径定理可得所得截面的半径，进而根据圆面积与球体积公式求得比值即可.【解答过程】球的半径𝑅=2，设截面

圆半径为r，则𝑅2=14𝑅2+𝑟2，∴𝑟2=3所得截面的面积与球的体积的比为πr243π𝑅3=932.故选：A.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）体积为18√3的正三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的每个顶点都在半径为𝑅的球𝑂的球面上，

球心𝑂在此三棱锥内部，且𝑅:𝐵𝐶=2:3，点𝐸为线段𝐵𝐷上一点，且𝐷𝐸=2𝐸𝐵，过点𝐸作球𝑂的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．[4𝜋,12𝜋]B．[8𝜋,16�

�]C．[8𝜋,12𝜋]D．[12𝜋,16𝜋]【解题思路】设𝐵𝐶=3𝑎，则𝑅=2𝑎，设正三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的高为ℎ,由题意求出先求出𝐵𝐶与𝑅，再求出𝑂𝐸，即可求出所得截面圆面积的取值范围.【解答过程】设𝐵𝐶=3𝑎，则𝑅=2𝑎，设正三棱锥𝐴−𝐵�

�𝐷的高为ℎ,因为体积为18√3的正三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的每个顶点都在半径为𝑅的球𝑂的球面上，所以13×√34×9𝑎2ℎ=18√3，所以ℎ=24𝑎2，因为𝑅2=(ℎ−𝑅)2+(√3𝑎)2，所以4

𝑎2=(24𝑎2−2𝑎)2+3𝑎2，所以𝑎=2，所以𝐵𝐶=6,𝑅=4，因为点𝐸为线段𝐵𝐷上一点，且𝐷𝐸=2𝐸𝐵，所以△𝑂𝐷𝐵中，𝑂𝐷=𝑂𝐵=4,𝐷𝐵=6，co

s∠𝑂𝐷𝐵=𝑂𝐷2+𝐷𝐵2−𝑂𝐵22𝑂𝐷·𝐷𝐵=34，所以𝑂𝐸=√16+16−2×4×4×34=2√2，当𝑂𝐸⊥截面时，截面外接圆的半径为√16−8=2√2，其最小面积为𝑆′=8𝜋；以𝑂𝐸所在的直线为直径时

，截面圆的半径为4，截面圆的面积为𝑆=16𝜋.所以所得的截面圆面积的取值范围是[8𝜋,16𝜋].故选：B．【题型5几何体与球的切、接问题】【方法点拨】1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何

体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数

量关系.【例5】（2022秋·江苏淮安·高三阶段练习）如图，已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面是等腰直角三角形，𝐴𝐴1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，𝐴𝐴1=4，点D在上底面𝐴1𝐵1𝐶1（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（）A．[814π,2

4π]B．[9π,24π]C．[24316π,24π]D．[24316π,8√6π]【解题思路】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.【解答过程】如下图所示：因为△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐴𝐶=𝐵

𝐶=2，所以△𝐴𝐵𝐶的外接球的截面圆心为𝐴𝐵的中点𝑂1，且𝐴𝑂1=√2，连接𝑂1与𝐴1𝐵1的中点𝐸，则𝑂1𝐸//𝐴𝐴1，所以𝑂1𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶.设球心为𝑂，由球的截面性质可知，𝑂在𝑂1𝐸上

，设𝑂𝑂1=𝑥，𝐷𝐸=𝑡(0≤𝑡≤√2)，半径为𝑅，因为𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝑅，所以√2+𝑥2=√(4−𝑥)2+𝑡2，所以𝑡2=8𝑥−14，又0≤𝑡≤√2，所以解得74≤𝑥≤2.因为𝑅2=2+𝑥2，所以

8116≤𝑅2≤6，所以当𝑅2=8116时，外接球表面积最小为4π𝑅2=814π，当𝑅2=6时，外接球表面积最大为4π𝑅2=24π.所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为[814π,24π].故选：A.【变式5-1】如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷

，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐵𝐶=60°，将△𝐴𝐶𝐷沿边𝐴𝐶翻折，使点𝐷翻折到𝑃点，且𝑃𝐵=2√2，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积是（）A．15πB．25πC．5√5πD．20π【解题思路】在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，利用已知条件求出三角形𝐴𝐷�

�和三角形𝐴𝐵𝐶的边长，分别取𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点𝑂′,𝐹，连接𝑂′𝐹,𝑃𝐹,𝐵𝐹，可证出𝑃𝐹⊥面𝐴𝐵𝐶，由𝑂′𝑃<𝑂′𝐴知，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的球心𝑂在平面𝐴𝐵𝐶的下方，设三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的

球心为𝑂，连接𝑂𝑂′，作𝑂𝐻⊥𝑃𝐹，垂足为H，由𝑅2=𝑂′𝐴2+𝑂′𝑂2=𝑂𝐻2+(𝑃𝐹+𝑂′𝑂)2，解出外接球半径，进而得出表面积．【解答过程】在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴

𝐵𝐶=60°，则∠𝐴𝐷𝐶=120°，𝐴𝐶=2√3，𝐴𝐵=4，即∠𝐴𝐶𝐵=90°分别取𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点𝑂′,𝐹，连接𝑂′𝐹,𝑃𝐹,𝐵𝐹，∵𝑃𝐹=1，𝑃𝐵=2√2且𝐵𝐹=√3+4=√7，∴�

�𝐹⊥𝐵𝐹，又𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，𝐴𝐶∩𝐵𝐹=𝐹，𝐴𝐶,𝐵𝐹⊂面𝐴𝐵𝐶，∴𝑃𝐹⊥面𝐴𝐵𝐶由题意可知𝑂′为直角三角形𝐴𝐵𝐶斜边的中点，因为𝑂′𝑃=√1+1=√2<𝑂′𝐴，所以三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶

外接球的球心𝑂在平面𝐴𝐵𝐶的下方．设三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的球心为𝑂，连接𝑂𝑂′，作𝑂𝐻⊥𝑃𝐹，垂足为H，由题中数据可得𝑃𝐹=1，𝑂𝐻=𝑂′𝐹=1，𝑂′𝐴=2，𝐻𝐹=𝑂𝑂′，设三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的半径为𝑅，则𝑅2=𝑂

′𝐴2+𝑂′𝑂2=𝑂𝐻2+(𝑃𝐹+𝑂′𝑂)2，即𝑅2=4+𝑂′𝑂2=1+(1+𝑂′𝑂)2，解得𝑂′𝑂=1，𝑅2=5，故三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积是4π𝑅2=20π.故选：D.【变式5-2】如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1

中，𝐴𝐴1⊥底面ABC，𝐴𝐴1=4，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，D在上底面𝐴1𝐵1𝐶1（包括边界）上运动，则三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的外接球体积的最大值为（）A．4√6π

B．8√3πC．8√6πD．12√3π【解题思路】先确定球心的大致位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.【解答过程】因为𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，所以△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心为𝐴𝐵的中点𝑂1,且𝐴𝑂

1=𝐵𝑂1=√2，取𝐴1𝐵1的中点𝐸，连接𝑂1𝐸，则𝑂1𝐸//𝐴𝐴1，所以𝑂1𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶；设三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的外接球的球心为𝑂，则𝑂在𝑂1𝐸上，设𝑂𝑂1=𝑥，𝐷𝐸=𝑡(0≤𝑡≤√2)，球半径为𝑅，因为𝑂𝐴=𝑂𝐷=�

�，所以√2+𝑥2=√(4−𝑥)2+𝑡2，所以𝑡2=8𝑥−14，因为0≤𝑡≤√2，所以74≤𝑥≤2，因为𝑅2=2+𝑥2，所以8116≤𝑅2≤6，即外接球半径的最大值为√6，所以三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的外接球的体积的最大值为𝑉=43π(√6)

3=8√6π.故选：C.【变式5-3】（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，∠𝐵=60°.将△𝐴𝐵𝐶沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷，如

图所示，当三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的表面积最大时，三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的外接球体积为（）A．5√23πB．4√33πC．2√3πD．8√23π【解题思路】根据题意结合三角形面积公式分析可得当𝑃𝐶⊥𝐶𝐷时，三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的表面积取最大值，再根据直角三角形

的性质分析三棱锥的外接球的球心和半径，即可得结果.【解答过程】由题意可得：△𝐴𝐶𝐷,△𝐴𝐶𝑃均为边长为2的等边三角形，△𝑃𝐴𝐷,△𝑃𝐶𝐷为全等的等腰三角形，则三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的表面积𝑆=2𝑆△𝐴𝐶

𝐷+2𝑆△𝑃𝐶𝐷=2×12×2×2×√32+2×12×2×2×sin∠𝑃𝐶𝐷=2√3+4sin∠𝑃𝐶𝐷≤2√3+4，当且仅当sin∠𝑃𝐶𝐷=1，即𝑃𝐶⊥𝐶𝐷时，三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的表面积取最大值，此时△𝑃𝐴𝐷,△𝑃𝐶𝐷为直角三角形，𝑃

𝐷=√𝑃𝐶2+𝐶𝐷2=2√2，取𝑃𝐷的中点𝑂，连接𝑂𝐴,𝑂𝐶，由直角三角形的性质可得：𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝑃=√2，即三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的外接球的球心为𝑂，半径为

𝑅=√2，故外接球体积为𝑉=43π(√2)3=8√23π.故选：D.【题型6实际应用问题】【方法点拨】对于实际应用问题，解题的关键是正确建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正确作出截

面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关健是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，利用总体积不变，正确建立等量关系，也是常用的方法.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二期末）如图，某

种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？(结果精确到0.1)(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（

精确到克）【解题思路】（1）分别求出两个半球的体积𝑉1，和圆柱体的体积𝑉2，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【解答过程】（1）该半球的直径𝑑=6cm，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm，得

半径𝑅=3cm，所以两个半球的体积之和为𝑉球=43π𝑅3=43π⋅27=36πcm3，而𝑉圆柱=π𝑅2⋅ℎ=π×9×2=18πcm3，该“浮球”的体积是𝑉=𝑉球+𝑉圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3；

（2）上下两个半球的表面积是𝑆球表=4π𝑅2=4×π×9=36πcm2，而“浮球”的圆柱筒侧面积为𝑆圆柱侧=2π𝑅ℎ=2×π×3×2=12πcm2，所以1个“浮球”的表面积为𝑆=36π+12π104=48104πm2，因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500𝑆=2500×4

8104π=12πm2，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）．【变式6-1】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块

钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；(2)若每块钢板的厚度为10mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.【解题

思路】（1）由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以𝑟1=15为半径的圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案；（2）设钉身的长度为𝑥，表示出钉身的体积𝑉.根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解即可得出答案.【解答过程】（1）解

：由已知可得，铆钉为以𝑟1=15为半径的半球与圆柱的组合体.由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为ℎ=3𝑟1=45，圆柱底面半径为𝑟2=8.由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以𝑟

1=15为半径的圆的面积.半球的表面积为𝑆1=12×4π𝑟1⬚2=12×4π×152=450π，圆柱的侧面积为𝑆2=2π𝑟2ℎ=2π×8×45=720π，圆的面积𝑆3=π𝑟1⬚2=225π.所

以，铆钉的表面积𝑆=𝑆1+𝑆2+𝑆3=1395π(mm2).（2）解：设钉身的长度为𝑥，𝑥>20，则钉身的体积𝑉=π𝑟2⬚2𝑥=64π𝑥.由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20，底面圆半径为𝑟2=8，钉帽是以半径𝑟

1=15的半球.所以𝑉=π𝑟22×20+12×43π𝑟13=1280π+2250π=3530π(mm3).所以64π𝑥=3530π，解得𝑥≈55，满足条件.所以钉身的长度为55(mm).【变式6-2】（2022·高二课时练习）如图，有一个水平放置的透

明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到1cm3）.【解题思路】先求出球的半径，即可求出球的体积.【解答过程】如图所示：

设球的半径为R,由勾股定理知,𝑅2=(𝑅−2)2+52,解得𝑅=294.所以该球的体积为𝑉=43𝜋𝑅3=43𝜋(294)3≈1596(cm3).【变式6-3】（2022·高一课时练习）如图，𝐴𝐵是一圆柱形树桩的底面直径，𝑃𝐴是圆柱的母线，且𝐴𝐵=𝑃𝐴=

2，点𝐶是圆柱底面圆周上的点．(1)求该树桩的侧面积和体积；(2)若𝐴𝐶=1，𝐷是𝑃𝐵的中点，线有一只小虫在点𝐶，先在线段𝑃𝐴上钻一个小洞，记为点𝐸，若该小虫要从点𝐶钻过小洞点𝐸到达点

𝐷，要使得小虫爬过的路径最短，请你确定小洞点𝐸的位置，并求出路径的最小值．【解题思路】（1）根据圆柱的侧面展开图即可求解侧面积，根据体积公式即可求解体积，（2）根据两点之间距离最小，结合翻折转为共面即可求解.【解答过程】（1）由题意得，

圆柱的底面半径为1，高为2，所以树桩的侧面积为2π×1×2=4π，树桩的体积为π×12×2=2π．（2）路径为𝐶𝐸+𝐸𝐷，如图，将△𝑃𝐴𝐶绕𝑃𝐴所在直线旋转到△𝑃𝐴𝐶′的位置，使其与平面𝑃𝐴𝐵共面，

且𝐶′在𝐴𝐵的反向延长线上．此时𝐶′𝐷与𝑃𝐴的交点即为使𝐶𝐸+𝐸𝐷取得最小值的点𝐸的位置，即小洞的位置．∵𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，∴∠𝑃𝐵𝐴=π4，𝐵𝐷=12𝐵𝑃=√2．又𝐵𝐶′=𝐵𝐴+𝐴𝐶′=2+1=3，∴在△𝐶′𝐵𝐷中，由

余弦定理得𝐶′𝐷=√32+(√2)2−2×3×√2×√22=√5，∴𝐶𝐸+𝐸𝐷的最小值为√5，即路径的最小值为√5．