【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.5 简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(11)页，1.334 MB，由小赞的店铺上传

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专题8.5简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）1．多面体的侧面积、表面积和体积2．旋转体的侧面积、表面积和体积3．空间几何体表面积与体积的常见求法(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解.②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形

式即可.③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.(2)求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面

，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.4．球的截面(1)球的截面形状①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，

此时球的截面就是球的小圆.(2)球的截面的性质①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.图形解释如下：在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球

的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.5．几何体与球的切、接问题常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：【题型1多面体的表面积与体积】【方法点拨】求解棱柱、棱锥、棱台的表面积

与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看

成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（）(4.873≈115.5)A．231m3B．179m3C．154m3D．77m3【变式1-1】（2023·全国·模拟预测

）如图，已知四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在𝐶𝐶1上且𝐶𝐸=3𝐸𝐶1，则三棱锥𝐷1−𝐴𝐷𝐶与三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的公共部分的体积为（）A．𝑉28B．𝑉21C．3𝑉28D．𝑉7【变式1-

2】（2023·高一课时练习）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（）A．30B．15C．10D．60【变式1-3】（2023秋·江西上饶·高二期末）“堑堵”“阳马

”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）

.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为𝑉，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为𝑉1，𝑉2，𝑉3，则下列选项不正确．．．的是（）A．𝑉=16B．𝑉1=8C．𝑉2=163D．�

�3=43【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A．4πB．8πC．

12πD．20π【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知一个圆柱体积为π，底面半径为√3，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（）A．√3πB．2√3πC．3√3πD．4√3π【变式2-2】（2022春·河南·高一期中）圆台上

､下底面半径分别是1､2，高为√3，这个圆台的体积是（）A．7√33πB．2√3πC．7√3πD．2√33π【变式2-3】（2023春·河南·高三开学考试）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知𝐴𝐵=9c

m,𝐶𝐷=3cm，则该青铜器的表面积为（）（假设上、下底面圆是封闭的）A．(36√3+81)𝜋2cm2B．(18√3+58)𝜋cm2C．(24√3+81)𝜋2cm2D．(18√3+36)𝜋cm2【题型3球的表面积与体积】【

方法点拨】计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握球的表面积公式和体积公式中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.【例3】（2023·高一课时练习）若球的表面积扩大

为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（）A．√𝑛−1B．√𝑛+1C．√𝑛+2D．√𝑛【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高二期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（）A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9【变式3-2】（2022春·湖南株洲·高

一期中）已知球𝑂的表面积为12𝜋，则它的体积为（）A．4√3𝜋B．4√3C．8√3𝜋D．8√3【变式3-3】（2023秋·河南安阳·高三期末）圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球𝑂的表面积与该圆锥的表面积相等，则球𝑂的体积为（）A．√2π3B．2π3C．√3π2D．3π2【

题型4球的截面问题】【方法点拨】利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积

为π，则球的表面积为A．8π3B．32π3C．8πD．8√2π3【变式4-1】（2022秋·福建泉州·高二开学考试）已知𝐴𝐵为球𝑂的一条直径，过𝑂𝐵的中点𝑀作垂直于𝐴𝐵的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为

（）A．316B．916C．38D．932【变式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（）A．932B．916C．38D．316【变式4-3】（20

23·全国·高三专题练习）体积为18√3的正三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的每个顶点都在半径为𝑅的球𝑂的球面上，球心𝑂在此三棱锥内部，且𝑅:𝐵𝐶=2:3，点𝐸为线段𝐵𝐷上一点，且𝐷𝐸=2𝐸𝐵，过点�

�作球𝑂的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．[4𝜋,12𝜋]B．[8𝜋,16𝜋]C．[8𝜋,12𝜋]D．[12𝜋,16𝜋]【题型5几何体与球的切、接问题】【方法点拨】1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题

时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球

的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.【例5】（2022秋·江苏淮安·高三阶段练习）如图，已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面是等腰直角三角形，𝐴𝐴1⊥底面ABC，AC＝BC＝

2，𝐴𝐴1=4，点D在上底面𝐴1𝐵1𝐶1（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（）A．[814π,24π]B．[9π,24π]C．[24316π,24π]D．[24316π,8√6π]【变式5-1】如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中

，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐵𝐶=60°，将△𝐴𝐶𝐷沿边𝐴𝐶翻折，使点𝐷翻折到𝑃点，且𝑃𝐵=2√2，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积是（）A．15πB．25πC．5√5πD．20π【变式5-2】如图，

在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1⊥底面ABC，𝐴𝐴1=4，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，D在上底面𝐴1𝐵1𝐶1（包括边界）上运动，则三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的外接球体积的最大值为（）A．4√6πB．

8√3πC．8√6πD．12√3π【变式5-3】（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，∠𝐵=60°.将△𝐴𝐵𝐶沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥𝑃−𝐴𝐶

𝐷，如图所示，当三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的表面积最大时，三棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐷的外接球体积为（）A．5√23πB．4√33πC．2√3πD．8√23π【题型6实际应用问题】【方法点拨】对于实际应用问题，解题的关键是正确

建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正确作出截面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关健是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，利用总体积不变，正确建立等量关系

，也是常用的方法.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二期末）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？(结果精确到0.1)(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，

如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）【变式6-1】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，

使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；(2)若每块钢板的厚度为10mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.【变式6-2】（

2022·高二课时练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积

（精确到1cm3）.【变式6-3】（2022·高一课时练习）如图，𝐴𝐵是一圆柱形树桩的底面直径，𝑃𝐴是圆柱的母线，且𝐴𝐵=𝑃𝐴=2，点𝐶是圆柱底面圆周上的点．(1)求该树桩的侧面积和体积；(2)若𝐴�

�=1，𝐷是𝑃𝐵的中点，线有一只小虫在点𝐶，先在线段𝑃𝐴上钻一个小洞，记为点𝐸，若该小虫要从点𝐶钻过小洞点𝐸到达点𝐷，要使得小虫爬过的路径最短，请你确定小洞点𝐸的位置，并求出路径的最小值．