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专练16导数在研究函数中的应用授课提示：对应学生用书31页[基础强化]一、选择题1．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是()A．1e，eB．0，1eC．－∞，1eD．1e，＋∞答案：B解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′

(x)<0，得0<x<1e，∴f(x)的单调减区间为0，1e.2．[2024·陕西模拟]若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)答案：D解析：因为f(x)＝kx

－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x<1，所以k≥1.故选D.3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单

调递减的一个充分不必要条件是x∈()A．[0，1]B．[3，5]C．[2，3]D．[2，4]答案：C解析：因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图象向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图象，所以f(x－1)在区间[2

，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.故选C.4．已知函数f(x)＝x3＋2x＋sinx，若f(a)＋f(1－2a)>0，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．13，＋

∞D．－∞，13答案：B解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝3x2＋2＋cosx>0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(a)>f(2a－1)，a>2a－1，解得a<1.故选B.5．[2024·昆明摸底诊断测试]已

知函数f(x)＝ex＋e－x，则()A．f(－2)<f(e)<f(5)B．f(e)<f(－2)<f(5)C．f(5)<f(e)<f(－2)D．f(－2)<f(5)<f(e)答案：D解析：因为f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当x

>0时，f′(x)＝ex－1ex>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为2<5<e，所以f(2)<f(5)<f(e)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(5)<f(e)，故选D.6．若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，常数

a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()A．af(a)>bf(b)B．af(b)>bf(a)C．af(a)<bf(b)D．af(b)<bf(a)答案：A解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增．因为a>b，所以g(a)>g

(b)，即af(a)>bf(b)，故选A.7．若f(x)＝lnxx，0<a<b<e，则有()A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>1答案：C解析：∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－ln

xx2，当0<x<e时，f′(x)>0，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵0<a<b<e，∴f(a)<f(b).故选C.8．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则()A．当a>1时，f(x)有三个零点B．当a<0时

，x＝0是f(x)的极大值点C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心答案：AD解析：f(x)＝2x3－3ax2＋1，则f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a).A

选项，当a>1时，f′(x)的零点为x1＝0，x2＝a，则x2>x1.当x<0时，f′(x)>0，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递

减，在(a，＋∞)上单调递增，则x＝0是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，又f(0)＝1>0，f(a)＝2a3－3a3＋1＝1－a3<0，且f(－a)<0，f(2a)>0，所以f(x)有三个零点，A正确；B选

项，当a<0时，易知f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点，B错误；C选项，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3

－3a·(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误；D选项，若点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1)，即2(

1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD.9．(多选)已知函数y＝f(x)在R上可导且

f(0)＝1，其导函数f′(x)满足f′（x）－f（x）x－1>0，对于函数g(x)＝f（x）ex，下列结论正确的是()A．函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数B．x＝1是函数g(x)的极小值点C．函数g

(x)至多有两个零点D．x≤0时，不等式f(x)≤ex恒成立答案：ABC解析：因为f′（x）－f（x）x－1>0，所以当x>1时，f′(x)－f(x)>0；当x<1时，f′(x)－f(x)<0.因为g(x)＝f（x）ex，所以g′(x)＝f′（x）－f（x）ex，则当x>1时，g′(x)>0；当

x<1时，g′(x)<0.所以函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数，在(－∞，1)上为单调递减函数，则x＝1是函数g(x)的极小值点，则选项A，B均正确．当g(1)<0时，因为函数g(x)在(1，＋∞)

上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，所以函数g(x)在区间(1，＋∞)和区间(－∞，1)上分别至多有一个零点，当g(1)>0时，函数g(x)无零点，所以函数g(x)至多有两个零点，所以选项C正确．因为f(0)＝1，所以g(0)＝f（0）e0＝1，又g(x)在区间(－∞，1)上单

调递减，所以当x≤0时，g(x)＝f（x）ex≥g(0)＝1，又ex>0，所以f(x)≥ex，故选项D错误．故选ABC.二、填空题10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝____

____．答案：－12解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1，3).∴－1＋3＝－2b3，－1×3＝c3，得b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.11．[

2024·新课标Ⅰ卷]若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__________．答案：ln2解析：令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0

)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝1x＋1.因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令1x＋1＝2，解得x＝－12，则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的切点坐标为(－12，0)，所以0＝a

－ln2，解得a＝ln2.12．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R)在x＝0处取得极小值，则m＝________，f(x)的极大值是________．答案：04e－2解析：由题意知，f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex，f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，∴

f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex.令f′(x)>0，解得x<－2或x>0，令f′(x)<0，解得－2<x<0，则函数f(x)在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2，0)上单调递减，∴函数f

(x)的极大值为f(－2)＝4e－2.[能力提升]13．[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝aex－lnx在区间()1，2单调递增，则a的最小值为()A．e2B．eC．e－1D．e－2答案：C解析：因为函数f(x)＝

aex－lnx，所以f′(x)＝aex－1x.因为函数f(x)＝aex－lnx在(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－1x≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<1a≤xex在

(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以1a≤e，即a≥1e＝e－1，故选C.14．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷，10]已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(

)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线答案：AC解析：由题意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝33或x＝－33.令f′(x)＞0，得x＜－33或x＞33；令f′(x)＜0，得－

33＜x＜33.所以f(x)在(－∞，－33)和(33，＋∞)上单调递增，在(－33，33)上单调递减，所以f(x)有两个极值点，所以A正确．f(x)极大值＝f(－33)＝－39＋33＋1＞0，f(x)极小值＝f(33)＝39

－33＋1＞0.当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有一个零点，所以B错误．因为f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1＋(－x)3＋x＋1＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称，所以C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1或x＝－1，所以当切线的斜率

为2时，切点为(1，1)或(－1，1)，则切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，所以D错误．故选AC.15．设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．答案：[5－12，1)解析：由题意得当x>0时，f′(x)＝

axlna＋(1＋a)xln(1＋a)＝axlna＋1a＋1xln（1＋a）≥0，设g(x)＝lna＋1a＋1xln(1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0.因为a∈(0，1)，所以ln(1＋a)>0，1a＋1>1，所以g(x)

在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即lna＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－5＋12或a≥5－12，又0<a<1，所以a的取值范围为[5－12，1).16．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]若函数f(x)＝alnx＋bx

＋cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则()A．bc>0B．ab>0C．b2＋8ac>0D．ac<0答案：BCD解析：因为函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2－bx－2cx3，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，

所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则Δ>0x1＋x2>0，x1x2>0即b2＋8ac>0ba>0－2ca>0，所以b2＋8ac>0ab>0ac<0bc<0.故选BCD.