【文档说明】四川省泸县第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1003.488 KB，由小赞的店铺上传

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高2023级高二上期开学考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.已知{|1}Axx=，2{|230}Bxxx=−−，则AB=（）A.{|1xx−或>1xB.{|13}xxC.{|3}xxD.{|1}xx−【答案

】D【解析】【分析】解出{|13}Bxx=−，再利用并集含义即可得到答案.【详解】2{|230}{|13}Bxxxxx=−−=−，则{|1}ABxx=−.故选：D.2.已知命题:pxR，2230xx++，

则命题p的否定是A.xR，2230xx++B.xR，2230xx++C.xR，2230xx++D.xR，2230xx++【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题p的否定.【详解】命题p为特称

命题，其否定为:pxR，2230xx++.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3.一元二次不等式20axbxc++的解集为25xx，则不等式20cxbxa++

的解集为（）A.1125xx−−B.1152xxC.52xx−−D.1125xx−【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式20axbxc++的解集求出a、b、c的关系，代入不等式20cxbxa++化简求解即可．【详解】一元二次

不等式20axbxc++的解集为{|25}xx，所以0a，且2，5是一元二次方程20axbxc++=的两个实数根，所以257ba−=+=，2510ca==，所以7ba=−，10ca=，且0a；所以不等式20cxbxa++化为20710axaxa−+，即210

710xx−+，解得1152x．因此不等式的解集为11{|}52xx．故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系应用问题，是基础题．4.“1a”是“函数221=−+yxax在(,1−

上单调递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据二次函数性质分析可知若函数221=−+yxax在(,1−上单调递减，等价于1a，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.【详解】因为函数221=−+yxax的

图象开口向上，对称轴为xa=，若函数221=−+yxax在(,1−上单调递减，等价于1a，显然()1,+是)1,+的真子集，所以“1a”是“函数221=−+yxax在(,1−上单调递减”的充分不必要条件.故选：A

.5.已知tan100k=，则sin80的值等于A.21kk+B.–21kk+C.21kk+D.–21kk+【答案】B【解析】【分析】由诱导公式，得tan100tan80=−，再由三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】由题意tan100tan(18080)t

an80k==−=−，∴2sin80sin80tan80cos801sin80k===−−，解得2sin801kk=−+，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的应用，

其中解答中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6.设点A的坐标为(),ab，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则A的坐标为（）A.()

cossinsincosabab−+，B.()cossincossinabba+−，C.()sincoscossinabab+−，D.()cossinsincosbaba−+，【答案】B【解析】【

分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得A的坐标．【详解】根据题意，设||OAr=，向量OA与x轴正方向的夹角为，又由点A的坐标为(,)ab，则cosar=，sinbr=，向量

OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则(cos()Ar−，sin())r−．而()coscoscossinsincossinrrrab−=+=+，sin()sincoscossin

cossinrrrba−=−=−，故A的坐标为(cossin,cossin)abba+−，故选：B【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题.7.已知向量(2,1)a=，(3,1)

b=−，则（）A.()aba+⊥B.向量a在向量b上投影向量是102b−C.|2|3ab+=D.与向量a共线的单位向量是255(,)55【答案】A【解析】【分析】求出ab+，计算()aba+，即可判断A；根据投影向量的定义判断B；根据向量模的坐标表示判断C；根据单位向量的定义判断D.

【详解】对于A：因为(2,1)a=，(3,1)b=−，所以()(3,1)(2,1)1,2ab+=−+=−，则()12210aba+=−+=，所以()aba+⊥，故A正确；对于B：因为32115ab=−+=−，()223110b=−+=，所以向量a在向量b上的投影向量是12abbbbb

=−，故B错误；对于C：()2(2,1)2(3,1)4,3ab+=+−=−，则()22|2|435ab+=−+=，故C错误；对于D：22215a=+=，则与向量a共线的单位向量255,55aa=或255,55aa−=−−，故D错误.故选：A

8.三棱锥ABCD−中，ABCV是边长为4的正三角形，23BDDC==，二面角ABCD−−的余弦值为63，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积为（）A.22π3B.1122π3C.11πD.22π【答案】D【解析】【分析】根据ABCV和BCD△的形状利用余弦定理可求得AD⊥平面

BCD，再由正弦定理可得的BCD△的外接圆半径322r=，找出球心位置利用勾股定理可得三棱锥ABCD−的外接球的半径222R=，可得结果.【详解】取BC的中点为E，连接,AEDE，如下图所示：又因为ABCV是边长为4的正三角形，23BDDC==，所以,AEBCDEBC⊥⊥;所

以AED即为二面角ABCD−−的平面角，即3cs6oAED=，由余弦定理可得2222cos4ADAEDEAEDEAED=+−=，可得2AD=；所以222222,ADDCACADBDAB+=+=，可得,ADCDADBD⊥⊥，又CDBDD=I，,CDBD平

面BCD，因此AD⊥平面BCD；易知226sin323DEBCDCD===，设BCD△的外接圆半径为r，则23322sin63BDrBCD===，可得322r=；设BCD△的外接圆圆心为1O，一定在DE上，且1322OD=；则三棱锥ABCD−的外接球的球心一定在圆心1O的

正上方，即1OO⊥平面BCD；因此1OO与AD平行，令三棱锥ABCD−的外接球的半径为R，则()222221111OOODADOOODR+=−+=，解得1221,2OOR==；所以三棱锥ABCD−的外接球的表面积

为2114π4π22π2SR===.故选：D【点睛】方法点睛：求解几何体外接球问题时，要首先根据几何体的特征确定出球心位置，再利用线面垂直以及勾股定理等求出外接球半径即可得出结论.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个

选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下面是关于复数21iz=−（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.2z=B.21izz−=+C.z的共轭复数为1i−+D.z的虚部为1【答案】AD【解析】【分析】由除法运算把复数化为

代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断．【详解】解：由已知()()()()21i21i21i1i1i1i2z++====+−−+，2z=，()221i1i1i2i1izz−=+−+=+−=−，共轭复数为1i−，

z的虚部为1．其中真命题AD．BC为假命题．故选：AD．10.如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，7225cosABC=−，c=2，85,5b=则下列结论正确的有（）A.5sin5A=B.BD=2C.53CDDA=D.△CBD的面积

为45【答案】AC为【解析】【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosABC的值，利用余弦定理求得c的值，再计算sinA，由同角的三角函数关系求出cosA，根据直角三角形边角关系求出AD，BD，CD的值，再计算BCD的面积从而得解．【详解】解：由7cos225ABC=−，得：2

72cos125ABC−=−，又角ABC钝角，解得：3cos5ABC=−，由余弦定理2222coscacacABC=+−，得：264344()55aa=+−−，解得𝑎=2，可知𝛥𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，即AC=，所以()23coscos212s

in5ABCAA=−=−−=−，解得5sin5A=，故A正确，可得225cos15AsinA=−=，在RtABD中，coscAAD=，得5AD=，可得22541BDADAB=−=−=，故B错误，8535555CDbAD=−=−=，可得353555CDDA==，可得53C

DDA=，故C正确，所以BCD的面积为113553sin2?22555BCDSaCDC===，故D错误．故选：AC．【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用1sin2BCDSaCDC=求

三角形的面积．11.定义在R上的奇函数()fx满足()()3fxfx−=−，当0,3x时，()23fxxx=−，则下列结论正确的是（）A.()()6fxfx+=B.6,3x−−时，()236fxxx=−−C.()()()202

120232022fff+=为D.函数()fx有对称轴32x=【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由0,3x时的解析式即可得6,3x−−时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与

对称性即可判断C、D.【详解】因为()()3fxfx−=−，所以()()3fxfx=−+，则()()33fxfx−=+，所以()()6fxfx+=，故A正确；又当0,3x时，()23fxxx=−，则

当6,3x−−时，60,3x+，()()()()226636918fxfxxxxx=+=+−+=++，故B不正确；由()()6fxfx+=，可得函数()fx的周期为6，可得()()()()()()()()()2021133761,2

023133661,2022033760fffffffff=−+=−=+==+=，又函数()fx是R上的奇函数，则()()fxfx=−−，所以()()()00,11fff==−−，即()()()110fff+−=，所以()()()202120232022fff+=，故C正

确；由A选项知，()()3fxfx=−+，又()()fxfx=−−，则()()3fxfx+=−，所以函数()fx有对称轴32x=，故D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直

接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共8个小题，共92分．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12.已知函数251()(1)mfxmmx−−=−−是幂函数且图

象与y轴无交点，则m的值为__．【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的定义得到2m=或1m=−，再判断()fx与y轴是否有交点即可.【详解】因为函数251()(1)mfxmmx−−=−−是幂函数，所以211mm−−=，解得2m=或1m=−.当2m=时，1111)1(fxxx−==，因为0x

，所以()fx与y轴无交点.当1m=−时，4()fxx=，过()0,0，()fx与y轴有交点，舍去.综上：2m=.故答案为：213.计算：2sin20cos10sin10−=________．【答案】3−【解析】【分析】把20转化为3010−，利用差角的正弦公式化简即得解.【

详解】原式()132cos10sin10cos10222sin3010cos103sin10sin10sin10sin10−−−−−===3=−故答案为：3−14.函数()2sin()(0,||)2fxx=+的部分图象如图所示，若12,(,)6

3xx−，且()()12fxfx=，则()12fxx+=________．【答案】3﹔【解析】【分析】由图象和周期公式可得2=，代入点(0)6−，可得3=，进而可得()=2sin(2)3fxx+，结合题意可得12=6xx+，代入函数解析式计算即可.【详解】由题意知，函数()=2

sin()fxx+中，周期2[()]36T=−−=，所以22T==，又函数图象过点(0)6−，，即2()26kkZ−+=，，得23kkZ=+，，又2，所以3=，所以()=2sin(2)3fxx+；由2sin(2)23x+=，得图象的最高

点坐标为(2)12，，因为12()63xx−、，且12()()fxfx=，所以12=2126xx+=，故12)=2sin(2363fxx++=.故答案为：3.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

5.已知π,π2，π0,2，1cos()7−=，2π3+=.（1）求()sin22−的值；（2）求cos的值.【答案】（1）8349（2）714−【解析】【分析】（1）由同角关系以及正弦的二倍角公式即可求解，（2）由二倍角

公式以及和差角公式即可求值.【小问1详解】∵π,π2，π0,2，∴()0,π−，∴243sin()1cos()7−=−−=，∴43183sin(22)2sin()cos(

)27749−=−−==.【小问2详解】∵2π3+=，∴3sin()2+=，1cos()2+=−，∴2cos22cos1cos()()cos()cos()sin()sin()=−=++−=+−−+−1134313272714=−−

=−，所以21cos28=，由于π,π2，所以cos0故7cos14=−.16.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC=+++（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC+的最大值.【答案】

(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sinsinBC+的最大值.详解】(Ⅰ)()()2sin2sin2sinaAbcBcbC=+++，()()2

222abcbcbc=+++,即222abcbc=++.2221cos22bcaAbc+−=−=，120A=.(Ⅱ)sinsinsinsin(60)BCBB+=+−()31cossinsin6022BBB=+=+，060B，∴当6090B+=即30B=

时，sinsinBC+取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定

理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17.如图，在四边形ABCD中，//BCAD，1BC=，3AD=，ABCV为等边三角形，E是CD的中点.设ABa=，ADb=.（1）用a，b表示AC，AE；（2）求BAE的余弦值．【答案】（1）13ACa

b=+，1223AEab=+（2）1313−【解析】【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则及数乘向量运算律求出结果即可；（2）由图形关系和向量的加法法则求出ABAE，再求出AE，然后由向量夹角的计算公式求出结

果即可；【小问1详解】//BCAD，1BC=，3AD=，ABa=，ADb=．【13BCb=，13ACABBCab=+=+，E为CD的中点，112()223AEACADab=+=+．【小问2详解】根据

题意，2π,3ab=，||1a=，||3b=，1313()22ab=−=−，212121231()()23232322ABAEaabaab=+=+=+−=−，22142113||4149342AEabab=++=+−=，13cos13||||ABAEBAE

ABAE==−．18.三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面111ABC，且各棱长均相等，D为11AB的中点．（1）证明：1//BC平面1ACD；（2）证明：平面1ACD⊥平面11ABBA；（3）求直线11BC与平面1ACD所成角的正弦值．【答案】（1）证

明见解析（2）证明见解析（3）55【解析】【分析】（1）连接1AC，交1AC于O，连接OD，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理即可证明；（3）过1B作1BHAD⊥交延长线于H，连接1CH，由题意可得11BCH为直线11

BC与平面1ACD所成角，设三棱柱的棱长为2a，利用锐角三角函数的正弦值即可求解.小问1详解】连接1AC，交1AC于O，连接OD，则O是1AC的中点，1//ODBC，又OD平面1ACD，1BC平面1ACD，1//BC平面1ACD．

【小问2详解】1AA⊥平面111ABC，1CD平面111ABC，11AACD⊥，111ABC△是等边三角形，D是11AB的中点，111CDAB⊥，又1111111,AAABAAAAB=，平面11ABBA，1CD⊥平面11ABBA，又1CD平面1

11ABC，平面1ACD⊥平面11ABBA．【小问3详解】过1B作1BHAD⊥交延长线于H，连接1CH，平面1ACD⊥平面11ABBA，平面1ACD平面11ABBAAD=，1BHAD⊥，1BH平面11ABBA，1BH⊥平面1ACD，11BCH为直线11BC与平面1ACD所成角，设

三棱柱的棱长为2a，则1111sinBHAAHDBDBAD==，【即125BHaaa=，故而1255aBH=．111115sin5BHBCHBC==．19.已知0a且1a，函数2()log1afxx=−．（1）求()fx的定义域D及其零点；（2）讨论并证明函数()fx在定义域D上的

单调性；（3）设2()23gxmxmx=−+，当1a时，若对任意(1,1x−−，存在23,4x，使得12()()fxgx成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）(,1)−，1−（2）答案见解析

（3）)1,−+【解析】【分析】（1）由函数有意义的条件求函数定义域，通过解方程求零点；（2）定义法结合对数函数的单调性证明函数()fx在定义域D上的单调性；（3）问题等价于maxmax()()fxgx，分类讨论求函数最大值，解不等式求实数m的取值范围．【小问

1详解】函数2()log1afxx=−的意义，则201x−，解得1x，所以函数()fx的定义域D为(,1)−；令()0fx=可得211x=−，解得1x=−，故函数()fx的零点为：1−；【小问2详解】设

1x，2x是(,1)−内的任意两个不相等的实数，且12xx，则12121()()log1axfxfxx−−=−，121xx，121xx−−−，12110xx−−，12111xx−−，当01a时，12121()()log01axfxfxx−−=−，即21

()()fxfx，()fx在D上单调递减，当1a时，12121()()log01axfxfxx−−=−，即21()()fxfx，()fx在D上单调递增；【小问3详解】若对任意(1,1x−−，存在23,4x，使得12()()fxgx成立，只需maxmax()()f

xgx，由（2）知当1a时，()fx在(,1−−上单调递增，则max()(1)0fxf=−=，当0m=时，()3gx=，12()()fxgx成立；当0m时，()gx在3,4上单调递增，()max()483gxgm==+，由830m+，可解得38m−，0m；当0m时

，()gx在3,4上单调递减，()max()333gxgm==+，由330m+，可解得1m−，10m−；综上，满足条件的m的范围是)1,−+.