【文档说明】（北师大版2019选择性必修第一册第1~3章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）高二上学期数学期中模拟卷（参考答案）.docx，共(6)页，319.241 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ACCDAACA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDBCDBC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．213．3214．25四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【

解析】（1）解：显然2m，可得112km=−−，2km=−，-----------------------------------------2分由12ll⊥，可得121kk=−，即()112mm−−=−−，解

得1m=，----------------------------3分所以直线1l：0xy−=，直线2l：20xy+−=，------------------------------------------------------4分

联立方程组020xyxy−=+−=，解得11xy==，所以点()1,1C．------------------------------------------6分（2）解：由直线1l：0xy−=，直线2l：20xy+−=

，可得()0,0A，()2,0B，------------8分所以△ABC的外接圆是以AB为直径的圆，-----------------------------------------------------------10分可得圆心()1,0，半径112rAB==，----

-----------------------------------------------------------------12分所以△ABC的外接圆方程是()2211xy−+=．-------------------------------------------

-----------13分16．（15分）【解析】（1）抛物线28yx=的焦点为(2,0)，----------------------------------------------------------------1分由题意得2222

24212abab+==+，解得28a=，24b=，--------------------------------------------------------------4分所以椭圆C的方程

为22184xy+=.-------------------------------------------------------------------------------5分（2）直线l的斜率存在，设斜率为k，直线l的方程为1(2)ykx−

=+，即21ykxk=++，-----------------------------------------------------7分联立2221184ykxkxy=+++=，消去y得：222(21)4

(12)8860kxkkxkk+++++−=，-------------------------------------------------9分设，因为1222+=−xx，即124xx+=−，-----------------------------------

---------------------------------10分所以24(12)412kkk+−=−+，解得1k=，此时240=满足题意-------------------------------------------------------

---------------------------13分所以所求直线l的方程为30xy−+=.------------------------------------------------------------------15分17．（15分）【解

析】（1）因为111ABCABC−为直三棱柱，所以11//ACAC，又D，E，分别为AB，BC的中点，所以//DEAC，-----------------------------------------------2分所以

11//DEAC，----------------------------------------------------------------------------------3分又11AC平面1BDE，DE平面1BDE，-----------------------

---------------------------------------4分所以11//AC平面1BDE.----------------------------------------------------------------

----------------------5分（2）因为111ABCABC−为直三棱柱，且ABAC⊥，以A为坐标原点，分别以1,,ABACAA所在直线为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，-----------------------------------------7分

设()10AAaa=，且1AB=，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22aBaDAaF，则11,0,2BDa=−−，11,0,2aAF=−，----------

--------------------------------------------------------8分由11BDAF⊥可得110BDAF=，即21022a−+=，且0a，解得1a=，------------------------9分设

()0ACbb=，则()10,,1Cb，即()11111,0,,0,,02AFACb=−=，-------------------------------10分设平面11AFC的法向量为(),,nxyz=，则1111020nAFxznACby=−===，解得2

0zxy==，取1x=，则2z=，所以平面11AFC的一个法向量为()1,0,2n=，---------------------------------------------------------------

-12分又1,,022bE，即11,,122bAE=−，所以点E到平面11AFC的距离112352105AEndn−===.---------------------------------------------

---15分18．（17分）【解析】（1）由22(1)1yx+−=可知圆心坐标为(0,1)，因为抛物线的焦点与圆心重合，---------------------------------------------------------------2分所以11,22pp==，----------

--------------------------------------------------------------------3分所以抛物线的方程24xy=.------------------------------------------

-----------------------------5分（2）()2222(0)11xpypxy=+−=，消去x并整理方程可得()2220ypy+−=，------------------6分解得120,22yyp==-，---------------------

------------------------------------------------------7分抛物线和圆恒有一个公共点()0,0，且0y恒成立，所以令2p-2≧0，解得1p.-------

---------------------------------------------------------------9分（3）设，直线AB的方程为1ykx=+，原点O到直线AB的距离为d，由214ykxxy=+=消去y可得2440xkx−−=，其中216160k=+

，()21212124,116xxxxyy=−==，---------------------------------------------------------------------11分所以11,22AOCBODSACdSBDd==，则4AOCBODACSSB

D==，①--------------------------------------------------------------------------13分因为()()()1ACBDAFCFBFDFAFBFAFBF=−−=−++(

)()()121212111111yyyyyy=++−++++==，②-------------------------------------------15分由①②解得12,,2ACBD==所以192222ABACBDCD=++=++=

----------------------------------------------------17分19．（17分）【解析】（1）直线l是两个平面210xy−−=与3210yz−+=的交线，所以直线l上

的点满足2103210xyyz−−=−+=，-------------------------------------------------------------------2分不妨设1y=，则1,2xz==，不

妨设3y=，则2,5xz==，直线l的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3−−−=；------------------------------------------4分（2）（ⅰ）记集合Q，PQ中所有点构成的几何体的体积分别为1V，2V，考虑集合Q的子集{(,,)|2,0,0

,0}Qxyzxyzxyz=++，即为三个坐标平面与2xyz++=转成的四面体，--------------------------------------------------5分四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0

)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323QV==，-------------------------------------------------------6分由对称性知1328

3QVV==，考虑到P的子集P构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}Pxyzxyz=，{(,,)|2,0,0,0}Qxyzxyzxyz=++，----

----------------------------------------------------------8分PQ为截去三棱锥4123QQQQ−所剩下的部分，P的体积1111PV==，三棱锥4123QQQQ−的体积

为41231111(11)326QQQQV−==，-----------------------------------------9分PQ的体积为412315166PQPQQQQVVV−=−

=−=，由对称性知22083PQVV==．--------------------------------------------------------------------10分（ⅱ）①记集合T中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体AB

CDLIJM−即为集合P所构成的区域，EABCD−构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2，1412233EABCDV−==，----------------------------------

--------------------------------------------12分W的体积34686163PEABCDVVV−=+=+=．----------------------------------------------------13分②由

题意面EBC的方程为20xz+−=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n=，面ECD方程为20yz+−=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n=，----------------------15分1212121cos,2||||nnn

nnn==，由图知两个相邻面所成的角为钝角，所成二面角的余弦值为：12−．------------------------------------------------------------------17分