【文档说明】（北师大版2019选择性必修第一册第1~3章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）高二上学期数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(17)页，1.239 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）。5

．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线的方程为22142xy−=，则该双曲线的渐近线方程为（）A．22yx=B．2yx=C．33

yx=D．3yx=【答案】A【解析】根据题意2221442xya−==，2222bbyxyxa===.故选A.2．已知()()123,,2,3,3,23nxn==−分别是平面,的法向量，若⊥，

则x=（）A．7−B．1−C．7D．1【答案】C【解析】因为()()123,,2,3,3,23nxn==−，又⊥，所以12nn⊥，所以()123332230nnx=+−+=，解得7x=，故选

C.3．在同一平面直角坐标系中，直线()10mxym−+=R与圆222xy+=的位置不可能为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆222xy+=的圆心坐标为()0,0，半径为2，直线()10mxym−+=R过圆内定点()0,1，斜

率可正可负可为0，ABD选项都有可能，C选项不可能.故选C.4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+�

�2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的面积为6π，两个焦点分别为1F，2F，直线ykx=与椭圆C交于A，B两点，若四边形12AFBF的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）A．6B．4C．3D．2【答案】D

【解析】依题意，6ab=，由椭圆对称性，得线段12,ABFF互相平分于原点，则四边形12AFBF为平行四边形，由椭圆的定义得1242(||||)12aAFAF=+=，解得3a=，所以椭圆C的短半轴长2b=.故选D.5．在长方体1111ABCDABCD−

中，已知2ABBC==，13AA=，E为11BC的中点，则直线CE与1AD所成角的余弦值为（）A．7130130B．9510C．510D．255【答案】A【解析】如图，D为坐标原点，直线1,,DADCDD分别为,,

xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,3,1,2,3,2,0,0,0,2,0DEAC，∴1(2,0,3),(1,0,3)CADE=−=，设直线CE与1AD所成角为，则112097130cos1301310CEADCEA

D−++===，即异面直线CE与1AD所成角的余弦值为7130130.故选A.6．已知实数x，y满足1355yx=-，且23x−，则21yx−+的取值范围（）A．)1,3,2−−+B．

1,32−C．(),13,−−+D．1,3−【答案】A【解析】由于点(),xy满足关系式1355yx=-，且23x−，可知(),Mxy在线段AB上移动，且(2,1),(3,0)AB−−设()1,2

Q−，则()()21312QAk−−==−−−，201132QBk−==−−−因为点(),Mxy在线段AB上，所以21yx−+的取值范围是)1,3,2−−+，故选A.7．已知抛物线()

2:20Eypxp=的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足()01OPOF=，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记PAB，PCD△的面积分别为1S，2S，则21SS=

（）A．B．2C．2D．22【答案】C【解析】根据已知条件作出图形，如图所示由题意知,02pF，又()01OPOF=，所以,02pP.显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为2pxty=

+，𝐴(𝑥1,𝑦1)，()33,Bxy，由222ypxpxty==+，得2220yptyp−−=，显然0，所以213yyp=−.显然直线BD的斜率不为0，设()22,Dxy，直线BD

的方程为2λpxmy=+，由222ypxpxmy==+，得2220ypmyλp−−=，显然0，所以223yyp=−，又213yyp=−，所以21yy=，设()44,Cxy，同理可得43yy=，232241131311sin21sin2PCPD

CPDPDPCySyyySPBPAyyyyPAPBAPB=====.故选C.8．已知圆221:(2)(2)14Cxy−+−=与圆222:(1)(2)14Cxy+++=，过动点(),Mmn分别作圆1C､圆2C的切线

,MAMB（,AB分别为切点），若MAMB=，则M到圆22(12)(5)4xy+++=距离的最小值是（）A．192B．154C．1922−D．1524−【答案】A【解析】由题()112,2,14Cr=，()221,2,14Cr−−=，因为MA

MB=，则12222212MCrMCr−=−，即()()()()222222141214mnmn−+−−=+++−，化简得6830mn+−=，即动点(),Mmn在直线6830xy+−=上，圆22(12)(5)4xy+++=的圆心为()12,5Q

−−，半径为2R=，所以圆心()12,5Q−−到直线6830xy+−=的距离为()()2261285323268−+−−=+，所以M到圆22(12)(5)4xy+++=距离的最小值是2319222−=.故选A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．CC1⊥BDB．1136AABD=C．11BCAA与夹角是

60°D．直线AC与直线11AC的距离是26【答案】ABD【解析】如图，设1,,ABaADbAAc===，则||||||6,66cos6018,abcabbcca=======对于A，因1,CCcBDba==−

，则1()0CCBDcbacbca=−=−=，故A正确；对于B，因1AAc=，1BDbac=−+，则211()||18183636AABDcbaccbcac=−+=−+=−+=，故B正确；对于C，11,BC

bcAAc=−=，则211()||183618BCAAbccbcc=−=−=−=−，且22211||()||||2366,||6,BCbcbcbcAA=−=+−===设11BCAA与夹角为，则1111181cos66

2||||BCAABCAA==−=−，因[0,π]，则2π3=，即C错误；对于D,在平行六面体1111ABCDABCD−中，易得111111////,AABBCCAABBCC==,则得1

1ACCA,故11//ACAC,故点1A到直线AC的距离d即直线AC与直线11AC的距离.因,ACab=+1()36AAACcab=+=，且2221||6,||()||2||63AAACabaabb==+=++=，则222211

11(||||)()(363)3626||63dAAACAAACAC=−=−=，故D正确.故选ABD.10．已知双曲线C：2213yx−=的左、右焦点分别为1F、2F，过点2F且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（）A．双曲线

C的虚轴长为3B．π2π33C．1ABF的周长的最小值为16D．当tan15=−时，12AFF△的内切圆面积为3π5【答案】BCD【解析】对于A:因为3b=，所以虚轴长为223b=，A错误；对于B:因为1,3ab==双曲线渐近线方程为3yx=，倾斜角分别为π2π33，，过点2F且倾

斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出π2π,,33B正确；对于C:1ABF的周长为11ABAFBF++,结合双曲线的定义1122224242ABAFBFABaAFaBFaABAB++=++++=+=+，设双曲线2213yx−=的右

焦点为()22,0F，()()1122,,,AxyBxy，当直线𝐴𝐵斜率不存在时，直线𝐴𝐵的方程为2x=，则AB226ba==当直线𝐴𝐵斜率存在时，设直线𝐴𝐵的方程为()2,ykx=−联立()22213ykxyx=−−=，消去y，得()22223

4430kxkxk−+−−=，()()22422121222443,,1643430,33kkxxxxkkkkk++=−=−=+−+−−又22224430,033kkkk+−−−−，故3k−或

3k,而()()22222222226144381423333kkkkABkkkkk++=+−+==−−−−−288223116k=−−=−，所以当直线𝐴𝐵与x轴垂

直时，AB的长最小，即最小值为6，1ABF的周长最小值为16，故C正确；对于D:当tan15=−时,设直线𝐴𝐵的方程为()152,yx=−−联立()2215213yxyx=−−−=，消去y，得21

260036xx−+−=，()()24202123270xxxx−+=−−=1237,22xx==，当tan15=−时,A点坐标11315,22xy==，1212115||1522AFFSFF==，()()12315,,2,0,2

,022AFF−12AFF△的周长22221222315315224424102222AFAFFF++=+++−++=++=，设12AFF△的内切

圆半径为r，则1211052AFFSrr==，解得155r=，因此12AFF△的内切圆面积为153ππ255=，D正确.故选BCD.11．已知直线:0−+=lkxyk，圆()2200:650,,C

xyxPxy+−+=为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）A．2200xy+的最大值为5B．00yx的最大值为255C．直线l与圆C相切时，33k=D．圆心C到直线l的距离最大为4【答案】BC【解析】圆C的方程可化为()22232xy−+

=，所以圆C的圆心为()3,0C，半径2r=.3OC=，𝑃(𝑥0,𝑦0)是圆上的点，所以2200xy+的最大值为()23225+=，A选项错误.如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，00yx最大，此时3,2,5OCPCOP===，且225tan55OPkPOC===，B选项正确

.直线:0−+=lkxyk，即()1ykx=+，过定点()1,0−，若直线l与圆C相切，则圆心()3,0C到直线l的距离为2，即2321kkk+=+，解得33k=，所以C选项正确.圆心()3,0C到直线l的距离223

411kkkdkk+==++，当0k=时，0d=，当0k时，22444111kdkk==++，所以D选项错误.故选BC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设1

2,FF为双曲线22142xy−=的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且1290FPF=，则12FPF的面积为.【答案】2【解析】解法一：如图，由22142xy−=可知，2,2,6,abc===设12,()PFxPFyxy==，由定义24,xya

−==2221290,(2)24FPFxyc=+==，2222()8,4,xyxyxyxy=+−−==12FPF的面积为122xy=.解法二：如图，12FPF的面积为122222tan2tan45FPFbbSb====.故答案为：2.13．《九章算术》中的“

商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABCABC−中，M，N分别是111,ACBB的中点，122ABAAAC==，动点G在线段MN上运动，若=AG1x

AAyABzAC++，则xyz++=.【答案】32【解析】如图，取11AB的中点E，连接AE交1AB于点F．因为M，N分别是11,ACBB的中点，所以111,BCBCENABEM∥∥∥．因为1,BCAB平面1ABC，所以,EMEN∥

平面1ABC．因为,,EMENEEMEN=平面EMN，所以平面EMN∥平面1ABC，点G在平面EMN内，所以由等和面定理可知，||||AExyzkAF++===1131122AFEFAEAFAB+=+=+=．故答案为：32.14．已知线段MN是圆22:(1)8Cxy−+=

的一条动弦，且23MN=，若点P为直线280xy++=上的任意一点，则PMPN+的最小值为.【答案】25【解析】如图，P为直线280xy++=上的任意一点，过圆心C作CDMN⊥，连接PD，由23MN=，可得2252MNCDCN=−=，由()22PMPNP

DPCCD+=−，当,,CPD共线时取等号，又D是MN的中点，所以CPMN⊥，所以min2208||5521PDPCCD++=−=−=+.则此时225PMPNPD+==，PMPN+的最小值为25.故答案为：25.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线1l：()20xmy+−=，2l：20mxy+−=，且满足12ll⊥，垂足为C.（1）求m的值及点C的坐标.（2）设直线1l与x轴交于点A，直线2l与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程.【解析】（1）解：显然2m，可得112km=−−

，2km=−，-----------------------------------------2分由12ll⊥，可得121kk=−，即()112mm−−=−−，解得1m=，--------------------

--------3分所以直线1l：0xy−=，直线2l：20xy+−=，------------------------------------------------------4分联立方程组020xyxy−=+−=，解得11x

y==，所以点()1,1C．------------------------------------------6分（2）解：由直线1l：0xy−=，直线2l：20xy+−=，可得()0,0A，()2,0B，------------8分所以△ABC的外接圆是

以AB为直径的圆，-----------------------------------------------------------10分可得圆心()1,0，半径112rAB==，------------

---------------------------------------------------------12分所以△ABC的外接圆方程是()2211xy−+=．------------------------

------------------------------13分16．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,2)，且其一个焦点与抛物线28yx=的焦点重合.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于A，B两点，若点(2,1)M−是线段AB的中点

，求直线AB的方程.【解析】（1）抛物线28yx=的焦点为(2,0)，----------------------------------------------------------------1分由题意得222224212abab+==+，解得28a=，2

4b=，--------------------------------------------------------------4分所以椭圆C的方程为22184xy+=.-----------------------------------------------------------

--------------------5分（2）直线l的斜率存在，设斜率为k，直线l的方程为1(2)ykx−=+，即21ykxk=++，--------------------------------------------------

---7分联立2221184ykxkxy=+++=，消去y得：222(21)4(12)8860kxkkxkk+++++−=，-------------------------------------------------9分设，因为1222+=−xx，

即124xx+=−，--------------------------------------------------------------------10分所以24(12)412kkk+−=−+，解得1k=，此时240=满足

题意----------------------------------------------------------------------------------13分所以所求直线l的方程为30xy−+=.----------------------------------------

--------------------------15分17．（15分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，D，E，F分别为AB，BC，1BB的中点．（1）证明：11//AC平面1BDE；（2）若1AB=，ABAC⊥，11BDAF⊥，求点E到平面11AFC的距离．【解析

】（1）因为111ABCABC−为直三棱柱，所以11//ACAC，又D，E，分别为AB，BC的中点，所以//DEAC，-----------------------------------------------2分所以11//DEA

C，----------------------------------------------------------------------------------3分又11AC平面1BDE，DE平面1BDE，-------------

-------------------------------------------------4分所以11//AC平面1BDE.-------------------------------------------------------------------------

-------------5分（2）因为111ABCABC−为直三棱柱，且ABAC⊥，以A为坐标原点，分别以1,,ABACAA所在直线为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，-----------

------------------------------7分设()10AAaa=，且1AB=，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22aBaDAaF，则11,

0,2BDa=−−，11,0,2aAF=−，------------------------------------------------------------------8分由11

BDAF⊥可得110BDAF=，即21022a−+=，且0a，解得1a=，------------------------9分设()0ACbb=，则()10,,1Cb，即()11111,0,,0,,02

AFACb=−=，-------------------------------10分设平面11AFC的法向量为(),,nxyz=，则1111020nAFxznACby=−===，解得20zxy==，取1x=，则2z=，所以平面11AFC的一个法向量为()1,0,

2n=，----------------------------------------------------------------12分又1,,022bE，即11,,122bAE=−，所以点E到平面11AFC的距离112352105AEndn−===.--

----------------------------------------------15分18．（17分）已知抛物线22(0)xpyp=的焦点为F，过圆22(1)1yx+−=的圆心的直线交抛物线与圆分别为ACDB､､､（从左到右）.（1）若抛物线的焦点与圆心

重合，求抛物线的方程；（2）若抛物线和圆只有一个公共点，求p的取值范围；（3）在（1）的条件下，,AOCBOC△△的面积满足：4AOCBODSS=△△，求弦AB的长.【解析】（1）由22(1)1yx+−=可知圆心坐标为(0,1)，因为

抛物线的焦点与圆心重合，---------------------------------------------------------------2分所以11,22pp==，------------------------------

------------------------------------------------3分所以抛物线的方程24xy=.--------------------------------------------

---------------------------5分（2）()2222(0)11xpypxy=+−=，消去x并整理方程可得()2220ypy+−=，------------------6分解得120

,22yyp==-，---------------------------------------------------------------------------7分抛物线和圆恒有一个公共点()0,0，且0y恒成立，所以令2p-2≧0，解得1p.

----------------------------------------------------------------------9分（3）设，直线AB的方程为1ykx=+，原点O到直线AB的距离为d，由214y

kxxy=+=消去y可得2440xkx−−=，其中216160k=+，()21212124,116xxxxyy=−==，--------------------------------------------------------------------

-11分所以11,22AOCBODSACdSBDd==，则4AOCBODACSSBD==，①--------------------------------------------------------------------------1

3分因为()()()1ACBDAFCFBFDFAFBFAFBF=−−=−++()()()121212111111yyyyyy=++−++++==，②----------------------------------

---------15分由①②解得12,,2ACBD==所以192222ABACBDCD=++=++=----------------------------------------------------17分19．（1

7分）在空间直角坐标系Oxyz−中，已知向量(,,)uabc=，点0000(,,)Pxyz．若平面以u为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为000()()()0axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0axbyc

zd+++=．（1）若平面1：210xy−−=，平面1：3210yz−+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}Pxyzxyz=，{(,,)|||||||2}Qxyzxyz=++，{(,,)||

|||2,||||2,||||2}Txyzxyyzzx=+++．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为1V，PQ中所有点构成的几何体的体积为2V，集合T中所有点构成的几何体为W．（ⅰ）求1V和2V的值；（ⅱ）求几何体W的体积3V和相邻两个面（有公

共棱）所成二面角的余弦值．【解析】（1）直线l是两个平面210xy−−=与3210yz−+=的交线，所以直线l上的点满足2103210xyyz−−=−+=，---------------------------------------

----------------------------2分不妨设1y=，则1,2xz==，不妨设3y=，则2,5xz==，直线l的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3−−−=；------------------------------------------4

分（2）（ⅰ）记集合Q，PQ中所有点构成的几何体的体积分别为1V，2V，考虑集合Q的子集{(,,)|2,0,0,0}Qxyzxyzxyz=++，即为三个坐标平面与2xyz++=转成的四面体，----------------------------------------------

----5分四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323QV==，--------------------------

-----------------------------6分由对称性知13283QVV==，考虑到P的子集P构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}Pxyzxyz=，{(,,)|2,0,0,0}

Qxyzxyzxyz=++，--------------------------------------------------------------8分PQ为截去三棱锥4123QQQQ−所剩下的部分，P的体积1111PV==，

三棱锥4123QQQQ−的体积为41231111(11)326QQQQV−==，-----------------------------------------9分PQ的体积为412315166PQPQQQQV

VV−=−=−=，由对称性知22083PQVV==．--------------------------------------------------------------------10分（ⅱ）①记集合T中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCDLIJM−即为

集合P所构成的区域，EABCD−构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2，1412233EABCDV−==，-----------------------------------------------------

-------------------------12分W的体积34686163PEABCDVVV−=+=+=．----------------------------------------------------13分②由题意面EBC的方程为20xz+−=，由题干

定义知其法向量为1(1,0,1)n=，面ECD方程为20yz+−=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n=，----------------------15分1212121cos,2||||nnnnnn==，由图知两个相邻面所成的角为钝角，所成二面角的余弦值

为：12−．------------------------------------------------------------------17分