【文档说明】辽宁省朝阳市2021届高三下学期3月普通高等学校招生全国统一模拟（一模） 数学含答案.doc，共(11)页，1.002 MB，由小赞的店铺上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(一)数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|x·y

＝1}，则A∩B＝A.{(－1，－1)，(1，1)}B.{(1，1)}C.{(－1，－1)}D.2.已知向量a＝(x，1)，b＝(－1，1)，若a＋b＝(0，2)，则A.a//bB.a⊥bC.a－b＝(－2，0)D.|a－b|＝23.(1＋x)3·(1＋1x)3的

展开式中的常数项为A.12B.15C.20D.354.两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，若m⊥α，n⊥β，则m⊥n是α⊥β的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

要条件5.若a＝33log2，b＝ln12，c＝0.6－0.2，则a，b，c的大小关系为A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b6.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：甲：点

F坐标为(1，0)；乙：抛物线C的准线方程为x＝－2；丙：线段MN长为4；丁：直线y＝x＋1与抛物线C相切如果只有一个命题是假命题，则该命题是A.甲B.乙C.丙D.丁7.设P为直线x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：(

x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC的面积的最小值为A.12B.2C.22D.18.过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为A.4B.1C.0D.无数多个二、多

项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下面是关于复数＝21i−(i为虚数单位)的命题，其中真命题为A.|z|＝2B.z－z2＝1＋iC.z的共轭

复数为－1＋iD.z的虚部为110.关于变量x，y的n个样本点(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)及其线性回归方程：ybxa=+，下列说法正确的有A.若相关系数r越小，则表示x，y的线性相关程度越弱B.若线性回归方程中的b>0，则表示

变量x，y正相关C.若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好D.若11niixxn==，11niiyyn==，则点(x，y)一定在回归直线ybxa=+上11.已知函数f(x)＝2sin(x－6)c

os(6－x)，则A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的图象关于点(3，0)中心对称C.x＝－12是函数f(x)图象的一条对称轴D.将函数g(x)＝cos2x－sin2x的图象向右平移512个单位后得

到函数f(x)的图象12.关于函数f(x)＝2xlnxx+，下列说法正确的是A.函数f(x)的极小值为1＋ln2B.函数y＝f(x)－x2有且只有1个零点C.存在负实数a，使得f(x)＋ax2－4ax＋4a－1>0恒成立D.对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x

2)，则x1＋x2>4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝。14.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一。如图是一个陶艺青花瓷罐，其底座以上部分的轴截面曲线可以看成是椭圆的一部分。若

该青花瓷罐的最大截面圆的直径为20cm，罐口圆的直径为16cm，且罐口圆的圆心与最大截面圆的圆心距离为3cm，则该椭圆的离心率为。15.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和乙所示。为了了解该地

区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取3%的学生进行调查，则样本容量为；抽取的高中生中近视的人数为。16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an>0，8Sn2＝an＋1(2Sn＋an＋1)，则1010

Sa＝。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)在①an＝an－1＋2(n≥2)，②an＝4an－1(n≥2)，③Sn＝Sn－1＋an－1－2n(n≥2)，这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由。设数列{an}的前n项和为Sn，首项a＝11，，数列{bn}是等比数列，数列b1＝12，b1b2＝b3是否存在k，使得对任意的n∈N＋，恒有anbn≤akbk？注：如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答给分。18.(12分)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，3a－4sinBcosC－4sinCcosB＝0，且c＝2。(1)求C的大小；(2)求a＋b的最大值。19.(12分)选手甲分别与乙、丙两选手进行象

棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为12。(1)若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？(2)若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制

与选手实力对比赛结果的影响？20.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，CA＝CB＝CP＝22AB，M，N分别是PA，PB的中点，AN与BM交于点E，F是PC上的一个点，记PFPC=(0<λ<1)。(1)若EF//平面ABC，求实数λ

的值；(2)当λ＝23时，求二面角A－EF－B的余弦值。21.(12分)已知双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为245b。(1)求双曲

线C的方程；(2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M、N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出该定值。22.(12分)已知函数f(x)＝ex－a

sinx－x，曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y－1＝0。(1)求实数a的值，并证明：对∀x∈R，f(x)>0恒成立。(2)设函数h(x)＝f(x)＋x－1，试判断函数h(x)在(－π，0)上零

点的个数，并说明理由。数学参考答案第I卷（选择题）一、单项选择题1．A2．B3．C4．C5．B6．B7．D8．A二、多项选择题9．AD10．BD11．ACD12．ABD12.【解析】对于A选项，函数的的定义域

为()0,+，函数的导数()22212'xfxxxx−=−+=，∴()0,2x时，()'0fx，函数()fx单调递减，()2,x+时，()'0fx，函数()fx单调递增，∴()(2)1ln2fxf==+极小值，故A

正确；对于B选项，()222lnyfxxxxx=−=+−，∴3222122()20(0)xxfxxxxxx−+=−+−=−，∴函数在()0,+上单调递减，又∵()112ln1110f−=+−=，()221ln240f−=+−，∴函数()2yfxx=−有且

只有1个零点，故B正确；对于C选项，结合A选项可知，不存在负实数a，使得()2(2)10fxax+−−恒成立，故C错误；对于D选项，设12xx，()()12fxfx=结合A选项可知122,02xx，可证124x

x+，D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题13.【答案】11()2x−（答案不唯一）14.【答案】3215.【答案】300；3016.【答案】3216【解析】由已知11a=，0na，211(82)nnnnSaSa++=+，可得22218nnnSS

S+=−，0nS，所以，13nnSS+=，11S=，因此101032aS=.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）解：数列nb是等比数列，数列11

2b=，123bbb=，所以232bb=，故数列nb是公比是12等比数列，因此12nnb=.…………………………………………2分方案一：选条件①.数列na是公差是2，首项为1的等差数列，因此21nan=−.….……………

…………4分则1=(2-1)()2nnnabn，由1111kkkkkkkkabababab++−−解得3522k，kN+.………………………8分因此存在=2k，使得对任意的nN+，恒有nnkkabab成立.………………………1

0分方案二：选条件②数列na是公比是4，首项为1的等比数列，因此14nna−=…..….………………………4分则-11=4()2nnnnab，所以-2=2nnnab由11=21nnnnabab++可知，数列nnab是公比是2，首项为12的递增等比数列，…

.……………….……………………8分因此不存在k，使得对任意的nN+，恒有nnkkabab成立.….……………………….10分方案三：选条件③112(2)nnnSSann−−=+−，所以12(2)nnaann−−=−

，…..….………………………4分所以23nann=−−，即21=(3)()2nnnabnn−−，111=2ab，当2n时，0nnab，…..….……………………….…………………………….8分因此存在=1

k，使得对任意的nN+，恒有nnkkabab成立.…….……………………10分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.18.（本小题满分12分）解：（1）由34sincos4sinCcosB0aBC−−

=得34sin0aA−=.…………2分由正弦定理得4=sinsin3caCA=，因为2c=，所以3sin=2C.…………4分又因为△ABC是锐角三角形，所以=3C．………………………6分（2）解法一：因为2c=，=

3C，由余弦定理得，222cos43abab+−=，即224abab+−=.…………………………8分所以22()4343()2ababab++=++，即2()16ab+．所以4ab+，当且仅当==2ab时，等号成立因此ab+的最大值是4．……………

……………………………………12分解法二：因为2c=，2=3ABC+=−，由正弦定理得，4=sinsin3abAB=.……………………………………………………8分所以42ππ[sinsin()]4sin()

4363abAAA+=+−=+，当且仅当π3A=时，等号成立，因此ab+的最大值是4．…………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）采用3局2胜制，甲获胜有两种可能的比分2：0或2：1，因为每局比赛的结果是独立的，所以甲、乙比赛，甲获

胜的概率为1212333281()0.6485555125pC=+==..4分甲、丙比赛，甲获胜的概率为12221111()0.52222pC=+=6分（2）采用5局3胜制，甲获胜有3种可能的比分3：0，3：1或3

：2，因为每局比赛的结果是独立的，所以甲、乙比赛，甲获胜的概率为323232333433232379()()+()()()0.6825655555525pCC=+==甲、丙比赛，甲获胜的概率为32323243411111()()()()0.52222

2pCC=++=..10分因为13pp，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利；因为24pp=，所以甲、丙比赛，无论采用5局3胜制还是采用3局2胜制，甲获胜结果是一样的，这说明比赛局数越多对实力较强者越有利。..

..12分20.（本小题满分12分）解：（1）,MN分别是,PAPB的中点，AN与BM交于点E，则点E是PAB△的重心，连接PE并延长交AB于点D，所以23PEPD=，..2分连接CD，则直线CD是平面PCD与平面ABC的交线，因为//EF平面ABC，所以//EFCD，所以在PCD

△中，2=3PFPEPCPD=，由已知(01)PFPC=，所以23=.4分（2）不妨设62AB=，则6CACBCP===，所以，在ABC△中，222CACBAB+=，所以ACCB⊥，由题意在三棱

锥PABC-中，PC⊥底面ABC，所以PCAC⊥，PCCB⊥．以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，.6分则(6,0,0)A，(0,6,0)B，(0,0,0)C，(3,3,0)D，(0,0,6)P，当23=时，由（1）可知，在PCD△中，2=3PFPEPCPD=，//EF

CD，所以2(2,2,0)3FECD==，211(4,2,2)333AEANABAP==+=−211(2,4,2)333BEBMBABP==+=−，8分设平面AEF的法向量为1111(,,)nxyz=，则1100nFEnAE==，即111112+2=0422

=0xyxyz−++，取1(1,1,3)n=−设平面BEF的法向量为2222(,,)nxyz=，则2200nFEnBE==，即222222+2=0242=0xyxyz−+，取2(1,1,3)n=−−10分设二面角AEF

B−−的大小为，由题意可知，为钝角，所以1212127cos|cos,|||11||||nnnnnn=−=−=−..12分21.（本小题满分12分）解：（1）设双曲线C的焦距为()20cc，则2=25c不妨设双曲线C的两条渐近线方程为1:0lbxay-

=，20lbxay：+=，则由题意得200002222||||45bxaybxaybabab-+?++，即222220022||45bxaybab-=+又因为22222200=bxayab-，所以222

2245abbab=+，即224ab=由222222254ccabab==+=，可得2241ab==，所以双曲线C的方程为2214xy−=；..4分（2）由（1）可得双曲线C的两条渐近线方程为1:20lxy-=，220lxy：+=，由于直线l与双曲线C右

支相切，切点为()00,Pxy当02x=时，则直线l的斜率不存在，此时l分别交两条渐近线1l，2l于(2,1)M、(2,1)N−，MON△面积为2.6分当02x时，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为(0)ykxmkm

=+，则2214ykxmxy=+−=消y得()222418440kxkmxm−+++=，由题意可知2410k−由()()222264441440kmkm=−−+=，可得2241km=+..8分设l与x轴交于一点D，mODk=−，1||22OMNMODNODMNM

NmSSSODyykxxk−=+=−=−△△△，由20xyykxm−==+，解得2,1212mmMkk−−由20xyykxm+==+，解得2,2121mmNkk−++，.10分因为2

241km=+，所以22224142212122142MONmmmmmmmSkkkkmkkkkk−−=+==−−=+−△.综上，MON△面积为定值，该定值为2..12分22.（本小题满分12分）解：（1）()cos1xf

xeax=−−，则(0)11faa=−−=−，已知函数()fx在点(0,(0))f处的切线方程为10xy+−=，所以1a=3分下面证明对,()0xfxR恒成立.当0,(0)10xf==，当0x时，可证明1xex+（证明略），因此，欲证()0fx，只需证明1sin

0xxx+−−，即证明1sin0x−.因为1sin0x−成立，所以对,()0xfxR恒成立..6分（2）由题意可知1a=，()()sin1,,0xhxexx=−−−，()cosxhxex=−当',,()0,()2xhxhx−−

时单调递增，0)2(,01)(2=−−=−−−eheh故)(xh在−−2,x上存在唯一零点.当−0,2x时，设xexhxmxcos)()('−==)(,

sin)(''xmxexmx+=在−0,2上单调递增又)22,24,4(022)4(441434'=−=−−−eeeeem,01)0('=m故存在唯一−0,4

0x，使得,0)(0'=xm即0sin00=+xex当'0,()0,()2xxmxmx−时单调递减当()00xx，时，()0mx，()mx单调递增.........10分又0)0(,0)cos(sincos)(,0)2(0

00020=+−=−==−−mxxxexmemx故存在唯一的−0,21x，使11()0,,,()0,()2mxxxmxhx=−且时单调递增()10,()0,()xxmxhx，时单调递减而,0)0(,0)2(2==−−heh

故)(xh在−0,2上没有零点综上，)(xh在()0,−上只有一个零点............12分