【文档说明】广东省台山市第一中学2023-2024学年高三上学期第一次月考 数学解析.docx，共(18)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

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台山一中2024届高三第一次月考数学试题2023-08一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合21Axx=−N，()lg21Bxx=+，则AB=

（）A.1,0,1−B.0,1C.1,1−D.1−【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为210,1Axx=−=N，()lg21021028Bx

xxxxx=+=+=−，所以0,1AB=.故选：B.2.已知i为虚数单位，若复数24i2iz−=−，则z=（）A.2i+B.2i−C.63i55+D.63i55−【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简复数z，再求共轭复数即可.【详

解】因为()()()()252i52i4i52i2i2i2i2i5z++−=====+−−−+，所以2iz=−.故选：B.3.“94a”是“方程230()xxax++=R有正实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】B【解析】【分析】根据零点几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得的答案.【详解】由方程230xxa++=有正实数根，则等价于函数()23fxxxa=++有正零点，由二次函数()fx的对称轴为302x=−，则函数()fx只能存在一正一

负的两个零点，则()Δ94000af=−，解得()90,,0,4a−−，故选：B.4.已知0t，则函数241ttyt−+=的最小值为A.2−B.12C.1D.2【答案】A【解析】【分析】先分离，

再根据基本不等式求最值，即得结果.【详解】2411142?42ttyttttt−+==+−−=−，当且仅当1tt=，即1t=时，等号成立.选A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.()()9211xxx−++展开式中含5x的系数是（）A.28B.28−C.84D.84−【答案】C【解析】【分析】根据()91x+展开式的通项，分别求出展开式中含3x、4x、5x的项的系数，即可得出答案.【详解】(

)91x+展开式的通项为9199=C1CrrrrrrTxx−+=，0,1,2,,9r=.当21xx−+选取2x时，由已知可得，应选取()91x+展开式中含3x的项，由3r=，可得33349=C84Txx=；当21xx−+选取x−时，由已知可得，应选取()91x+展开式中含4x的项，由4r

=，可得44459=C126Txx=；当21xx−+选取1时，由已知可得，应选取()91x+展开式中含5x的项，.由=5r，可得55569=C126Txx=.所以，()()9211xxx−++展开式中含5x的系数是184112611

2684−+=.故选：C.6.2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则

不同的安排方案种数为（）A.40B.28C.20D.14【答案】B【解析】【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.【详解】若小王在1号路口，小

李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，两个路口为13+人分布，共有132432CCA8=种方案，两个路口为22+人分布，共有22242222CCA6A=种方案，此时共有8614+=种方案；同理若小王在2号路口，

小李在1号路口，也共有8614+=种方案.所以一共有28种不同的安排方案种数.故选：B7.设5215,ln,sin111111===abc，则（）A.c<a<bB.cbaC.abcD.b<c<a【答案】A【

解析】【分析】构造函数()πsin(0)2fxxxx=−和1()ln(12)02gxxxx=+−，利用导数求解单调性，即可判断.【详解】当π0,2x时，记()sinxxxf−=，则()1cos0fxx=−，故()fx在π0,2x单

调递增，故()()00fxf=，因此得当π0,2x时，sinxx，故55sin1111，即ac；21555lnln1211111111−=−=+−ba，设1()ln(12)02gxxxx=+−，则511bag−=，因为212()

11212xgxxx−=−=++，当102x时，()0gx．所以()gx在10,2上单调递增，所以5(0)011gg=，即ba，所以bac．故选：A8.设函数23log(1),1,()31,3xxkfxxxkx−−

=−+的值域为A，若[1,1]A−，则()fx的零点个数最多是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；【详解】解：令2()log(1

)gxx=−，则2()log(1)gxx=−在(,1)−上单调递减；令3()31hxxx=−+，则2()33hxx=−．由()0hx，得1x或1x−；由()0hx，得11x−，所以(

)hx在(,1)−−和(1,)+上单调递增，在(1,1)−上单调递减，于是，()hx的极大值为(1)3h−=，极小值为(1)1h=−．在同一坐标系中作出函数()gx和()hx的图象，如下图：显然(1)(1)1−=−=fg；由()1gx=−，得12x=；由

()fx的解析式，得11k−．（1）若10k−，当0kx时，()(0)1fxf=，不符合题意；（2）若112k，当12xk时，1()12=−fxf，不符合题意；（3）若102k，①当1xk−时，1()1fx−；②当3kx时，(1)

()max{(),(3)}1ffxfkf，即1()1fx−．由①②，102k时符合题意．此时，结合图象可知，当0k=时，()fx在[1,)−k上没有零点，在[,3]k上有2个零点；当102k时，()fx在[1,)−k上有1个零点，在[,3]k上有1个或2个零点，综上，()

fx最多有3个零点．故选：C．二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质

健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)．则下列说法正确的是（）A.估计该样本的众数是87.5B.估

计该样本的均值是80C.估计该样本的中位数是86D.若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图，可判断A项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断B项；根据频

率分布直方图，估计出中位数，可判断C项；根据频率分布直方图，测试成绩达到85分的频率为0.55，即可估算有资格参加评奖的人数.【详解】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为[85,90)，所以可估计该样本的众数是859087.52+=，

故A项正确；对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是0.020572.50.030577.50.040582.5++0.050587.50.035592.50.025597.585.625+++=，故B项错误；对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在[70

,85)之间的频率为50.02050.030500.045.04++=，在[70,90)之间的频率为70.02050.03050.04050.05050.+++=，所以可估计该样本的中位数在[85,90)内.设中位数为x，则

由850.450.250.59085x−+=−可得，86x=，故C项正确；对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到85分的频率为0.05050.03550.02550.55++=，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为40000.55

2200=人，故D项正确.故选：ACD.10.已知非零实数a，b满足||1ab+，则下列不等关系一定成立的是（）A.221ab+B.122ab+C.24abD.1abb+【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．

【详解】解：对于非零实数a，b满足||1ab+，则()22||1ab+，即2222||11abbb+++，故A一定成立；因为1||1122ababb+++，故B一定成立；又()2||10b−，即212||bb+，所以24||4abb，故C一定成立；对于D：令5a=

，3b=，满足||1ab+，此时5143abb=+=，故D不一定成立．故选：ABC11.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,xy的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B.设随机变量服从正态分布()0,1N，若(1)Pp=，则1(

10)2Pp−=−C.在回归分析中，2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更好D.某人在10次答题中，答对题数为X，()10,0.8BX，则答对8题的概率最大【答案】BCD【解析】【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念

判断．【详解】对于A，两个变量,xy的相关系数为r，r越小，x与y之间的相关性越弱，故A错误，对于B，随机变量服从正态分布()0,1N，由正态分布概念知若(1)Pp=，则1(10)2Pp−=−，故B正确，对于C，在回归分析中，2R越接近于1，模型的拟合效果越好

，所以2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更好，故C正确，对于D，某人在10次答题中，答对题数为X，()10,0.8BX，则数学期望()100.88EX==，说明答对8题的概率最大，故D正确．故选：BCD12.已知函数112()2xxfxeexx−−=++−，若不等式()2

(2)3faxfx−+对任意xR恒成立，则实数a的取值可能是（）A.4−B.12−C.2D.32【答案】BC【解析】【分析】令1tx=−，得到2()1ttgteet−=++−，推得()gt为偶函数，得

到()fx的图象关于1x=对称，再利用导数求得当1x时，()fx单调递增，当1x时，()fx单调递减，把不等式转化为212axx−+恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数112()2xxfxeexx−−

=++−，令1tx=−，则1xt=+，可得2()1ttgteet−=++−，可得22()()11()ttttgteeteetgt−−−=++−−=++−=，所以()gt为偶函数，即函数()fx的图象关于1x=对称，又由()2ttgteet−=−+，令()()2

tttgteet−==−+，可得()20tttee−=++，所以()t为单调递增函数，且(0)0=，当0t时，()0gt，()gt单调递增，即1x时，()fx单调递增；当0t时，()0gt，()gt单调递减，即1x时，()f

x单调递减，由不等式()2(2)3faxfx−+，可得22131axx−−+−，即212axx−+所以不等式212axx−+恒成立，即22212xaxx−−−+恒成立，所以221030xaxxax++−+的解集为R

，所以240a−且2()120a−−，解得22a−，结合选项，可得BC适合.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题关键是利用换元法设1tx=−，从而得到2()1ttgteet−=++−，证明其为偶函数，则得

到()fx的图象关于1x=对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若命题“21,3,10xxax++”是假命题，则实数a的最大值为______．【

答案】103−【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],xx+10ax+”是真命题．令2()1([1,fxxaxx=++3])，则()()120,33100,fafa=+=+

解得103a−，故实数a的最大值为10.3−故答案为：10.3−的14.已知向量,ab满足()2,4,0abbaa==−=，则a与b的夹角为___________.【答案】π3【解析】【分析】根据平面向量数

量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由()2004baabaaba−=−==，41πcos,,4223babababa====，故答案为：π315.已知1F，2F为椭圆C的两个焦点，P为C上一

点，若12122PFPFFF+=，则C的离心率为______．【答案】12．【解析】【分析】利用椭圆的定义及12122PFPFFF+=，得到24ac=，进而得解.【详解】P为椭圆C上一点，由椭圆的定义知，122

PFPFa+=，因为121224PFPFFFc+==，所以24ac=，所以12cea==.故答案为：12.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占

35，高二60人中女生占34，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______．【答案】2132【解析】【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】用,AA分别表示取的一人是来自高一和高二，B表示抽取一个恰好是

女生，则由已知可知：1005603(),()16081608PAPA====,且33(),()54PBAPBA==,所以()()()()533321()858432PBPAPBAPAPBA=+=+=故答案为：2132四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）17.在ABC中，A=60°，c=37a.（1）求sinC的值；（2）若a=7，求ABC的面积.【答案】（1）3314（2）63【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，（2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式

可求得答案【小问1详解】在ABC中，因为60A=，37ca=，所以由正弦定理得sin3333sin7214cACa===.【小问2详解】因为7a=，所以3737c==.由余弦定理2222cosabcbcA=+−得222173232bb=+−，解得8b=或=5b−（舍）.所以A

BC的面积113sin8363222SbcA===.18.设()fx为函数()fx的导函数，已知()(0)cos2()=++Rfxxfxaa，且()fx的图像经过点(0,2)．（1）求曲线()

yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）求函数()fx在[0,]上的单调区间．【答案】（1）20xy−+=（2）单调递增区间为π0,12和5π,π12；单调递减区间为π5π

,1212【解析】分析】(1)求导，计算(0)f得到切线斜率，点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.【小问1详解】()(0)cos2()=++Rfxxfxaa，则()12(0)si

n2=−fxfx，得(0)1f=．由题意(0)2f=，可得曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为2yx−=，即20xy−+=．【小问2详解】由已知得(0)(0)2==+ffa．又由（1）知(0)1f=，所以1a=．故()

cos21=++fxxx．()12sin2,[0,π]fxxx=−，由()0fx，得π012x，或5ππ12x；由()0fx，得π5π1212x．故()fx在[0,]上的单调递增区间为0,12

和5π,π12；单调递减区间为π5π,1212．19.已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，90A=，60D=．将三角形ABE沿BE折起，使得平面1ABE⊥平面BCDE（如图2）．（1）求证：1ACCD⊥；（2）求二面

角1BACD−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析【（2）217【解析】【分析】（1）取BE的中点O，连接1AO，OC，则1AOBE⊥，再结合已知面面垂直可得1AO⊥平面BCDE，则1AOCD⊥，而OCCD⊥，再由线面垂直的判定可得CD⊥面1AOC，从而可

证得1ACCD⊥，（2）以OB，OC，1OA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：取BE的中点O，连接1AO，OC．∵11ABAE=，∴1AOBE⊥．又∵平面1ABE⊥平面BCDE，且平面1

ABEÇ平面BCDEBE=，1AO平面1ABE，∴1AO⊥平面BCDE．∵CD平面BCDE，∴1AOCD⊥．∵在菱形BCDE中，60D=，∴BCE为等边三角形，∵BE的中点为O，∴OCBE⊥，∵BE∥CD，∴OCCD⊥∵1AOOCO?，1,AOOC平面

1AOC，∴CD⊥平面1AOC，∵1AC平面1AOC，∴1CDAC⊥．【小问2详解】由（1）1AO⊥平面BCDE，∵,OBOC平面BCDE，∴11,OAOBAOOC⊥⊥，∵OCBE⊥，∴如图,以OB，OC，1OA所在的直线分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(0,23,0),(4,23,0),(0,0,2)BCDA−，∴1(0,23,2)AC=−，(2,23,0)BC=−，(4,0,0)CD=−．设平面1BAC的法向量为1(,,)nxyz=，则11123202230nACyznBCx

y=−==−+=，不妨设1y=，则1(3,1,3)n=．设平面1DAC的法向量为2(,,)nabc=，则212232040nACbcnCDa=−==−=，令3c=，则2(0,1,3)n=，设二面角1BACD−−的大小为，由图可知为钝角，∴1212

427cos731313nnnn===+++，∴21sin7=．∴二面角1BACD−−的正弦值为217．20.已知数列na的首项145a=，且满足143nnnaaa+=+，设11nnba=−.（1）求证：数列nb为等比数列

；（2）若1231111140naaaa++++，求满足条件的最小正整数n.【答案】（1）证明见解析（2）140【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到1231111314nnnaaaa

++++=+−，然后利用314nn+−的增减性解不等式1231111140naaaa++++即可.【小问1详解】11311141111nnnnnnnabaabaa+++−−==−−()()313414nnaa−==−，111114ba=−=，所以数列nb为首项为

114b=，公比为34等比数列.【小问2详解】由（1）可得12311111111naaaa−+−+−++−13144314n−=−314n=−，即1231111314nnnaaaa

++++−=−∴1231111314nnnaaaa++++=+−而314nn+−随着n的增大而增大要使1231111140naaaa++++，即311404nn+−，则140n，∴

n的最小值为140.21.已知椭圆E:22221(0)xyabab+=与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且12MFF△是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+23与椭圆E交于不同的两点A,B.（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值

,若不是,请说明理由；（2）求ABM的面积的最大值.【答案】（1）14;（2）32.【解析】【详解】（1）因为12MFF是边长为2的等边三角形，所以22c=，3bc=，2a=，所以2,3ab==，所以椭圆E：22143xy+=，点()0,3M.将直线

:23lykx=+代入椭圆E的方程，整理得：()2234163360kxkx+++=，（*）设()()1122,,,AxyBxy，则由（*）式可得()()()2221634343648490kkk=−+=−，所以33,,22k

−−+，12216334kxxk+=−+，1223634xxk=+，所以直线,MAMB的斜率之积121233MAMByykkxx−−=()()()22121222212121633333343936136364kkkxkx

kkxxkkkkxxxx−+++++−==+=+=+=所以直线,MAMB斜率之积是定值14.（2）记直线:23lykx=+与y轴的交点为()0,23N，则2112ABMANMBNMSSSMNxx=−=−=()21212342x

xxx+−2223163364?23434kkk−=−=++2264934kk−=+22631224949kk−+−当且仅当24912k−=，即2133,,222k=−−+时等号成立.的所以ABM的面积的最大值为32.22.“英才计划”最早开始

于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，

表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果

互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p，且1243pp+=，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】（1）分布列见解析，5()4=E（2）11轮

【解析】【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【小问1详解】由题意可知的可能取值有0、1、2、3，373127(0)44CPC===，1

25731221(1)44CCPC===，12753127(2)22CCPC===，353121(3)22CPC===所以，随机变量的分布列如下表所示：0123P7442144722122所以721715()012

3444422224E=+++=．【小问2详解】他们在每轮答题中取得胜利的概率为()()12222122222112221222212211QCppCpCpCppCpCp=−+−+()()()22121212121282333pppppppppp=+−=−，由101p，

201p，1243pp+=，得1113p，则22121111144243339ppppppp=−=−=−−+，因此1214,39pp，令1214,39tpp=

，228416333927Qttt=−=−−+，于是当49t=时，max1627Q=．要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值1627．设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则16,27XBn，16()27EXn=，由

()6EX，即16627n，解得10.125n．而*nN，则min11n=，所以理论上至少要进行11轮答题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com