【文档说明】江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试（一）数学试题含解析.doc，共(18)页，333.500 KB，由小赞的店铺上传

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金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝()A．B．(0，4]C．(1，4]D．(4，＋∞)2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充

分也不必要条件3.下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC．若ab＞0，a＞b，则1a＜1bD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18，S3－a1＝

34，则S5＝()A．3132B．3116C．318D．3145.(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为()A．－512B．1024C．4096D．51206.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学

考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．150B．200C．300D．4007.如图，过抛物线

y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l

：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，59]B．(0，32]C．(0，53]D．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数f(x)＝sin(2x－π3)与g(x)＝cos(x＋π4)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的可能取值为()A．π6B．

π3C．π2D．5π1210.下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3)＝516B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2

)＝0.4C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜12，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增

大11.下列四个命题中，是真命题的是()A．x∈R，且x≠0，x＋1x≥2B．若x＞0，y＞0，则x2＋y22≥2xyx＋yC．函数f(x)＝x＋2－x2值域为[－2，2]D．已知函数f(x)＝x

＋9x＋a－a在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a的取值范围为[－8，＋∞)12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样

的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a6＝8B．S7＝33C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022D．a21＋a22＋…＋a22019a2019＝a2020三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量→a＝(2，－6)，→b＝(3，m)，若|→a＋→b|＝|→a－→b|，则m＝▲________．14.三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学

生1人参加A、B、C三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15.在直三棱柱A

BC－A1B1C1内有一个与各个面均相切的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则AA1的长度为▲________．16.已知函数f(x)＝k(1－2x)，x＜0，x2－2k，x≥0，若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不

同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17.现给出两个条件：①2c－3b＝2acosB，②(2b－3c)cosA＝3acosC，从中选出一个条件补充在下面

的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________．(1)求A；(2)若a＝3－1，求△ABC周长的最大值．18.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－12)．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝S

n2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线

AN与平面PMN所成角的正弦值．20.成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆

假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有

驾驶证总计具有很强安全意识不具有很强安全意识58总计200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数

学期望．附表及公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线过右焦点F2且与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是

否存在点P(t，0)使得PM→·PN→为定值?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．22.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)．(1)求函数f(x)

的极小值；(2)若g(x)＝xf'(x)，且存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)＝lnx，试讨论函数h(x)(x＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选

择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝()A．

B．(0，4]C．(1，4]D．(4，＋∞)答案：C解析：易得A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|x＞1}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤4}，(∁RA)∩B＝(1，4]．2.设a，b∈R，i是虚数单位，

则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，所以a＝0且b≠0，所以“ab＝0”

是“复数a＋bi为纯虚线”的必要不充分条件．3.下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC．若ab＞0，a＞b，则1a＜1bD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd答案：C4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18，S3－

a1＝34，则S5＝()A．3132B．3116C．318D．314答案：B解析：由题得a1q3＝18，a1(1－q3)1－q－a1＝34，解得a1＝1，q＝12，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝1－1321－12＝3116．5

.(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为()A．－512B．1024C．4096D．5120答案：C解析：展开式中x10的项为xC110(2x)9－C010(2x)10＝(C110·29－C010·210)x10，所以，展开式中x10的系数为C11

0·29－C010·210＝4096．6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的1

5，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．150B．200C．300D．400答案：C解析：因为P(X≤90)＝P(X≥120)＝0.2，所以P(90≤X≤120)＝1－0.4＝0.6，

所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝0.3，所以数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．7.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|

AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x答案：B解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定

义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．在Rt△ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝12|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x．8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2

＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，59]B．(0，32]C．(0，53]D．(13，

32]答案：C解析：设椭圆的左焦点为F'，根据椭圆的对称性可得|AF'|＝|BF|，|BF'|＝|AF|，所以|AF'|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3．因为点P到直线l的距离不小于65，所

以3b42＋(－3)2≥65，解得b≥2．又b＜a，所以2≤b＜3，故23≤ba＜1．所以离心率e＝ca＝1－b2a2∈(0，53]．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数f(x

)＝sin(2x－π3)与g(x)＝cos(x＋π4)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的可能取值为()A．π6B．π3C．π2D．5π12答案：AB解析：考虑f(x)与g(x)在(0，π)上的单调性，可得函数f(x)＝sin(2x－π3)在(5

π12，11π12)上单调递减，g(x)＝cos(x＋π4)在(0，3π4)上单调递减，所以这两个函数在区间(5π12，3π4)上单调递减，因此b－a≤3π4－5π12＝π3．10.下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3)＝516B．已知随机

变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜12，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x

的增大而增大答案：ABD解析：设随机变量X~B6，12，则P(X＝3)＝C36123×1－123＝516，A正确；因为随机变量ξ~N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝2，因为P(X＜

4)＝0.9，所以P(0＜X＜4)＝0.8，所以P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜12

时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．11.下列四个命题中，是真命题的是()A．x∈R，且x≠0，x＋1x≥2B．若x＞0，y＞0，则x2＋y22≥2xyx＋yC．函数f(x)＝x＋2－x2值域为[－2，2

]D．已知函数f(x)＝x＋9x＋a－a在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a的取值范围为[－8，＋∞)答案：BCD解析：对于A，x∈R，且x≠0，x＋1x≥2对x＜0时不成立；对于B，若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为x

2＋y22≥2xyx＋y，当且仅当x＝y＞0时取等号，故B正确；对于C，令x＝2cosθ，θ∈[0，π]，则f(x)＝x＋2－x2＝2cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋π4)，由θ∈[0，π]，得θ＋π4∈[π4，5π4]，f(x)＝2sin(θ＋π4)∈

[－2，2]；对于D，当x∈[1，9]，x＋9x∈[6，10]，令x＋9x＝t∈[6，10]，转化为y＝|t＋a|－a在t∈[6，10]有最大值是10．①－a≥10，当t＝6时，ymax＝|6＋a|－

a＝－2a－6＝10，得a＝－8(舍去)．②－a≤6时，当t＝10时，ymax＝10＋a－a＝10恒成立．③6＜－a＜10，ymax＝max{－2a－6，10}，此时只需－2a－6≤10，得－8≤a＜－6．综上，a≥－8，故D正确．12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁

殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论

正确的是()A．a6＝8B．S7＝33C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022D．a21＋a22＋…＋a22019a2019＝a2020答案：ABD解析：由题意可得数列{an}满足递推关系a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋an－1(n≥3

)．对于A，数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；对于B，S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故B正确；对于C，由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020，故C不正确；对于D，因为a

n＋2＝an＋1＋an，则a12＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a32＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a20182＝a2018a2019－a2017a2018，a22019＝a2019a2020－a2019a

2018，所以a12＋a22＋a32＋…＋a22019＝a2019a2020，故D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量→a＝(2，－6)，→b＝(3，m)，若|→a＋→b|＝|→a－→

b|，则m＝▲________．答案：1解析：若|→a＋→b|＝|→a－→b|，则→a·→b＝0，即2×3－6m＝0，则m＝1．14.三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A、B、C三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同

一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．答案：40解析：根据题意，各社区人数应该为2、2、1．因为高三学生不能去A点，故高三学生只能去B点或C点．若高三学生去B点且B点仅有1人，则剩余4人有4种排法；若高三学生去B点且B点有2

人，从高一、高二4人中选1人去B点有C14种，剩余3人有4种排法，所以共有4×4＝16种排法；所以，高三学生去B点共有20种排法．同理，高三学生去C点也有20中排法，因此一共有40种排法．15.在直三棱柱ABC－A1B1C1内有

一个与各个面均相切的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则AA1的长度为▲________．答案：4解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10．设底面Rt△ABC的内切圆的半径为r，则12×6×

8＝12×(6＋8＋10)·r，得r＝2．因为球与三个侧面相切，所以内切球的半径也为2．又该球也与直三棱柱的上、下底面相切，所以AA1＝2r＝4．16.已知函数f(x)＝k(1－2x)，x＜0，x2－2k，x≥0，若函数g(x)＝f(－

x)＋f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．答案：(27，＋∞)解析：g(x)＝x2＋2kx－k，x＞0，－4k，x＝0，x2－2kx－k，x＜0，为偶函数，图像关于y轴对称．当k＝0时，原函数

有且只有一个零点，不符题意，故k≠0．所以，g(x)有且仅有四个不同的零点可转化为g(x)＝x2＋2kx－k，x＞0有且仅有两个不同的零点．当k＜0时，函数g(x)在(0，＋∞)单调递增，最多一个零点，不符

题意；当k＞0时，g'(x)＝2(x3－k)x2，x＞0，列表如下：x(0，k13)k13(k13，＋∞)g'(x)－0＋g(x)单调递减极小值单调递增要使g(x)在(0，＋∞)有且仅有两个不同的零点，则g(x)min＝g(k13)＝k23＋2kk13－k＜0，解得k＞27．易知，当x

→0及x→＋∞时，均有g(x)→＋∞，所以g(x)在(0，k13)和(k13，＋∞)上各有一个零点，符合题意．综上，实数k的取值范围是(27，＋∞)．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17.现给出两个条件：①2c－3b＝2acosB，②(2b－

3c)cosA＝3acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________．(1)求A；(2)若a＝3－1，求△ABC周长的最大值．解析：若选择条件①2c－3b＝2acosB．(1

)由余弦定理可得2c－3b＝2acosB＝2a·a2＋c2－b22ac，整理得c2＋b2－a2＝3bc，………2分可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32．…………………………………………………3分因为A∈(0，π)，所以A＝π6．………………………

…………………………………5分(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(3－1)2＝b2＋c2－2bc·32，………6分即4－23＝b2＋c2－3bc＝(b＋c)2－(2＋3)bc，亦即(2＋3)bc

＝(b＋c)2－(4－23)，因为bc≤(b＋c)24，当且仅当b＝c时取等号，所以(b＋c)2－(4－23)≤(2＋3)×(b＋c)24，解得b＋c≤22，…………………………………………………………8分当且仅当b＝c＝2时取等号．所以a＋b＋c≤22＋3－1

，即△ABC周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分若选择条件②(2b－3c)cosA＝3acosC．(1)由条件得2bcosA＝3acosC＋3ccosA，由正弦定理得

2sinBcosA＝3(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sin(A＋C)＝3sinB．………2分因为sinB≠0，所以cosA＝32，…………………………………………………3分因为A∈(0，π)，所以A＝π6．(2)同上

18.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－12)．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．解析：(1)因为Sn2＝an(Sn－12)，当n≥2时，Sn2＝(Sn－S

n－1)(Sn－12)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由题意得Sn－1·Sn≠0，所以1Sn－1Sn－1＝2，即数列{1Sn}是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝12n－1．……………………………

……………7分(2)易得bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)……………………………8分＝12(12n－1－12n＋1)，……………………………10分所以Tn＝12[(1－13)＋(13－15)＋

…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1．…………………………………12分19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线

AN与平面PMN所成角的正弦值．(1)证明：取BP的中点T，连接AT，TN．由N为PC的中点，知TN∥BC，TN＝12BC＝2．又AD∥BC，AM＝23AD＝2，所以TN__∥AM，因此四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．

…………………………………3分因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB．…………………………………5分(2)取BC的中点E，连接AE．由AB＝AC，得AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，AE＝AB2－BE2＝AB

2－BC22＝5．以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N52，1，2，PM→＝(0，2，－4)，PN→＝52，1，－2，AN→＝5

2，1，2．…………………………………7分设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM→＝0，n·PN→＝0，即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0，2，1)

．……………………………………………………………………9分于是|cos＜n，AN→＞|＝|n·AN→||n|·|AN→|＝8525．…………………………………11分设AN与平面PMN所成角为θ，则sinθ＝8525，即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525

．…………………………………12分20.成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知

识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识不具有很强安全

意识58总计200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：

K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)200人中拥有驾

驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200………………………

…………2分计算得K2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841，所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关．………………………………

…5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X＝0，1，2，3，4，且X~B4，15．于是P(X＝k)＝Ck4·15k·454－k(k＝0，1，2，3，4)，X

的分布列为X01234P25662525662596625166251625…………………………………10分所以E(X)＝4×15＝45．答：X的数学期望为45．…………………………………12分21.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F

2(c，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线过右焦点F2且与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(t，0)使得PM→

·PN→为定值?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C上，所以1a2＋94b2＝1．又点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B，所以AB⊥BF2

，即AB→·BF2→＝(3c，b)·(c，－b)＝0，即b2＝3c2．又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3．所以椭圆的方程为x24＋y23＝1．…………………………………4分(2)易得右焦点F2(1，0)，假设存在点P(t，0)满足要求．①当直线MN的斜率

不为0时，设直线MM的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立x＝my＋1，3x2＋4y2＝1，整理可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝－6m4＋3m2，y1·y2＝－94＋3m2，所以x1＋x2＝m(y1＋y2

)＋2＝84＋3m2，x1x2＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－9m24＋3m2＋－6m24＋3m2＋1＝4－12m24＋3m2．…………………………………6分因为PM→·PN→＝(x1－t，y1)·(x2－t

，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝4－12m24＋3m2－8t4＋3m2＋t2－94＋3m2＝t2(4＋3m2)－12m2－8t－54＋3m2＝3m2(t2－4)＋4t2－8t－54＋3m2．…………………………………

9分要使PM→·PN→为定值，则t2－41＝4t2－8t－54，解得t＝118，此时PM→·PN→＝－13564为定值．…………………………………11分②当直线MM的斜率为0时，则M(－2，0)，N(2，0)，P(118，0)，此时PM→·PN→＝(－2－118，0

)·(2－118，0)＝－13564．…………………………………12分综上，所以存在P(118，0)，使PM→·PN→为定值．22.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)，

f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)．(1)求函数f(x)的极小值；(2)若g(x)＝xf'(x)，且存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)＝lnx，试讨论函数h(x)(x＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x)＝3ax2－

6x＝3x(ax－2)，令f'(x)＝0，得x1＝0或x2＝2a．…………………………………1分因为a＞0，所以x1＜x2，列表如下：x(－∞，0)00，2a2a2a，＋∞f'(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的

极小值为f2a＝8a2－12a2＋1＝1－4a2．…………………………………3分(2)g(x)＝xf'(x)＝3ax3－6x2．因为存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，所以f(x)≥g(x)在x∈[1，2]上有解，

即ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式2a≤1x3＋3x在x∈[1，2]上有解．………………………5分设y＝1x3＋3x＝3x2＋1x3，x∈[1，2]．因为y'＝－3x2－3x

4＜0对x∈[1，2]恒成立，所以y＝1x3＋3x在[1，2]上递减，故当x＝1时，ymax＝4．所以2a≤4，即a≤2，故a的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f(x)在(

0，＋∞)上的最小值为f2a＝1－4a2．①当1－4a2＞0，即a＞2时，f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥f(x)＞0，因此h(x)在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1

－4a2＝0，即a＝2时，f(x)min＝f(1)＝0，又g(1)＝0，所以h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a2＜0，即0＜a＜2时，设φ(x)＝f(x)－g(x)

＝ax3－3x2＋1－lnx，0＜x＜1．因为φ'(x)＝3ax2－6x－1x＜6x(x－1)－1x＜0，所以φ(x)在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a－2＜0，φ1e＝ae3＋2e2－3e2＞0，所以存在唯一的x0∈1e，1，使

得φ(x0)＝0．(i)当0＜x≤x0时，因为φ(x)＝f(x)－g(x)≥φ(x0)＝0，所以h(x)＝f(x)且h(x)为减函数．又h(x0)＝f(x0)＝g(x0)＝lnx0＜ln1＝0，f(0)＝1＞0，所以h

(x)在(0，x0)上有一个零点．(ii)当x0＜x＜1时，因为φ(x)＝f(x)－g(x)＜φ(x0)＝0，所以h(x)＝g(x)且h(x)为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x

)}≥g(x)＝lnx＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无

零点．…………………………………12分