【文档说明】江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试（一）数学试题含解析.doc，共(18)页，333.500 KB，由小赞的店铺上传

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金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上

．1.已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝()A．B．(0，4]C．(1，4]D．(4，＋∞)2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3.

下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC．若ab＞0，a＞b，则1a＜1bD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4

＝18，S3－a1＝34，则S5＝()A．3132B．3116C．318D．3145.(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为()A．－512B．1024C．4096D．51206.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)

(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．150B．200C．300D．4007.如图，过抛物线y2＝2px(p

＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞

0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，59]B．(0，32]C．(0，53]D．(13，32]二、多项选择题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数f(x)＝sin(2x－π3)与g(x)＝cos(x＋π4)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减

，则b－a的可能取值为()A．π6B．π3C．π2D．5π1210.下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3)＝516B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜

2)＝0.4C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜12，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的

增大而增大11.下列四个命题中，是真命题的是()A．x∈R，且x≠0，x＋1x≥2B．若x＞0，y＞0，则x2＋y22≥2xyx＋yC．函数f(x)＝x＋2－x2值域为[－2，2]D．已知函数f(x)＝x＋9x＋a－a在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a的取值范围为[－8，＋∞

)12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a6＝8B．

S7＝33C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022D．a21＋a22＋…＋a22019a2019＝a2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量→a＝(2，－6)，→b＝(3，m)，若|→a＋→b|＝|→a－→b|，则m＝▲________．14

.三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A、B、C三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15.在直

三棱柱ABC－A1B1C1内有一个与各个面均相切的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则AA1的长度为▲________．16.已知函数f(x)＝k(1－2x)，x＜0，x2－2k，x≥0，若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)

有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17.现给出两个条件：①2c－3b＝2acosB，②(2b－3c)cosA＝3acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△

ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________．(1)求A；(2)若a＝3－1，求△ABC周长的最大值．18.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－12

)．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所

成角的正弦值．20.成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对

这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识不具有很强安全意识58总计200(1)补全上面的

2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c

)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.已知椭圆C：x2a2

＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线过

右焦点F2且与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(t，0)使得PM→·PN→为定值?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．22.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(

x)}＝f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)．(1)求函数f(x)的极小值；(2)若g(x)＝xf'(x)，且存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)＝lnx，试讨论函数h(x)(x

＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集

合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝()A．B．(0，4]C．(1，4]D．(4，＋∞)答案：C解析：易得A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|x＞1}，所以∁RA＝{x|－1≤x

≤4}，(∁RA)∩B＝(1，4]．2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，所以a＝0且b≠0，所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚

线”的必要不充分条件．3.下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC．若ab＞0，a＞b，则1a＜1bD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd答案：C4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4

＝18，S3－a1＝34，则S5＝()A．3132B．3116C．318D．314答案：B解析：由题得a1q3＝18，a1(1－q3)1－q－a1＝34，解得a1＝1，q＝12，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝1－1321－12＝3116．5.(x－1)(2x＋

1)10的展开式中x10的系数为()A．－512B．1024C．4096D．5120答案：C解析：展开式中x10的项为xC110(2x)9－C010(2x)10＝(C110·29－C010·210)x10，所以，

展开式中x10的系数为C110·29－C010·210＝4096．6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高

于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．150B．200C．300D．400答案：C解析：因为P(X≤90)＝P(X≥120)＝0.2，所以P(90≤X≤120)＝1－

0.4＝0.6，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝0.3，所以数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．7.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线

l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x答案：B解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，

则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．在Rt△ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，得a＝2，|FC|＝3a＝6，

所以p＝|FG|＝12|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x．8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0

，59]B．(0，32]C．(0，53]D．(13，32]答案：C解析：设椭圆的左焦点为F'，根据椭圆的对称性可得|AF'|＝|BF|，|BF'|＝|AF|，所以|AF'|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3．因为点P到直线l的距离不小于65，所以3b42＋(－3)2≥65，

解得b≥2．又b＜a，所以2≤b＜3，故23≤ba＜1．所以离心率e＝ca＝1－b2a2∈(0，53]．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数f(x)＝sin(2x

－π3)与g(x)＝cos(x＋π4)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的可能取值为()A．π6B．π3C．π2D．5π12答案：AB解析：考虑f(x)与g(x)在(0，π)上的单调性，可得函数f(x)＝sin(2x－π3)在(5π

12，11π12)上单调递减，g(x)＝cos(x＋π4)在(0，3π4)上单调递减，所以这两个函数在区间(5π12，3π4)上单调递减，因此b－a≤3π4－5π12＝π3．10.下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布B6，1

2，则P(X＝3)＝516B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，

若0＜x＜12，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大答案：ABD解析：设随机变量X~B6，12，则P(X＝3)＝C36123×1－123＝516，A正确；因为随机变量ξ~N

(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝2，因为P(X＜4)＝0.9，所以P(0＜X＜4)＝0.8，所以P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；由题意可知，E(ξ)＝

1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜12时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．11.下列四个命题中，是真命题的是()A．x∈R，且x≠0，x＋1x≥2B．若x

＞0，y＞0，则x2＋y22≥2xyx＋yC．函数f(x)＝x＋2－x2值域为[－2，2]D．已知函数f(x)＝x＋9x＋a－a在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a的取值范围为[－8，＋∞

)答案：BCD解析：对于A，x∈R，且x≠0，x＋1x≥2对x＜0时不成立；对于B，若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为x2＋y22≥2xyx＋y，当且仅当x＝y＞0时取等号，故B正确；对于C，令x＝2cosθ，θ∈[0，π]

，则f(x)＝x＋2－x2＝2cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋π4)，由θ∈[0，π]，得θ＋π4∈[π4，5π4]，f(x)＝2sin(θ＋π4)∈[－2，2]；对于D，当x∈[1，9]，x＋9x∈[6，10]，令x＋9x＝t∈[6，10]，转化为y＝|t＋a|－a在t∈[6，10]有最大

值是10．①－a≥10，当t＝6时，ymax＝|6＋a|－a＝－2a－6＝10，得a＝－8(舍去)．②－a≤6时，当t＝10时，ymax＝10＋a－a＝10恒成立．③6＜－a＜10，ymax＝max{－2a－

6，10}，此时只需－2a－6≤10，得－8≤a＜－6．综上，a≥－8，故D正确．12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后

来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a6＝8B．S7＝33C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022D．a21＋a22＋…＋a22019a2019＝a2020答案：ABD解析：由题意可得数列{an}满足递推关系

a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋an－1(n≥3)．对于A，数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；对于B，S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故B正确；对于C，由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，可得a1

＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020，故C不正确；对于D，因为an＋2＝an＋1＋an，则a12＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a32＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a20182＝a2018a2019－a2017a2018

，a22019＝a2019a2020－a2019a2018，所以a12＋a22＋a32＋…＋a22019＝a2019a2020，故D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量→a＝(2，－6)，→b＝(3，m)，若|→a＋→b|＝|→a－→b|，则m＝▲________．

答案：1解析：若|→a＋→b|＝|→a－→b|，则→a·→b＝0，即2×3－6m＝0，则m＝1．14.三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A、B、C三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A

志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．答案：40解析：根据题意，各社区人数应该为2、2、1．因为高三学生不能去A点，故高三学生只能去B点或C点．若高三学生去B点且B点仅有1人，则剩余4人有4种排法；若高三学生去B点且B点有2人，从高一、高二4人中选1人去B点有C14种，剩余

3人有4种排法，所以共有4×4＝16种排法；所以，高三学生去B点共有20种排法．同理，高三学生去C点也有20中排法，因此一共有40种排法．15.在直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个与各个面均相切的球．若AB⊥BC

，AB＝6，BC＝8，则AA1的长度为▲________．答案：4解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10．设底面Rt△ABC的内切圆的半径为r，则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，得r＝2．因为球与三个侧面相切，所以内切球的半径也为2．又该球

也与直三棱柱的上、下底面相切，所以AA1＝2r＝4．16.已知函数f(x)＝k(1－2x)，x＜0，x2－2k，x≥0，若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．答案

：(27，＋∞)解析：g(x)＝x2＋2kx－k，x＞0，－4k，x＝0，x2－2kx－k，x＜0，为偶函数，图像关于y轴对称．当k＝0时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故k≠0．所以，g

(x)有且仅有四个不同的零点可转化为g(x)＝x2＋2kx－k，x＞0有且仅有两个不同的零点．当k＜0时，函数g(x)在(0，＋∞)单调递增，最多一个零点，不符题意；当k＞0时，g'(x)＝2(x3－k)x2，x＞0，列表如下：x(0，k1

3)k13(k13，＋∞)g'(x)－0＋g(x)单调递减极小值单调递增要使g(x)在(0，＋∞)有且仅有两个不同的零点，则g(x)min＝g(k13)＝k23＋2kk13－k＜0，解得k＞27．易知，当x→0及x→＋∞时，

均有g(x)→＋∞，所以g(x)在(0，k13)和(k13，＋∞)上各有一个零点，符合题意．综上，实数k的取值范围是(27，＋∞)．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17.现给出两个条件：①2

c－3b＝2acosB，②(2b－3c)cosA＝3acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________．(1)求A

；(2)若a＝3－1，求△ABC周长的最大值．解析：若选择条件①2c－3b＝2acosB．(1)由余弦定理可得2c－3b＝2acosB＝2a·a2＋c2－b22ac，整理得c2＋b2－a2＝3bc，………2分可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32．……………………………………

……………3分因为A∈(0，π)，所以A＝π6．…………………………………………………………5分(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(3－1)2＝b2＋c2－2bc·32，………6分即4－23＝b2＋c2－3bc＝(b＋c)2

－(2＋3)bc，亦即(2＋3)bc＝(b＋c)2－(4－23)，因为bc≤(b＋c)24，当且仅当b＝c时取等号，所以(b＋c)2－(4－23)≤(2＋3)×(b＋c)24，解得b＋c≤22，…………………………………………

………………8分当且仅当b＝c＝2时取等号．所以a＋b＋c≤22＋3－1，即△ABC周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分若选择条件②(2b－3c)cosA＝3acosC．(1)

由条件得2bcosA＝3acosC＋3ccosA，由正弦定理得2sinBcosA＝3(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sin(A＋C)＝3sinB．………2分因为sinB≠0，所以cosA＝3

2，…………………………………………………3分因为A∈(0，π)，所以A＝π6．(2)同上18.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－12)．(1)求Sn的表达

式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．解析：(1)因为Sn2＝an(Sn－12)，当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－12)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由题意得Sn－1·Sn≠0，所以1Sn

－1Sn－1＝2，即数列{1Sn}是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝12n－1．…………………………………………7分(2)易得bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)…………

…………………8分＝12(12n－1－12n＋1)，……………………………10分所以Tn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1．………………………………

…12分19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正

弦值．(1)证明：取BP的中点T，连接AT，TN．由N为PC的中点，知TN∥BC，TN＝12BC＝2．又AD∥BC，AM＝23AD＝2，所以TN__∥AM，因此四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．…………………………………3分因为AT平面PAB，MN平面PA

B，所以MN∥平面PAB．…………………………………5分(2)取BC的中点E，连接AE．由AB＝AC，得AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，AE＝AB2－BE2＝AB2－BC22＝5．以A为原点，AE

，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N52，1，2，PM→＝(0，2，－4)，PN→＝52，1，－2，AN→＝52，

1，2．…………………………………7分设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM→＝0，n·PN→＝0，即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos＜n，

AN→＞|＝|n·AN→||n|·|AN→|＝8525．…………………………………11分设AN与平面PMN所成角为θ，则sinθ＝8525，即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525．…………………………………12分20.成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达4

50多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然

后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识不具有很强安全意识58总计200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过9

5%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：K2＝n(a

d－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246

.6357.87910.828解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：拥有驾驶证

没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200…………………………………2分计算得K2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841，所以有超过95%的把握认为“具

有很强安全意识”与拥有驾驶证有关．…………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X＝0，1，2，3，4，且X~B4，15．于是P(X＝k)＝Ck4·15k·454－k(

k＝0，1，2，3，4)，X的分布列为X01234P25662525662596625166251625…………………………………10分所以E(X)＝4×15＝45．答：X的数学期望为45．…………………………………12分21.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞

0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线过右焦点F2且与椭圆C交于M，N两点，在x轴

上是否存在点P(t，0)使得PM→·PN→为定值?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C上，所以1a2＋94b2＝1．又点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B，所

以AB⊥BF2，即AB→·BF2→＝(3c，b)·(c，－b)＝0，即b2＝3c2．又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3．所以椭圆的方程为x24＋y23＝1．…………………………………4分(2)易得右焦点F2(1，0)，假设存在点P(t，0)满足要求．①当直线MN的斜率不

为0时，设直线MM的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立x＝my＋1，3x2＋4y2＝1，整理可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝－6m4＋3m2，y1·y2＝－94＋3m2，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝84＋3m2，x1x2＝m2y1y

2＋m(y1＋y2)＋1＝－9m24＋3m2＋－6m24＋3m2＋1＝4－12m24＋3m2．…………………………………6分因为PM→·PN→＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝4－12m24＋3m

2－8t4＋3m2＋t2－94＋3m2＝t2(4＋3m2)－12m2－8t－54＋3m2＝3m2(t2－4)＋4t2－8t－54＋3m2．…………………………………9分要使PM→·PN→为定值，则t2－41＝4t2－8t－54，解得t＝118，此时

PM→·PN→＝－13564为定值．…………………………………11分②当直线MM的斜率为0时，则M(－2，0)，N(2，0)，P(118，0)，此时PM→·PN→＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564．…………

………………………12分综上，所以存在P(118，0)，使PM→·PN→为定值．22.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)．(1)求函数f(x)

的极小值；(2)若g(x)＝xf'(x)，且存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)＝lnx，试讨论函数h(x)(x＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f'(x)＝0，得x1＝0或x2＝2

a．…………………………………1分因为a＞0，所以x1＜x2，列表如下：x(－∞，0)00，2a2a2a，＋∞f'(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f2a＝

8a2－12a2＋1＝1－4a2．…………………………………3分(2)g(x)＝xf'(x)＝3ax3－6x2．因为存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，所以f(x)≥g(x)在x∈[1，2]上有解，即ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式2a≤1x3＋3x在x∈[

1，2]上有解．………………………5分设y＝1x3＋3x＝3x2＋1x3，x∈[1，2]．因为y'＝－3x2－3x4＜0对x∈[1，2]恒成立，所以y＝1x3＋3x在[1，2]上递减，故当x＝1时，ymax

＝4．所以2a≤4，即a≤2，故a的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f2a＝1－4a2．①当1－4a2＞0，即a＞2时，f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h(

x)＝max{f(x)，g(x)}≥f(x)＞0，因此h(x)在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a2＝0，即a＝2时，f(x)min＝f(1)＝0，又g(1)＝0，所以h(x)＝

max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a2＜0，即0＜a＜2时，设φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－3x2＋1－lnx，0＜x＜1．因为φ'(x)＝3ax2

－6x－1x＜6x(x－1)－1x＜0，所以φ(x)在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a－2＜0，φ1e＝ae3＋2e2－3e2＞0，所以存在唯一的x0∈1e，1，使得φ(x0)＝0．(i)当0＜x≤x0时，因为φ(x)＝f(x)－g(x)≥φ(x0)＝0，所以h(x

)＝f(x)且h(x)为减函数．又h(x0)＝f(x0)＝g(x0)＝lnx0＜ln1＝0，f(0)＝1＞0，所以h(x)在(0，x0)上有一个零点．(ii)当x0＜x＜1时，因为φ(x)＝f(x)－g(x)＜φ(x0)＝0，所以h(

x)＝g(x)且h(x)为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝lnx＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)

上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分