【文档说明】安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高一上学期第二次数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.130 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省桐城中学2023-2024学年度上学期高一数学第二次教学质量检测（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.已知函数()yfx=的定义域为|06xx，则函数()()22fxgxx=−的定义域

为（）A.|02xx或23xB.|02xx或26xC.|02xx或212xD.|2xx【答案】A【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620xx

−，解得，02x或23x.故选：A．2.已知()(1)(1)fxmxxm=+−−+，若()0fa，则下列判断一定正确的是（）A.(1)0fa+B.(1)0fa−C.(2)0fa−D.(2)0fa+【答案】C【解析】【分析】根据()0fa

，求得ma−的范围，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：由()(1)(1)fxmxxm=+−−+，()0fa，得()()()21110maamma−+−+=−−，所以11ma−−，对于A，()()(1)2famaam+=−−+，当0

ma−=时，(1)0fa+=，故A不一定正确；对于B，()()(1)2famaam−=−+−，当0ma−=时，(1)0fa−=，故B不一定正确；对于C，()()()()(2)3131famaammama

−=−+−−=−−+−+，因为11ma−−，所以30,10mama−+−+，所以(2)0fa−，故C一定正确；对于D，()()()()(2)1313famaammama+=−−−+=−−−−−，因为11ma−

−，所以0,30maama−−−−，所以(2)0fa+，故D不正确.故选：C3.已知()()2,01,0xxfxfxx=+，则2433fff+−值等

于（）A.2−B.4C.2D.4−【答案】B【解析】【分析】根据分段函数直接代入即可求值.【详解】因为()()2,01,0xxfxfxx=+，所以2433f=，所以44448121333333ffff

+−=+−+=+−81133f=+−+822433=+=，故选：B.4.若函数222,1()1,,1xaxxfxxx−+−=−的值域为R，则实数a的取值

范围是（）A.[4,5]−B.[4,4]−C.(,4][5,)−−+D.(,4][4,)−−+【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出1x时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论

；根据题中条件，即可得出结果..的【详解】由题意，当1x时，()1fxx=−显然单调递增，则()()10,fxx=−+；当1x时，()222fxxxa−=+−是开口向下，对称轴为4ax=的二次函数，又函数222,1()1,

,1xaxxfxxx−+−=−的值域为R，当14a，即4a时，04af，即2208a−，解得：(,4]4a−−，当14a，即4a时，()10f，()4,a+，综上，(,4][4,)a−

−+故选：D.【点睛】分段函数的的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论.5.若正实数,xy满足24xy+=，不等式212131mmxy+++有解，则m的取值范围是（）A.4(,1)3−B.4(,)(1,)3−−+

C.4(1,)3−D.4(,1)(,)3−−+【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式“1”的代换求211xy++最小值，再由不等式有解得21433mm+，即可求参数范围.【详解】由2112114(1)()[2(1)][4]16161yxxyxyxyxy+

+=+++=+++++14(1)4[42]613yxxy++=+，仅当4(1)1yxxy+=+，即13,2xy==时等号成立，要使不等式212131mmxy+++有解，只需221434(34)(1)033mmmmmm

++−=+−，所以4(,)(1,)3m−−+.故选：B6.某同学在研究函数2()||1xfxx=+时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A.函数()fx是奇函数B.函数()fx的值域是()1,+C.函数()fx在R上是增函数

D.方程()2fx=有实根【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A，2()()()||1xfxfxx−−==−+，故()fx是偶函数，(1)(1)1ff−==，()fx不是奇函数，故A错误，对于B，当0x时，21()1211xfx

xxx==++−++，由对勾函数性质知()()00fxf=，而()fx是偶函数，()fx的值域是[0,)+，故B错误，对于C，当0x时，21()1211xfxxxx==++−++，由对勾函数性质知()fx在(0,)

+上单调递增，而()fx是偶函数，故()fx在(,0)−上单调递减，故C错误，对于D，当0x时，()2fx=，即2220xx−−=，解得31x=+，故D正确，故选：D7.已知函数()21fxxx=+−的定义

域为R，()fx可以表示为一个偶函数()gx和一个奇函数()hx之和，若不等式2211kgkxgxxx+++对任意非零实数x恒成立，则实数k的取值范围为（）A.33,22−B.3,02

−C.33,,22−−+D.33,00,22−【答案】A【解析】【分析】特值验证法排除CD：再分离参数将恒成立问题转化为函数最值求解可得选项.【详解】由

题意得，()gx是偶函数，()hx是奇函数，且2()()()1fxgxhxxx=+=+−①，则2()()()()()1fxgxhxgxhxxx−=−+−=−=−−②，由①②解得2()1,()gxxhxx=−=，

函数()gx开口向上，且关于y轴对称，在)0,+单调递增，当0k=时，不等式2211kgkxgxxx+++，即2211(0)gxgx++，则22110xx++对任意非零实数x恒成立，即0

k=满足题意.故排除CD.当0k时，不等式2211kgkxgxxx+++，由()gx关于y轴对称，在)0,+单调递增，得2211kkxxxx+++，即22111kxxxx+++.分

离参数得222111111xxxxkxxxx+−++=++，由k作为一个整体参数可知所求k的范围关于原点对称（可排除B）.令1txx=+，21txx=+，当且仅当1xx=，即1x=时

等号成立，则1ktt−，令1()ttt=−，()t在)2,+是增函数，则min3()(2)2t==，要使1ktt−恒成立，则32k，则33,22−.故选：A.8.已知实数0a，0b，且满足()()()331132abab−+

−−−恒成立，则22ab+的最小值为（）A.2B.1C.14D.4【答案】A【解析】【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得ab+的取值范围，利用基本不等式求得22ab+的最小值.【详解】依题意，(

)()()()()3311323131ababab−+−−−=−+−，即()()()()()()333131131131aabbbb−+−−−+−=−+−，设()33fxxx=+，()fx是奇函数且()fx在R上递增，所以(

)()11fafb−−，即11,2abab−−+，由基本不等式得()22222222abab++=，当且仅当1ab==时等号成立，所以22ab+的最小值为2.故选：A【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键

点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中()()()()33131131aabb−+−−+−，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知关于x的不等式20axbxc++的解集

为M，则下列说法错误的是（）A.M=，则0,0aB.若(1,3)M=−，则关于x的不等式24cxbxbcxa−−−+的解集为31(,2),−−+UC.若00{|,Mxxxx=为常数}，且ab，则4acba+−最小

值为222+D.若20,0aaxbxc++的解集M一定不为【答案】AC【解析】【分析】选项A中，由二次函数的性质得到0,0a，可判定A错误；选项B中，转化为1−和3是方程的两个实根，求得2,3baca=−=−，把不等式化简得到(2)(31)0axx+−，求得的解集，可判定B正确；

选项C中，结合二次函数的性质，求得24bca=，化简得到22141bacabbaa++=−−，令1bta−=，结合基本不等式，求得4acba+−的最大值，可判定C错误；当a<0时，由函数2yaxbxc=++表示开口向下的抛物线，可判定D正确.【详解】由题意，关于x的

不等式20axbxc++的解集为M，对于A中，若M=，即不等式20axbxc++的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足20,40abac=−，所以A错误；对于B中，若(1,3)M=−，可得1−和3是方程20axbxc++=两个实根，且0a

，可得1313baca−+=−−=，解得2,3baca=−=−，则不等式24cxbxbcxa−−−+，可化为23520axaxa+−，即(2)(31)0axx+−，解得<2x−或13x，即不等式的解集为31(,2),

−−+U，所以B正确；对于C中，若00{|,Mxxxx=为常数}，可得0x是20axbxc++=唯一实根，且a<0，则满足20Δ40abac=−=，解得24bca=，所以222241441bbbaaacaaabbababaa++++===−−−−，的

的令1bta−=，因为ab且a<0，可得0t，且1bta=+，则222141(1)22222[]22()2221bactatttbbatttta++++===++=−−−−−=−−−−，当且仅当2tt=时，即2t=−时，即21=−+ba时，等号成立，所

以4acba+−的最大值为222−，所以C错误；对于D中，当a<0时，函数2yaxbxc=++表示开口向下的抛物线，所以当20,0aaxbxc++的解集M一定不为，所以D正确.故选：AC.10.已知函数()1fxx

=−，()2gxx=．记,max,,aababbab=，则下列关于函数()()()()max,0Fxfxgxx=的说法正确的是（）A.当()0,2x时，()2Fxx=B.函数()Fx的最小值为2−C.函数()Fx在()1,0−上单调递减D.若关于x的方程()Fxm

=恰有两个不相等的实数根，则21m−−或1m【答案】ABD【解析】【分析】得到函数()1,1022,102xxxFxxxx−−=−或或，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：()1,1022,102xxxFxxxx−−=

−或或，其图象如图所示：由图象知：当()0,2x时，()2Fxx=，故A正确；函数()Fx的最小值为2−，故正确；函数()Fx在()1,0−上单调递增，故错误；方程()Fxm=恰有两个不相等的实数根，则21m−−或1m，故正确；故选：A

BD11.已知函数()fx定义域为R，1x，2Rx，且12xx，()()12121fxfxxx−−−，则（）A.()()224ff−+B.()()11fxfx++C.()()0fxxf+D.()1123faafaa+++

+【答案】ABD【解析】【分析】根据函数单调性的定义可得()()gxfxx=+单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得.【详解】设12xx，则()()()1212fxfxxx−−−，即()()1122fxxfxx++，令()()gxfxx=+，则()()12gxgx

，所以()gx在R上单调递减，由()()22gg−，得()()2222ff−−+，即()()224ff−+，A正确；因为1xx+，所以()()()()111gxfxxgxfxx=++=+++，即()()11f

xfx++，B正确；因为0x，所以()()()()00gxfxxgf=+=，C错误；因为12aa+（当且仅当1aa=，即1a=时，等号成立），的所以()()()11122223gafaagffaaa+=++

+=++，D正确．故选：ABD.12.()=yfx的图象关于点(),Pab成中心对称图形的充要条件是()yfxab=+−为奇函数，下列结论正确的（）A.函数()fxaxb=+没有对称中心B.函数()211xfxx+=+的对称中心为(

)1,2-C.函数()322fxxx=−的对称中心的横坐标为43D.定义在3,3−的函数()fx的图象关于点()0,1−成中心对称.当03x时，()223fxxx=−−，则()fx的值域为4,2−【答案】BD【解析】【分析】由条件()

=yfx的图象关于点(),Pab成中心对称图形的充要条件是()yfxab=+−为奇函数，结合对称中心的定义判断ABC选项，利用()()1gxfx=+为奇函数求出值域，从而可求得3,3−上()fx的值域，判断D选项.【详解】由于(

)=yfx的图象关于点(),Pab成中心对称图形的充要条件是()yfxab=+−为奇函数，对于A，因为22bbfxbaxbbaxaa+−=++−=，所以()()2bgxfxba=+−，满足()()gxgx−=−，是奇函数，故()fx关于点,2bba对称

，故A错误；对于B，因为()()211211()122211xxgxfxxxx−+−=−−=−=−=−−+，定义域为{|0}xx，满足1()()gxgxx−==−，是奇函数，所以点()1,2-为()fx的对称中心，故B正确；对于C，设()322fxxx=−的

对称中心为(),ab，设()()gxfxab=+−，则()()gxgx=−−，即()()fxabfxab+−=−−++，即()()()()323222xaxabxaxab+−+−=−−++−++，所以()2323220axaab−+−−=恒成立，即320−=a，所以23a

=，故函数()322fxxx=−的对称中心的横坐标为23，故C错误；对于D，因为定义在3,3−的函数()fx的图象关于点()0,1−成中心对称.所以可得()1yfx=+为奇函数，设()()1gxfx=+，即()gx是奇函数，当03x时，()()222314

fxxxx=−−=−−，所以()4,0fx−，()()13,1gxfx=+−[3,0]x−时，()[1,3]gx−，所以()()1[2,2]fxgx=−−，所以[3,3]x−时，()4,2fx−，故D正确；故选：BD.三

、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.已知函数()3123fxxxx=++−，若()4ft=，则()ft−=_________.【答案】10−【解析】【分析】利用奇函数的性质即可.【详解】设()312gxxxx=++，则()()ftgt=−=34，则

()7gt=因为()31()2()()gxxxgxx−=−+−+=−−，所以()()gtgt−=−=−7，则()()37310ftgt−=−−=−−=−.故答案为：10−14.函数()()()11fxxx=+−的递减区间是______．【答案】(),1−−和()0

,+【解析】【分析】分别讨论0x和0x时()()()11fxxx=+−转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x时，()()()2111fxxxx=+−=−+为开口向下的抛物线，对称轴为0x=，此时在期间()0,+单调递减，当0x时，()()()()211

1fxxxx=++=+，开口向上的抛物线，对称轴为=1x−，此时在(),1−−单调递减，综上所述：函数()()()11fxxx=+−的递减区间是()(),10,−−+，故答案为：(),1−−和()

0,+【点睛】关键点点睛：本题的关键点是去绝对值转化为分段函数，两段都是二次函数，利用二次函数的性质即可求解单调区间.15.若函数()fx在定义域D内的某区间M上是增函数，且()fxx在M上是减函数，则称()fx在M上是“弱增函数”.已知函数()()24gxxaxa=

+−+在(0,2上是“弱增函数”，则实数a的值为______.【答案】4【解析】【分析】由()gx在(0,2上的单调性求出a的一个范围，再令()()fxhxx=，则()hx在(0,2上是减函数，分类讨论根据()hx的单调性求参数a的范围，两范围取交集即可得

解.【详解】由题意可知函数()()24gxxaxa=+−+在(0,2上是增函数，402a−，解得4a，令()()4fxaxaxxhx+==+−，则()hx在(0,2上是减函数，①当0a时，

()hx在(0,2上为增函数，不符合题意；②当0a时，由对勾函数的性质可知()hx在(0,]a上单调递减，2a，解得4a，又4a，4a=.故答案为：4【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.16.定义在R上的函数

()fx满足()()22fxfx+=，且当2,4x时，224,23()2,34xxxfxxxx−+=+，()1gxax=+，对14,2x−−，22,1x−，使得()()21gxf

x=，则实数a的取值范围为______.【答案】55,,816−−+【解析】【分析】求出()fx在2,4上的值域，利用()fx的性质得出()fx在4,2−−上的值域，再求出()gx在2,1−上的值域，根据题意得出两值域的

包含关系，从而解出a的范围．【详解】当2,4x时，224,23()2,34xxxfxxxx−+=+，由于()22424yxxx=−+=−−+为对称轴为2x=开口向下的二次函数，222xyxxx+==+在(3,4上单调递增，可得()fx在2,3上单调递减，在(3,4上

单调递增，()()9(2)4,33,42fff===，()fx在2,3上的值域为3,4，在(3,4上的值域为119,32，()fx在2,4上的值域为93,2，(2)2()fxfx+

=，()111()(2)(4)6248fxfxfxfx=+=+=+，故当4,2,62,4xx−−+，()fx在4,2−−上的值域为39,816，当0a时，()gx为增函数，(

)1gxax=+在2,1−上的值域为21,1aa−++，31289116aa−+，解得516a，故a的范围是516a；当0a时，()gx为单调递减函数，()1gxax=+在2,1−上的值域为1,21aa+−+，318912

16aa+−，解得58a−≤；故a的范围是58a−≤，综上可知故a的范围是55,,816−−+，故答案为：55,,816−−+.【点睛】方法点睛

：函数恒成立或者存在类问题球参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画

出函数的图象，然后数形结合求解．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知2221{|680}0{|(24)40}3xAxxxBxCxxaxaax−=−+==−+++−，，.（1）求AB；（2）若A

C，求实数a的取值范围.【答案】（1）（3，4]；（2）[0，2]．【解析】【分析】（1）化简集合A，B根据交集的定义计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．【详解】（1）A：（x﹣2）（x﹣4）≤0，则A＝[2，4]；B：x＞3

或x≤1，则B＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）；则A∩B＝（3，4]；（2）C：（x﹣a）[x﹣（a+4）]≤0，则a≤x≤a+4，因为A⊆C，则244aa+，所以，解得a∈[0，2]．【点睛】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组

的解法与应用问题，是基础题目．18.已知函数()fx是定义域在R上的奇函数，当0x时，()22fxxx=−．（1）求()fx在R上的解析式；（2）若函数()fx在区间1,2a−−上单调递减，求实数a的

取值范围．【答案】（1）()222,00,02,0xxxfxxxxx−==−−（2）13a<?【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性即可得解；（2）利用二次函数的性质，作出()fx的图象，结合图象即可得解.【小问1详解】因为函数()fx是定义域在R上的奇函数，所以()00f=，

又当0x时，()22fxxx=−，所以当0x时，则0x−，故22()()22fxxxxx−=−+=+，所以()2()2fxfxxx=−−=−−，综上，()222,00,02,0xxxfxxxxx−==−−.【小问2详解】当0x时，()2

2fxxx=−−，其开口向下，对称轴为=1x−；当0x时，()22fxxx=−，其开口向上，对称轴为1x=；作出()fx的图象如图，所以要使()fx在[1,2]a−−上单调递减，必须2121aa−−−，即13aa，所以13

a<?.19.已知函数()fxxm=+，()22232mgxxmxm=−++−，（1）若()212mgx+的解集为()1,a，求a的值；（2）若对10,1x，总21,2x，使得()()12fxgx，求实数m的取值范围.【答案】（1）2a=（2）

22mm−【解析】【分析】（1）分析可知，不等式2240xmxm−+−的解集为()1,a，可知1x=是方程2240xmxm−+−=的根，求出m的值，再解原二次不等式，即可的实数a的值；（2）分析可知，()()minminfxgx，求出函数()fx在区间0,1上的最小

值，对实数m的取值进行分类讨论，分析函数()gx在1,2上的单调性，求出函数()gx在1,2上的最小值，可得出关于实数m的不等式，即可解得实数m的取值范围.【小问1详解】解：因为()212mgx+，所以()22223122mmgxxmxm=−++−+，所以224

0xmxm−+−，依题得不等式2240xmxm−+−的解集为()1,a，所以1x=是方程2240xmxm−+−=的根，所以1240mm−+−=，∴3m=，又因为()24240mm=−−，∴()240m−，∴4m，所以3m=满足题意，∴2320xx−+，解得12x，∴2a=.【小

问2详解】解：10,1x，总21,2x，使得()()12fxgx，等价于()()minminfxgx，由于()fxxm=+在0,1上单调递增，因此()()min0fxfm==；()22232mgxxmxm=−++−的对称轴为

：2mx=.①若122m，即24m，函数()gx在1,2m上单调递减，在,22m上单调递增，则()2min12324mgxgmm==+−，∴21234mmm+−，∴21304mm+−，即2

4120mm+−，解得62m−，舍去；②若12m，即2m，函数()gx在1,2上单调递增，则()()2min122mgxgm==+−，∴222mmm+−，∴2202m−，解得22m−，此时，22m−；③若22m，即4m，函数()gx在1,2上单调递减，则()()2

min212mgxg==+，所以，212mm+，即2220mm−+，该不等式无解.综上所述，m的取值范围是22mm−.20.定义在R上的函数()fx满足：对于x，yR，()()()fxyfxfy+=+成立；当0x时，()0fx恒成立.（1）求()0f的值；（2）判断并证明()f

x的单调性；（3）当0a时，解关于x的不等式()()()()221122faxfxfaxfa−−−+−.【答案】（1）()00f=（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令0xy==可得(0)f；（2）

令yx=−结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定()fx的奇偶性；任取12,Rxx且12xx，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定()fx的单调性；（3）由题设，将不等式转化为()()2222−−faxaxfxa，根

据()fx的单调性和奇偶性可得()20−−xaxa，再讨论2,aa的大小关系，即可求解集.【小问1详解】令0xy==，则(00)(0)(0)fff+=+,可得(0)0f=；【小问2详解】()fx在R上单调递减，证明如下：由已知

，对于,xyR有()()()fxyfxfy+=+成立，(0)0f=，令yx=−，则()()()0fxxfxfx−=+−=，所以，对R,x有()()fxfx−=−，故()fx是奇函数，任取12,Rxx且12xx，则

120xx−，由已知有()120fxx−，又()()()()()1212120fxxfxfxfxfx−=+−=−，得()()12fxfx所以()fx在(,)−+上是减函数；【小问3详解】因为()()()()221122faxfxfaxfa−−，所以()()222()

()−−faxfaxfxfa，即()()()22222−−=−faxaxfxafxa，因为()fx在(,)−+上是减函数，所以222()axaxxa−−，即()(2)0xaax−−，又0a，所以()20−−xaxa，当20aa

时，即02a时，原不等式的解集为2|xaxa；当2aa=时，即2a=时，原不等式的解集为；当20aa时，即2a时，原不等式的解集为2|xxaa.综上所述：当02a时，原不等式的解集为2|xax

a；当2a=时，原不等式的解集为；当2a时，原不等式的解集为2|xxaa.【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“f”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要

先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决.21.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举

行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公

司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入21(600)6x−万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入

与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）a至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有[80.2(25)]258tt−−，解一元二次不等式求t范围，即

可确定最大值；（2）问题化为>25x时，151506xax++有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t元，依题意得[80.2(25)]258tt−−，则2651000(2

5)(40)0tttt−+=−−，解得2540t，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，>25x时，不等式21(600)6525850axxx−+++有解，等价于>25x时，151506xax++有解，因为15011501+2

=1066xxxx（当且仅当30x=时等号成立），所以10.2a，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商

品的每件定价为30元．22.对于函数()fx，若()fxx=，则称x为()fx的“不动点”；若()ffxx=，则称x为()fx的“稳定点”．若函数()fx的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即()Axfxx=

=，()Bxffxx==．（1）求证：AB；（2）若Rb，函数()21fxxbxc=+++总存在不动点，求实数c的取值范围；（3）若()21fxax=−，且AB=，求实数a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）1cc−（3）13,44−【解析】【分析】（1）分A=和A两种情况进行分类讨论即可；（2）问题转化成()2110xbxc+−++=有解，利用判别式即可而得到答案；（3）由A可得21ax

x−=有实根，14a−，又AB，所以()2211aaxx−−=，即3422210axaxxa−−+−=的左边有因式21axx−−，从而有()()222110axxaxaxa−−+−+=.再由题中条件，即可得出结果【小问1详解】若A=，则AB显然成立，若A，设

tA，则()ftt=，()()fftftt==，即tB，从而AB，故AB成立；【小问2详解】原问题转化为Rb，()fxx=有解，∴21xbxcx+++=即()2110xbxc+−++=，则()()21410bc=−−

+即()()2411cb+−恒成立，∴()()2min4110cb+−=，∴1c−，所以实数c的取值范围为1cc−；【小问3详解】A中的元素是方程()fxx=即210axx−−=的实根，由A，知0a=或0Δ140aa=+,解得14a−，B中元素是方程(

)2211aaxx−−=即3422210axaxxa−−+−=的实根，由AB知方程含有一个因式21axx−−，即方程可化为：()()222110axxaxaxa−−+−+=，若AB=，则方程2210axaxa+−+=①要么没有实根，要么实根是方程210axx−−=②的根，

若①没有实根，当0a=时，方程为10=，不成立，故此时没有实数根；当0a时，()22410aaa=−−，解得34a，此时34a且0a；若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22axaxa=+，代入①有210ax+

=，由此解得12xa=−，再代入②得111042aa+−=，解得34a=，综上，a的取值范围为13,44−．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和

方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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