【文档说明】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.243 MB，由小赞的店铺上传

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南昌二中2019—2020学年度下学期第二次月考高一考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.一元二次不等式2201920200xx−−的解集为（）.A.(1,2020)−B.(2020,1)−C.(,1)(2020,)−−+D.(

,2020)(1,)−−+【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由2201920200xx−−得(1)(2020)0+−xx，解得12020x−.故选A【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式

的解法即可，属于基础题型.2.设等差数列na的前n项为nS，若537,3aS==，则6a=()A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得出11473(31)332adad+=−+=，解出1,ad，即可求

出6a.【详解】设等差数列na的公差为d11473(31)332adad+=−+=解得11,2ad=−=61259a=−+=故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.3.已知非零向量a，b的夹角

为30°，且1b=，21ab−=，则a=（）A.32B.1C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解.【详解】22222(2)441ababaabb−=−=−+=，整理得234||2

3||0,||0,||2aaaa−==.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.在△ABC中，若()()()acacbbc+−=+，则∠A=（）A.090B.060C.0120D.0150【答案】C【解析】()()()acacbbc+−=+222acbbc

−=+即：222bcabc+−=−则2221cos22bcaAbc+−==−，000180A，0120A=，选C.5.已知等比数列na，满足23210loglog1aa+=，且3681116aaaa=，则数

列na的公比为（）A.4B.2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210loglog1aa+=得到3102aa=，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116aaaa=

得到3114aa=，最后可以求出等比数列的公比.【详解】等比数列na中，232102310310loglog1log1()2aaaaaa+===①，36821131116)16(aaaaaa==，由等比数列各项正负性的性质可知：311,aa同号，故3114aa=②，②除

以①，得：等比数列的公比3113102aaaaq==，故本题选B.【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.6.若不等式210xax++对于一切10,2x成立，则a的取

值范围是（）A.0aB.2a−C.52a−D.3a−【答案】C【解析】【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.【详解】210xax++对于一切10,2x成立，21xax−−对于

一切10,2x成立，1axx−−对于一切10,2x成立，1yxx=−−在区间1(0,2〕上是增函数，115222xx−−−−=−，52a−．故选：C．【点睛】本题以不

等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题．7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a是b和c的等比中项，则sinsintantanAABC+=（）A.1B.12C.23D.34【答案】A【解

析】【分析】切化弦得sinsincoscossintantansinsinAABCABCBC+=+，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可【详解】由题意有abc=2，sinsincoscossintantansinsinA

ABCABCBC+=+()22sinsinsin1sinsinsinsinABCAaBCBCbc+====.故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题8.若点G是ABC的重心，,,abc分别是BAC

，ABC，ACB的对边，且303aGAbGBcGC++=.则BAC等于（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】D【解析】【分析】由点G是ABC的重心可得0GAGBGC++=,即GAGBGC=−−,代入303aG

AbGBcGC++=中可得3()03baGBcaGC−+−=,由,GBGC不共线可得0303baca−=−=,即可求得,,abc的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点G是ABC的重心,所以0GAGBGC++=,所以GAGBGC=−−,代入303aGAbGBcGC

++=可得3()03baGBcaGC−+−=,因为,GBGC不共线,所以0303baca−=−=,即3baca==,所以2223cos22bcaBACbc+−==,故30BAC=,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角

9.数列na满足()11++=−nnnaan，则数列na的前20项的和为()A.100B.-100C.-110D.110【答案】B【解析】【分析】数列{an}满足1(1)nnnaan++=−，可得

a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{an}满足1(1)nnnaan++=−，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．则数列{an}的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192+=−=−100．故

选B．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在锐角ABC中，若2CB=，则cb的范围（）A.()2,3B.()3,2C.()0,2D.()2,2【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得csinCsin2BsinBsin

Bb===2cosB，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有0＜B＜2，0＜C=2B＜2，0＜π-A-B=π-3B＜2，解得6＜B＜4，余弦函数在此范围内是减函数．故22＜cosB＜32．∴cb()2,3，故选A．考点：本题主要考查正弦定理的应用，余

弦函数的性质．点评：典型题，本题综合考查正弦定理的应用，余弦函数的性质，易因为忽视角的范围，而出错．11.如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，0OAOB=，1OAOB==，若OCxOAyOB=+，则2xy+

的最大值是（）A.2B.5C.22D.3【答案】B【解析】【分析】将OCxOAyOB=+两边同时平方可得221xy=+，令cosx=，siny=，利用辅助角公式可得()25sinxy+=+，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，0OAOB=

，1OAOB==，1OC=，OCxOAyOB=+，两边同时平方可得222222OCxOAyOBxyOAOB=++，221xy=+，则令cosx=，siny=，0,2απ，则()2

2cossin5sinxy+=+=+，其中25sin5=，5cos5=，2++，()5sin15+，即所求的最大值为5.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算性质和三角函数的性质，属于基础题.1

2.若正实数x、y满足1xy+=，则2224+++xyxy的最小值是（）A.16B.17C.18D.14【答案】B【解析】【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【详解】设

2xs+=，4yt+=，67stxy+=++=所以2224xyxy+=++22(2)(4)41648stststst−−+=−++−+416416()125ststst=+++−=+−，因为416414436()147774tsstststst

+=++=+++，当且仅当2,1st==时取等号.所以2241652117xyxyst+=+−++.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运

用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量()()21,2abm==−，，，且ab⊥，则实数m=_______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标公式、两向量垂

直的性质,可得一个方程,解这个方程即可求出实数m的值.【详解】因为ab⊥，所以021(2)01abmm=+−==.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标公式,考查了两平面垂直的性质,考查了数学运算能力.14.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔

S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．【答案】202【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案．

【详解】由题意，如图所示，可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，在△SMN中，由正弦定理可得：sinsinMNSMNSMSNM=，即201222MN=，解得

：MN=102，∴货轮的速度为12MN=202海里/时．故答案为202．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.已知,,ABC为直线l上的不同三点，O为l外一

点，存在实数(),0,0mnmn，使得4=+OCmOAnOB成立，则14mn+的最小值为__________．【答案】16【解析】【分析】由条件可得41mn+=，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】

∵,,ABC为直线l上的不同三点，且4OCmOAnOB=+，∴41mn+=，又0,0mn，∴()14141648821616nmmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当16nmmn=即142nm==时等号成立，∴14mn+的最小值为16，故答案为：

16【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型.16.我们把一系列向量(1,2,,)iain=按次序排成一列，称之为向量列，记作{}ia，已知向量列{}ia满足()()111111

(1,1),,,(2)2nnnnnnnaaxyxyxyn−−−−===−+，设n表示向量na与1na−的夹角，若2nnnb=对任意正整数n，不等式122111log(12)annnabbb+++++−恒成立，则实数a的取值范围是__________【答

案】10,3【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得2cos2n=，即可得()24nn=，进而可得()224nnbn=，求出122111nnnbbb+++++的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当2n时，()()()()111111

22221111111111222cos122nnnnnnnnnnnnnnnnnxyxxyyxyxyxaayaa−−−−−−−−−−−−−−−++===+−++，()24nn=，()2224nnnbnn=

=，()()()22212211144412nnnbbbnnnn+++++=++++++1111221122nnnnnn=+++=+++，当且仅当1n=时，等号成立，log(12)1logaaaa−

=，由120a−可得12a，102a，12aa−解得13a，综上，实数a的取值范围是10,3.故答案为：10,3.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考

查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知a，b为单位向量，12ab=．（1）求2ab+；（2）求2ab+与b的夹角的余弦值．【答案】（1）7；（2）277.【解析】【分析】(1)平方后

再求解即可.(2)根据向量夹角的公式求解即可.【详解】（1）由题意得2214454|2|72ababba=++=+=+.（2）由题意得2ab+与b的夹角的余弦值为()2122cos77||71722bababbba+

++====‖.【点睛】本题主要考查了向量的数量积与模长的公式以及向量夹角的运算等.属于基础题型.18.已知等差数列na，等比数列nb满足5123320,0,13,6,31,21==+=+=nnabababab．（1）求na，nb的通项公式；（2）求nna

b+的前n项和．【答案】(1)23,32=+=nnnanb；(2)214632+=+−+nnSnn【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式1(1)naand=+−与等比数列通项公式11nnbbq−=即可求解（2）利用分组求和即可求

解．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为5123320,0,13,6,31,21nnabababab==+=+=，所以213363113262100dqdqdq−+=−+=，即22dq==，所以23,32nnnanb=+

=；（2）记nnab+前n项和为()()2112124632nnnnSaaabbbnn+=+++++++=+−+.所以214632nnSnn+=+−+【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及求和公式，比较基础．19

.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，ABC的面积为S，若222433+−=abcS．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若3c=，32S=，求+ab的值．【答案】（Ⅰ）3C=（Ⅱ）3【解析】试题分析：

（Ⅰ）由余弦定理及三角形面积公式得4312cossin32=abCabC，因此tan3C=，再根据三角形内角范围得3C=（Ⅱ）将条件3c=，32S=代入222433+−=abcS得225ab+=，再根据余弦定理得223ab

ab+−=，所以2ab=，因此()22229,3.abababab+=++=+=试题解析：（Ⅰ）因为222433+−=abcS，所以4312cossin32=abCabC化简得：tan3C=，又0C，3C=．（Ⅱ）3C=，3c=，223∴+−=abab，()23

3abab+−=①又32=ABCS，13sin232∴=ab，即2ab=②联立①②可得()29ab+=，又0ab+，3ab+=．考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求

结果．20.如图，在△ABC中，∠ACB＝2，AC＝3，BC＝2，P是△ABC内的一点．（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；（2）若∠BPC＝23，求△PBC面积的最大值．【答案】（1）5；（2）33【解析】【分析】

(1)由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可；(2)在三角形PBC中,由PCB∠的度数表示出PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC,进而表示出三角形PBC面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.【详解

】（1）由题设，∠PCA＝4，PC＝2，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos4＝5，于是PA＝5．（2）∠BPC＝23，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，3)．在△PBC中，∠PBC＝3－θ．由正弦定理得22s

in3＝sinPB＝sin3PC−，得PB＝433sinθ，PC＝433sin(3－θ)．所以△PBC面积S＝12PB·PCsin23＝433sin(3－θ)sinθ＝233sin(2θ＋6)－33．当θ＝6∈(0，3)时，

△PBC面积的最大值为33．【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵

活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.已知正项数列na的前n项和nS满足222.nnnSaa=+−（1）求数列na的通项公式；（2）若()21nnnnbna−=（n∈N*），求数列

nb的前n项和nT;（3）是否存在实数使得2nnTS+对nN+恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．【答案】（1）()*1nannN=+（2）1221nnTn+=−+（3）存在，49＜【解析】【分析】（1）

根据nS与na的关系1112nnnSnaSSn−==−…，即可求出na的通项公式；（2）由()()211nnnbnn−=+，可采用裂项相消法求数列nb的前n项和nT；（3）假设存在实数λ，使得()13212nnnn+++＞对一切正整数恒成立，即()()221

3nnnn+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13nminnnn+++＜即可，利用作差法得出()()()2213nfnnnn+=++其单调性，即可求解．【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．当n≥2时，()()()221112222nnnnnnnaSSaaa

a−−−=−=+−−+−，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴()()*2111nannnN=+−=+．（2）由（1）得an=n+1，∴()()1212211n

nnnnbnnnn+−==−++．∴232112222222223211nnnnTnnn++=−+−++−=−++．（3）假设存在实数λ，使得()13212nnnn

+++＞对一切正整数恒成立，即()()2213nnnn+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13nminnnn+++＜即可，令()()()2213nfnnnn+=++，则()()()()()()()1228112+34nnfnfnnnnnn+−+−=+++当()()()()

3,+1;12,+1nfnfnnfnfn故f（1）=1，f（2）=815，f（3）=49，()16435f=＞f（5）＞f（6）＞…当n=3时有最小值()439f=，所以49＜．【点睛】本题主要考查利用nS与na的关系111

2nnnSnaSSn−==−…求通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．22.在ABC中，满足：ABAC⊥，M是BC的中点.（1）若O是线段AM上任意一点，且2ABAC==，求+OAOBOCOA的最小值：（2）若点P是

BAC内一点，且2AP=，2APAC=，1APAB=，求ABACAP++的最小值.【答案】（1）12−；（2）72【解析】【分析】（1）设OAx=，则1OMx=−，根据向量加法的平行四边形法则可得2OBOCOM+=uuuruuuruuur，再利用向量数量

积定义可得+OAOBOCOA22cosOAOMOAOM==，配方即可求最值.（2）设2CAPBAP==−，由题意根据向量数量积的定义可得1cosAC=，12sinAB=，将ABACAP++两边平方展开，利用基

本不等式即可求解.【详解】（1）2ABAC==，1AM=，设OAx=，则1OMx=−，而2OBOCOM+=uuuruuuruuur，()OAOBOCOAOAOBOC+=+22cosOAOMOAOM==()22112122222xxxxx=−−=−=−−，

当且仅当12x=时，+OAOBOCOA的最小值是12−.（2）设2CAPBAP==−，2APAC=，1APAB=，2AP=，12cos2cosACAC==，同理：12cos122sinABAB

−==，2ABACAP++222222ABACAPABACACAPABAP=+++++2211424cos4sin=++++222222sincossincos10cos4sin++=++22222222sincos45sincos

45454921cos4sin4cos4sin444=+++=+=当且仅当2222sincos2tancos4sin2==时，所以min72ABACAP++=.【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.