【文档说明】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题.doc，共(7)页，711.500 KB，由小赞的店铺上传

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南昌二中2019—2020学年度下学期第二次月考高一考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．一元二次不等式2201920200xx−−的解集为（）.A．(1,2020)−B．(2020,1)−C．(,1)(2020,)−−+D．(,2020)(1,)−−+

2．设等差数列na的前n项为nS，若537,3aS==，则6a=()A．6B．7C．8D．93．已知非零向量a，b的夹角为30°，且1b=，21ab−=，则a=（）A．32B．1C．3D．24．在△ABC中，若()()(

)acacbbc+−=+，则A=（）A．090B．060C．0120D．01505．已知等比数列na，满足23210loglog1aa+=,且3681116aaaa=，则数列na的公比为（）A．4B．2C．2D．46．若不等式2

10xax++对于一切1(0,)2x成立，则a的取值范围是（）A．0aB．2a−C．52a−D．3a−7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a是b和c的等比中项，则sinsintantanAABC+=（）A．1B．12C．23D．348．若点G是

ABC的重心，,,abc分别是BAC，ABC，ACB的对边，且303aGAbGBcGC++=.则BAC等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．数列na满足()11nnnaan++=−，则数列na的

前20项的和为()A．100B．-100C．-110D．11010．在锐角ABC中，若2CB=，则cb的范围（）A．()2,3B．()3,2C．()0,2D．()2,211．如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，0OAOB=，1OAOB==，若OCOAOBxy=+，则2xy+的最大

值是（）A．2B．5C．22D．312．若正实数x、y满足1xy+=，则2224xyxy+++的最小值是（）A．16B．17C．18D．14二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量()()21,2abm

==−，，，且ab⊥，则实数m=_______.14．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速

度为______海里/时．15．已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数(),0,0mnmn，使得4OCmOAnOB=+成立，则14mn+的最小值为__________．16．我们把一系列向量(1,2,,)iain=按次序

排成一列，称之为向量列，记作{}ia，已知向量列{}ia满足()()111111(1,1),,,(2)2nnnnnnnaaxyxyxyn−−−−===−+，设n表示向量na与1na−的夹角，若2nnnb=，对任意正整数n，不等式122111

log(12)annnabbb+++++−恒成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知a，b为单位向量，12ab=．（1）求2ab

+；（2）求2ab+与b的夹角的余弦值．18．（本小题满分12分）已知等差数列na,等比数列nb满足0,0,nnab51233213,6,31,21ababab==+=+=．（1）求na，nb的通项公式；（2）求nnab+的前n项和．

19．（本小题满分12分）在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,ABC的面积为S，若222433abcS+−=．（1）求角C的大小；（2）若3c=，32S=，求ab+的值．20．（本小题满分12分）如图，在△

ABC中，∠ACB＝2，AC＝3，BC＝2，P是△ABC内的一点．（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；（2）若∠BPC＝23，求△PBC面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知正项数列na的前n项和nS满足222.nnnSaa

=+−（1）求数列na的通项公式；（2）若()21nnnnbna−=（n∈N*），求数列nb的前n项和nT;（3）是否存在实数使得2nnTS+对nN+恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．22．（本小题满分12分）在ABC中，满足：ABAC⊥

，M是BC的中点.（1）若O是线段AM上任意一点，且2ABAC==，求+OAOBOCOA的最小值：（2）若点P是BAC内一点，且2AP=，2APAC=，1APAB=，求ABACAP++的最小值.高一第二次月考数学参考答案一、选择题（每小题

5分，共60分）ADACBCADBABB二、填空题（每小题5分，共20分）13．114．20215．1616．1(0,)3三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）由题意得2214454|2|72ababba

=++=+=+.（2）由题意得2ab+与b的夹角的余弦值为()2122cos77||71722bababbba+++====‖.18．【解析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为5123320,0,13,6,31,21nna

bababab==+=+=，所以213363113262100dqdqdq−+=−+=，即22dq==，所以23,32nnnanb=+=；（2）记nnab+前n项和为()()2112124632nnnnSaaabbbnn+=++

+++++=+−+.所以214632nnSnn+=+−+19．【解析】（Ⅰ）因为222433abcS+−=，所以4312cossin32abCabC=化简得：tan3C=，又0C，3C=∴．（Ⅱ）3C=，3c=，223abab+−=∴

，()233abab+−=∴①又32ABCS=，13sin232ab=∴，即2ab=②联立①②可得()29ab+=，又0ab+，3ab+=∴．20．【解析】（1）由题设，∠PCA＝4，PC＝2，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos4＝5，于是PA＝

5．（2）解法一：∠BPC＝23，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，3)．在△PBC中，∠PBC＝3－θ．由正弦定理得22sin3＝sinPB＝sin3PC−，得PB＝433sinθ，PC＝433

sin(3－θ)．所以△PBC面积S＝12PB·PCsin23＝433sin(3－θ)sinθ＝233sin(2θ＋6)－33．当θ＝6∈(0，3)时，△PBC面积的最大值为33．解法二：在PBC中，设PCb=，PBc=，由余弦定理有：22222co

s3BCbcbc=+−，即2243bcbcbc=++（当且仅当233bc==时等号成立），所以43bc，从而121433sin232323BCPSbc==（当且仅当233bc==时等号成立）21．【解析】（1）当

n=1时，a1=2或-1（舍去）．当n≥2时，()()()221112222nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=+−−+−，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差

的等差数列．∴()()*2111nannnN=+−=+．（2）由（1）得an=n+1，∴()()1212211nnnnnbnnnn+−==−++．∴232112222222223211nnnnTnn

n++=−+−++−=−++．（3）假设存在实数λ，使得()13212nnnn+++＞对一切正整数恒成立，即()()2213nnnn+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13nminnnn+++＜即可，令

()()()2213nfnnnn+=++，则()()()()()()()2228112+34nnfnfnnnnnn+−+−=+++当()()()()3,+1;12,+1nfnfnnfnfn故f（1）=1，f（2）=815，f（3）=49，()16435f=＞f

（5）＞f（6）＞…当n=3时有最小值()439f=，所以49＜．22．【解析】（1）2ABAC==，1AM=，设OAx=，则1OMx=−，而2OBOCOM+=uuuruuuruuur，()22cosOAOBOCOAOAOBOCOAOMOAOM

+=+==()22112122222xxxxx=−−=−=−−，当且仅当12x=时，+OAOBOCOA的最小值是12−.（2）设2CAPBAP==−，2APAC=，1APA

B=，2AP=，12cos2cosACAC==，同理：12cos122sinABAB−==，2ABACAP++222222ABACAPABACACAPABAP=+++++2211424cos4sin=++++222222sincossincos

10cos4sin++=++22222222sincos45sincos45454921cos4sin4cos4sin444=+++=+=当且仅当2222sincos2tancos4sin2==时，所以min72ABACAP++=.